Кассель, Германия
Однопараметрическое семейство алгебраических кривых имеет огибающую линию, которая в определённых случаях может быть мнимой. Якоб Штейнер был прав, считая мнимые образы порождением анализа. В анализе действительное число всего лишь часть комплексного числа и в определённых условиях исходные действительные величины могут дать мнимый результат. Но Штейнер был не прав, отрицая в геометрии мнимые образы. Геометрия, в отличие от единого аналитического пространства, существует в нескольких пространствах: евклидова геометрия оперирует только действительными фигурами и не содержит мнимых фигур по определению; псевдоевклидова геометрия оперирует мнимыми образами и строит их изображения с учетом своих особенностей. Геометрическое пространство комплексное и каждый геометрический объект в нем – комплексный, состоит из действительной фигуры (ядра), имеющей «ауру» мнимого расширения. Таким образом, любая аналитическая фигура плоскости присутствует в каждой точке плоскости или своей действительной частью, или своим мнимым расширением. Будет ли мнимое расширение фигуры видимым или нет, зависит от способа визуализации, принято ли изображение на совмещенных эпюрах – евклидова-псевдоевклидова плоскости, или традиционно принято изображение только на евклидовой плоскости. В статье обсуждаются случаи, когда семейство алгебраических кривых линий имеет огибающую кривую, и дается ответ на вопрос, что означают случаи полного или частичного отсутствия огибающей кривой для однопараметрического семейства кривых. Ставится под сомнение распространённое категорическое заявление, что пучок концентрических окружностей не имеет огибающей линии.
дискриминантная кривая, огибающая линия, однопараметрическое множество, мнимая кривая
Понятие огибающей линии присутствует в инженерной терминологии и практике. Часто огибающая линия ассоциируется со следом движущейся кривой линии, но это не совсем корректно. Понятие огибающей линии связано с понятием однопараметрического семейства линий. «Однопараметрическое» предполагает, что некоторая линия не просто график, а имеет уравнение, содержащее величину с переменным значением. Кроме того, предполагается, что уравнение алгебраическое и рассматривается над полем комплексных чисел, т.е. допускается, что функция может принимать комплексные значения. А комплексные значения в анализе дают мнимый образ в геометрии. Мы затронули эту тему в той связи, что в конструкциях огибающих линий могут появляться мнимые составляющие кривых образующего семейства. Мнимые составляющие и отвечают на вопрос, почему семейство линий, которое, казалось бы, не должно иметь огибающей, ее имеет, и объясняют случаи, когда огибающая частью или полностью становится невидимой. Визуализация мнимых образов реализуется нами на совмещенных эпюрах, на которых совмещаются график реальной фигуры с графиком мнимого образа той же фигуры [2; 3; 9; 11; 12].
1. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А.Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
2. Брус Д. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей [Текст] / Д. Брус, П. Джиблин. - М.: Мир, 1988. - 262 с.
3. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В. Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - C. 3-15. - DOI:https://doi.org/10.12737/10453.
4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1975. - 872 с.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2013. - 216 с.
6. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика, 2014. - Т. 2. - № 2. - С. 3-8. - DOI: 10. 12737/5583.
7. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия геометрии [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 213 с.
8. Залгаллер В.А. Теория огибающих [Текст] / В.А. Залгаллер. - М.: Наука, 1975. - 105 с.
9. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. - DOI: 10. 127/12163.
10. Клейн Ф. Элементарная геометрия с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия: пер. с нем. / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. -- 416 с.
11. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. - 1970. - Т. 1. - № 1. - C. 22-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/465.
12. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3/4. - C. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
13. Hirsch M.W. Immersion of manifolds, Trans. Amr. Math. Soc. 93, № 2 (1959), 242-276.
14. Glaeser G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Wien: Springer Spektrum, 2014. 508 S.
15. URL: http://www.math.24.ru/огибающая-семейства-кривых.html
16. URL: http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A. Hirsch)
