Геометрические задачи на касающиеся окружности обсуждались геометрами в течение тысячелетий. Первые задачи с различными конфигурациями взаимно касающихся окружностей встречаются уже в работах Архимеда, Аполлония Пергского и Паппы Александрийского. В дальнейшем Рене Декарт в своих письмах принцессе Елизавете Богемской обсуждает некоторые задачи на касающиеся окружности. В частности, названная в его честь теорема Декарта утверждает, что радиусы четырех взаимно касающихся окружностей, любые три из которых не имеют общей касательной, удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Это уравнение и некоторые его следствия были известны математикам древней Греции более чем две тысячи лет назад (например, задача Аполлония Пергского о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей). Решив это уравнение, можно построить четвертую окружность, касающуюся остальных трех заданных окружностей. В статье рассматриваются бесконечные последовательности взаимно касающихся окружностей, вписанных в различные конфигурации Декарта. Для каждого случая получены интересные алгебраические соотношения для взаимосвязей составляющих окружностей. В качестве практического применения полученных результатов решена классическая задача Паппа для арбелоса и рассмотрены три разные бесконечные последовательности окружностей, вписанных в арбелос. Для радиусов n-ых окружностей этих последовательностей получены соотношения, выраженные через радиусы окружностей арбелоса. Поскольку фигуру арбелос, в некотором смысле, можно рассматривать как контуры циклиды Дюпена, то полученные результаты также могут быть полезны в изучении свойств вписанных сфер в каналы специальных циклид Дюпена.
Декартовая конфигурация окружностей, кривизна, арбелос, цепь Паппа, циклида Дюпена.
Введение
Окружность как совершенная фигура всегда привлекала внимание геометров своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Несмотря на то что исследование окружности само по себе весьма интересна, тем не менее возникают множество замечательных возможностей при расмотрении конфигураций окружностей относительно друг друга. Эти, казалось бы, простые, но на самом деле довольно сложные задачи классической геометрии, часто содержат неожиданные факты. Геометрические задачи на касающиеся окружности обсуждались в течение тысячелетий. Первые результаты, связанные с различными конфигурациями взаимно касающихся окружностей, являются работы Архимеда, Апполония, Паппа и Декарта [2–4, 11, 16, 17]. В дальнейшем также выявлено множество знаменательных свойств для последовательностей взаимно касающихся окружностей. В частности, стоит отметить работы Штайнера, Форда, Кокстера и др., которые предлагали методы как классической, так и не классической геометрии [1, 9, 15, 19–21, 24, 25].
В данной статье рассмaтриваются разные последовательности взаимно касающихся окружностей. Для каждого случая получены интересные геометрические и алгебраические соотношения для взаимосвязей составляющих окружностей, которые дают возможность почувствовать красоту геометрии.
1. Аракелян А.Г. Некоторые интересные последовательности окружностей [Текст] / А.Г. Аракелян, Г.М. Степанян // Потенциал. - 2014. - № 5. - С. 4-10.
2. Архимед. Сочинения [Текст] / Архимед. - М.: Физматгиз, 1962. - 640 с.
3. Жижилкин И.Д. Инверсия [Текст] / И.Д. Жижилкин. - М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.
4. Закарян В.С. О последовательности окружностей Паппа вписанных в aрбелос [Текст] / В.С. Закарян, А.Г. Аракелян // Потенциал. - 2011. - № 10. - С. 29-35.
5. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - С. 16-25. - DOI:https://doi.org/10.12737/10454.
6. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 9-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/12164.
7. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3: сопряжения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 4. - С. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/17345.
8. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Часть 4: приложения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - С. 21-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/17347.
9. Сальков Н.А. О некоторых закономерностях, имеющих место при касании сфер [Текст] / Н.А. Сальков // Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 32. - Киев: Будiвельник, 1981. - С. 113-115.
10. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение: монография [Текст] / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2016. - 145 с.
11. Bankoff L. How Did Pappus Do It // The Mathematical Gardner, Pridle, Weber & Schmidt, 1981, pp. 112-118.
12. Bankoff L. The Marvelous Arbelos // The Lighter Side of Mathematics, Mathematical Association of America, 1994, pp. 247-253.
13. Byer O.D. A 3-D Analog of Steiner´s Porism // Mathematics Magazine, 2014, Vol. 87, I. 2, pp. 95-99.
14. Coolidge J.L. A Treatise on the Circle and the Sphere, New York: Chelsea, 1971.
15. Coxeter H.S.M. Loxodromic sequences of tangent spheres // Aequationes Mathematicae 1, 1968, pp. 104-121.
16. Coxeter H.S.M. The problem of Apollonius // Amer. Math. Monthly, 1968, I. 75, pp. 5-15.
17. Descartes R. Oeuvres de Descartes, Correspondance IV, Paris, Leopold Cerf, 1901.
18. Dupin Ch. Développements de géometrié, Paris, 1813.
19. Ford L.R. Fractions // Amer. Math. Monthly, 1938, V. 45, pp. 586-601.
20. Graham R.L., Lagarias J.C., Mallows C.L., Wilks A.R., Yan C.H. Apollonian Circle Packings: Number Theory // Journal of Number Theory, 2003, I. 100, pp. 1-45.
21. Lagarias J.C., Mallows C.L., Wilks A.R. Beyond the Descartes Circle Theorem // American Mathematical Monthly, 2002, V. 109, I. 4, pp. 338-361.
22. Okumura H., Watanabe M. Characterizations of an Infinite Set of Archimedean Circles // Forum Geometricorum, 2007, V. 7, pp. 121-123.
23. Power F. Some more Archimedean circles in the arbelos // Forum Geometricorum, 2005, V. 5, pp. 133-134.
24. Steiner J. Einige geometrische Betrachtungen // J. reine Angew. Math. 1, 1826, pp. 161-184, 252-288.
25. Wilker J.B. Four proofs of a generalization of the Descartes circle theorem // Amer. Math. Monthly, 1969, V. 76, pp. 278-282.
