Целью работы является получение интегрального уравнения, с помощью которого, используя известное фундаментальное решение другого уравнения, возможно численным методом найти фундаментальное решение линейного уравнения эллип-тического типа. Вводится понятие численного фундаменталь-ного решения (ЧФР). Полученные таким образом численные фундаментальные решения (ЧФР) могут быть использованы при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа различной размерности с помощью метода точечных источников поля (МТИ). Результатом работы является созда-ние эффективного численного метода решения краевых задач с использованием ЧФР. Это позволяет расширить круг реша-емых с помощью МТИ задач. Таким образом, МТИ выступает в качестве универсального численного метода при решении краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа. Особенно эффективно применение предложенного способа при решении трехмерных задач Дирихле для уравнений со сферически симметричными фундаментальными решениями. В качестве тестовой задачи предложенным способом решено уравнение Шредингера для одномерного квантового осцилля-тора. Показано, что, используя фундаментальные решения уравнения Шредингера, полученные численно, удается найти собственные значения и собственные функции квантового осциллятора. Найденные собственные функции осциллятора соответствуют известным аналитическим решениям квантовой задачи. В качестве другого тестового примера решается двумерная краевая задача для уравнения Гельмгольца. В этом случае предварительно находится численное фундаментальное решение для уравнения Гельмгольца. Вычислены зависимости погрешности численного решения от числа узлов в области решения задачи. На основании полученных результатов делается вывод о перспективности пр
фундаментальное решение, метод фундаментальных решений, метод точечных источников, метод интегрированных источников, дискретные источники.
Метод точечных источников поля (МТИ) является одним из эффективных методов моделирования физических полей (например, электрических и магнитных) в технических (в том числе электромеханических) устройствах [1–4]. Для указанного метода характерна высокая точность численного решения и чрезвычайная простота компьютерной реализации [5–9]. Наилучшие результаты получены при использовании МТИ для моделирования физических полей, описываемых однородными линейными уравнениями эллиптического типа с известными фундаментальными решениями, задаваемыми аналитически. Такими уравнениями являются уравнение Лапласа, уравнение Гельмгольца, бигармоническое уравнения, некоторые другие типы уравнений. Применение МТИ в этом случае позволило решить значительное число прикладных задач по моделированию, например: стационарных электрических, магнитных [8–10], тепловых, концентрационных полей [11–14], полей упругих напряжений [15–17]. МТИ успешно применяется также при численном решении краевых задач для неоднородных уравнений, таких как уравнение Пуассона [18–19], неоднородное уравнение Гельмгольца [19–21]. Однако во всех случаях использования МТИ предполагается известным фундаментальное решение соответствующего уравнения математической физики. Это резко ограничивает круг решаемых с помощью МТИ задач. Тем не менее, и в этом случае возможно решение краевых задач с помощью МТИ, если предварительно найти численные значения фундаментальных решений при определенных значениях параметров. Назовем фундаментальное решение, заданное численно, численным фундаментальным решением (ЧФР). Ниже описан метод нахождения ЧФР для линейных уравнений эллиптического типа и показывается возможность использования этих решений в МТИ.
1. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. - Москва : Наука, 1991. - 352 с.
2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Advances in Computational Mathematics. - 1998. - Vol. 9. - P. 69-95.
3. Alves, C.-J.-S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C.-J.-S. Alves, C.-S. Chen // Advances in Computational Mathematics. - 2005. - Vol. 23 - P. 125-142.
4. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении крае-вых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2010. - № 3. - С. 3-12.
5. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различ-ной конфигурацией / Ю. А. Бахвалов [и др.] // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2012. - № 5. - С. 17-21.
6. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ двух вариантов метода коллокаций при численном моделировании потенциальных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 1. - С. 17-19.
7. Князев, С. Ю. Решение трехмерных краевых задач для уравнений Лапласа с помощью метода дискретных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2015. - № 5. - С. 25-30.
8. Князев, С. Ю. Метод точечных источников для компьютерного моделирования физических полей в задачах с подвижными границами : дис. … д-ра техн. наук / С. Ю. Князев. - Новочеркасск, 2011. - 342 с.
9. Князев, С. Ю. Компьютерное моделирование потенциальных полей методом точечных источников / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков. - Ростов-на-Дону : Изд. центр ДГТУ, 2012. - 156 с.
10. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Известия Российской академии наук. Серия физическая. - 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1259-1261.
11. Князев, С. Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. - 2006. - № 4. - С. 43-47. - (Технические науки).
12. Князев, С. Ю. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 1. - С. 14-19.
13. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ различных вариантов использования метода точечных источников поля при моделировании температурных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Физико-математическое моделирование систем : мат-лы XII междунар. семинара. - Воронеж : Воронеж. гос. техн. ун т, 2014. - С. 52-56.
14. Исследование стабильности термомиграции ансамбля линейных зон с помощью трехмерной компьютер-ной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Л. С. Лунин [и др.] // Вестник Южного науч-ного центра. - 2015. - Т. 11, № 4. - С. 9-15.
15. Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15, № 1 (80). - С. 29-38.
16. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев [и др.] // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15, № 4 (83). - С. 13-23.
17. Князев, С. Ю. Математическое моделирование полей упругих деформаций методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ. - 2015. - № 5 (75). - С. 21-23.
18. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2014. - Т. 14, № 2 (77). - С. 15-20.
19. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источ-ников / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 2. - С. 77-78.
20. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для неоднородных уравнений Гельмгольца методом то-чечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 4. - С. 14-19.
21. Князев, С. Ю. Применение метода точечных источников поля при численном решении задач на собствен-ные значения для уравнения Гельмгольца / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2016. - № 3 (545). - С. 11-17.
22. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Наука, 1963. - 703 с.
23. Владимиров, B. C. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. - 2-е изд., сте-реотип. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
