В данной работе предлагается новая геометрическая модель для построения кинематических линейчатых поверхностей, основанная на согласованных движениях в триадах, контактирующих аксоидов, состоящих из одного неподвижного (1) и двух подвижных (2, 3) аксоидов. Методическая основа предлагаемой геометрической модели состоит в том, что движение аксоида 2 относительно неподвижного аксоида 1 задает согласованное с этим движением обратное движение аксоида 3 относительно аксоида 2, причем взаимное расположение аксоидов триады в процессе всего движения сохраняется неизменным. В результате этих согласованных движений одна из прямолинейных образующих подвижного аксоида 3 генерирует в неподвижной системе координат, связанной с аксоидом 1, новую кинематическую линейчатую поверхность. Показано, что переход от известных моделей контактирующих пар линейчатых поверхностей, таких как «плоскость – цилиндр», «плоскость – конус», «цилиндр – цилиндр» или «конус – конус» к моделям согласованных движений в триадах контактирующих аксоидов открывает дополнительные возможности для построения новых кинематических линейчатых поверхностей. Для предложенной геометрической модели разработано соответствующее аналитическое описание и выполнена компьютерная графика генерируемых кинематических линейчатых поверхностей на основе следующих триад аксоидов: «плоскость – круговой цилиндр – круговой цилиндр», «плоскость – круговой конус – круговой конус», «круговой цилиндр – круговой цилиндр – круговой цилиндр», «круговой конус – круговой конус – круговой конус». Параметрическая зависимость генерируемых поверхностей от исходных линейчатых поверхностей триады контактирующих аксоидов обеспечивает широкое разнообразие результирующих линейчатых поверхностей, что с учетом графических возможностей разработанного ранее приложения ArtMathGraph позволяет использовать предложенную модель в качестве эффективного инструмента компьютерного моделирования технологически востребованных линейчатых поверхностей.
геометрическое моделирование, аналитическая геометрия, кинематическая линейчатая поверхность, компьютерная графика.
Современные достижения геометрического моделирования аналитических поверхностей систематизированы в «Энциклопедии аналитических поверхностей» [12], включившей в себя, в частности, класс технологически востребованных линейчатых поверхностей [15; 16; 19]. Разработка новых геометрических моделей построения оригинальных аналитических поверхностей в сочетании с использованием современных технологий компьютерной графики [3; 7; 13] моделируемых поверхностей относится к одному из актуальных направлений аналитической геометрии линейчатых поверхностей [14; 17; 30], включая прикладные аспекты в строительстве и архитектуре [9; 10; 18].
1. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 3. - № 4. - C. 19-26. - DOI:https://doi.org/10.12737/17347.
2. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби. - М.: Наука, 2006. - 536 с.
3. Михайленко В.Е. Инженерная и компьютерная графика [Текст] / В.Е. Михайленко, В.В. Ванин, С.Н. Ковалев. - К.: Каравелла, 2013. - 328 с.
4. Рачковская Г.С. Геометрическое и компьютерное моделирование кинематических линейчатых поверхностей (однополостный гиперболоид вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов) [Текст] / Г.С. Рачковская, Ю.Н. Харабаев // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 2011. - Вып. 87. - С. 319-323.
5. Рачковская Г.С. Кинематические линейчатые поверхности на основе комплексного движения одного аксоида по другому (однополостный гиперболоид вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов) [Текст] / Г.С. Рачковская, Ю.Н. Харабаев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2014. - № 3. - С. 23-31.
6. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании [Текст] / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 3. - C. 7-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/6519.
7. Хейфец А.Л. Инженерная 3D-компьютерная графика [Текст] / А.Л. Хейфец [и др.]. - М.: Юрайт, 2013. - 464 с.
8. Barton M. Circular arc snakes and kinematic surface generation / M. Barton, L. Shi, M. Kilian, J. Wallner, H. Pottmann // Computer Graphics Forum. 2013. V. 32. DOI:https://doi.org/10.1111/cgf.12020.
9. Fallavollita F. The ruled surfaces in stone architecture / F. Fallavollita, M. Salvatore // Proceedings of the 10th International Forum of Studies (Architecture Design Landscape (the ways of the merchants)). 2012. P. 261-269.
10. Flöry S. Ruled Surfaces for Rationalization and Design in Architecture / S. Flöry, H. Pottmann // Advances in Architectural Geometry. 2010. P. 103-109.
11. Korn G. Mathematical handbook for scientists and engineers / G. Korn, T. Korn. NY, USA: McGraw-Hill, 1961. 720 p.
12. Krivoshapko S.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces / S.N. Krivoshapko, V.N. Ivanov. - Switzerland: Springer, 2015. 752 p. DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-319-11773-7.
13. Marschner S., Shirley P. Fundamentals of Computer Graphics / S. Marschner, P. Shirley. USA: Taylor & Francis Group, 2016. 723 p.
14. Odehnal B. Computing with discrete models of ruled surfaces and line congruences / B. Odehnal, H. Pottmann // Electron. J. Comput. Kinematics. 2002. V. 1/1. § 20 // Proceedings of the workshop “Computational Kinematics”. Seoul, Republic of Korea, 2001.
15. Odehnal B. Subdivision Algorithms for Ruled Surfaces / B. Odehnal // Journal for Geometry and Graphics. 2008. V. 12. No. 1. P. 1-18.
16. Peternell M. On the computational geometry of ruled surfaces / M. Peternell, H. Pottmann, B. Ravani // Computer-Aided Design. 1999. V. 31. P. 17-32.
17. Peternell M. Conchoid surfaces of rational ruled surfaces / M. Peternell, D. Gruber, J. Sendra // Computer Aided Geometric Design. 2011. V. 28. No. 7. P. 395-446.
18. Pottmann H. Architectural Geometry / H. Pottmann, M. Eigensatz, A. Vaxman, J. Wallner // Computers & Graphics. 2015. V. 47. P. 145-164. DOI:https://doi.org/10.1016/j.cag.2014.11.002
19. Prousalidou E. A parametric representation of ruled surfaces / E. Prousalidou, S. Hanna // Proceedings of the 12th International CAAD Futures Conference. Netherlands. Springer, 2007. P. 265-278. DOI:https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6528-6_20.
20. Rachkovskaya G.S. Mathematical modelling of kinematics of ruled surfaces based on conical transformations of torses / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev // Proceedings of the 10th International Conference on Geometry and Graphics. Kiev, Ukraine. 2002. V. 1. P. 283-286.
21. Rachkovskaya G.S. Computer graphics of kinematic surfaces / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 12th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. Plzen, Czech Republic. 2004. P. 141-144.
22. Rachkovskaya G.S. The computer modelling of kinematic linear surfaces (based on the complex moving a cone along a torse) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the International Conference on Computing, Communications and Control Technologies (CCCT), Austin (Texas), USA, 2004. V. 1. P. 107-111.
23. Rachkovskaya G.S. Computer composition of the transformed classical surfaces as the ways and means of the construction of visual models of realistic objects (The new software application “ArtMathGraph”) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 15th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. Plzen, Czech Republic. 2007. P. 29-32.
24. Rachkovskaya G.S. Kinematic ruled surfaces (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 13th International Conference on Geometry and Graphics. Dresden, Germany, 2008. P. 190-191.
25. Rachkovskaya G.S. Geometric modeling and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of complex moving one axoid along another (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev // Proceedings of the 17th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. Plzen, Czech Republic, 2009. P. 31-34.
26. Rachkovskaya G.S. Complex moving one axoid along another as the base of the new kinematic ruled surfaces (geometrical model & computer graphics) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev // Proceedings of the International Workshop on Line Geometry & Kinematics. Paphos, Cyprus. IWLGK-11. 2011. P. 81-86.
27. Rachkovskaya G.S. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse-cone and cone-torse / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 15th International Conference on Geometry and Graphics. Montreal, Canada. 2012. P. 151-152.
28. Rachkovskaya G.S. Two possible variants of geometrical model of constructing kinematic surfaces on the base of interior revolving one axoid by the another one / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics. Innsbruck, Austria, 2014. P. 276-279.
29. Sprott K. Kinematic generation of ruled surfaces / K. Sprott, B. Ravani // Advanced in Computational Mathematics. 2002. V. 17. P. 115-133. DOI:https://doi.org/10.1023/A:1015211729988.
30. Sprott K. Cylindrical milling of ruled surfaces / K. Sprott, B. Ravani // Advanced in Manufacturing Technology. 2008. V. 38. P. 649-656.
