Целью работы является анализ притягивающих множеств, формируемых при фрезеровании концевыми фрезами. Предварительно рассмотрено формирование стационарных траекторий периодических деформационных смещений инструмента относительно заготовки и их устойчивости. В данном случае движения образуют притягивающее множество, задаваемое траекто-риями периодических изменений толщины и ширины срезаемого слоя каждым зубом фрезы с учетом деформационных смещений. В отличие от ранее рассмотренных случаев, в статье анализируются притягивающие множества, формируемые при потере устойчивости стационарной траектории. Показано, что в зависимости от параметров системы и технологических режимов в динамической системе фрезерования могут формироваться притягивающие множества типа предельных циклов, инвариантных торов и странных (хаотических) аттракторов. При этом анализируются два случая. В первом параметры системы (прежде всего — скорости резания) позволяют пренебречь изменениями коэффициентов в дифференциальных уравнениях в пределах импульсной реакции системы. Во втором случае параметры системы изменяются в пределах импульсной реакции системы — и в ней образуется дополнительный источник параметрического самовозбуждения. Значительное внимание в статье уделено анализу бифуркаций притягивающих множеств в параметрическом пространстве: дается общий анализ и приводятся приме-ры. Притягивающие множества анализируются под углом зрения их влияния на параметры качества изготовления деталей.
процесс фрезерования концевыми фрезами, притягивающие множества, бифуркации, управление, параметры качества изготовления деталей.
В последние два десятилетия при изучении свойств эволюции и самоорганизации широко используется синергетическая парадигма [1–4]. Ее применение для управления сложными нелинейными объектами нашло свое отражение в работах [5–8]. При создании систем управления динамической системой резания также используются основы синергетической теории управления [7–14]. В этом случае управление, в том числе на основе построения программы ЧПУ, включает определение желаемых траекторий формообразующих движений и соответствующих им траекторий движения исполнительных элементов станка. При решении этой задачи принципиально важно знать свойства тех притягивающих множеств, которые самостоятельно образуются в окрестности формообразующих движений инструмента относительно обрабатываемой детали. Необходимо также уметь управлять этими множествами, влияющими на качество поверхности, формируемой при резании. Наконец, раскрытие свойств притягивающих множеств, формирующих сигнал виброакустической эмиссии, открывает новые пути построения информационных моделей для диагностирования процесса [15].
Изучение притягивающих множеств связано с рассмотрением динамической системы резания, изучению которой посвящено множество известных исследований [16–32]. Фрезерование является наиболее сложным процессом резания [33–46]. Это обусловлено его нестационарностью. Параметры длины и толщины срезаемого слоя каждым режущим лезвием периодически изменяются. Поэтому в подвижной системе координат, движение которой определяется траекториями исполнительных элементов, стационарным, установившимся состоянием является не точка равновесия (как при точении), а замкнутая траектория. В связи с этим уравнение динамики имеет периодически изменяющиеся коэффициенты.
Рассмотрим процесс фрезерования на станках, имеющих до пяти координат управления при обработке деталей, параметры жесткости которых существенно изменяются вдоль траектории движения инструмента [44–46]. В настоящей статье, в отличие от известных исследований, учитываются несколько источников самовозбуждения и связи, обусловленные взаимодействиями передней и задней поверхностей инструмента с деталью. Здесь можно рассматривать два случая. Первый — обработка с малыми частотами вращения шпинделя, когда в системе в пределах импульсной реакции параметры можно считать замороженными. Второй — обработка с большими частотами вращения, когда параметры нельзя считать замороженными.
1. Пригожин, И. Порядок из хаоса / И. Пригожин, И. Стенгерс ; под общ. ред. В. И. Аршинова, Ю. Л. Климонтовича, Ю. В. Сачкова. - Москва : Прогресс, 1986. - 193 с.
2. Пригожин, И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / И. Пригожин, И. Стенгерс - Москва : Едиториал УРСС, 2003. - 312 с.
3. Хакен, Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Хакен. - Москва : Мир, 1985. - 424 с.
4. Хакен, Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии / Г. Хакен. - Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. - 320 с.
5. Колесников, А. А. Синергетическая теория управления / А. А. Колесников. - Москва : Энергоатомиздат, 1994. - 344 с.
6. Синергетика и проблемы теории управления / под ред. А. А. Колесникова. - Москва : Физматлит, 2004. - 504 с.
7. Заковоротный, В. Л. Динамика процесса резания. Синергетический подход / В. Л. Заковоротный, М. Б. Флек. - Ростов-на-Дону : Терра, 2006. - 880 с.
8. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей / В. Л. Заковоротный [и др.]. - Ростов-на-Дону : Изд-во ДГТУ, 2008. - 324 с.
9. Zakovorotny, V. L. The Problems of Control of the Evolution of the Dynamic System Interacting with the Medi um / V. L. Zakovorotny, A. D. Lukyanov // International Journal of Mechanical Engineering and Automation. - 2014. - Vol. 1, № 5. - Р. 271-285.
10. Заковоротный, В. Л. Свойства формообразующих движений при сверлении глубоких отверстий малого диаметра / В. Л. Заковоротный, Е. Ю. Панов, П. Н. Потапенко // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2001. - Т. 1, № 2. - С. 81-93.
11. Заковоротный, В. Л. Управление процессом сверления глубоких отверстий спиральными сверлами на ос-нове синергетического подхода / В. Л. Заковоротный, В. П. Лапшин, И. А. Туркин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2014. - № 3 (178). - С. 33-41.
12. Заковоротный, В. Л. Особенности преобразования траекторий исполнительных элементов станка в траек тории формообразующих движений инструмента относительно заготовки // В. Л. Заковоротный, Д. Т. Фам // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2011. - № 4. - С. 69-75.
13. Заковоротный, В. Л. Синергетическая концепция при построении систем управления точностью изготов-ления деталей сложной геометрической формы // В. Л. Заковоротный, М. Б. Флек, Д. Т. Фам // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - Т. 11, № 10 (61). - С. 1785-1797.
14. Заковоротный, В. Л. Система оптимального управления процессом глубокого сверления отверстий малого диаметра / В. Л. Заковоротный, Т. Санкар, Е. В. Бордачев // СТИН. - 1994. - № 12. - С. 22.
15. Заковоротный, В. Л. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего стан-ка для диагностики процесса обработки / В. Л. Заковоротный, И. В. Ладник // Проблемы машиностроения и надежно-сти машин. - 1991. - № 4. - С. 75-81.
16. Тлустый, И. Автоколебания в металлорежущих станках / И. Тлустый. -Москва : Машгиз, 1956. - 395 с.
17. Tlusty, I. Selbsterregte Schwingungen an Werkzeugmaschinen / I. Tlusty [et al]. - Berlin : Veb Verlag Technik, 1962. - 320 р.
18. Tobias, S. A. Machine Tool Vibrations / S. A. Tobias. - London : Blackie, 1965. - 350 р.
19. Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. - Москва : Машиностроение, 1967. - 359 с.
20. Эльясберг, М. Е. Автоколебания металлорежущих станков: Теория и практика / М. Е. Эльясберг. - Санкт-Петербург : ОКБС, 1993. - 182 с.
21. Вейц, В. Л. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества при механической обработке мало-жестких заготовок / В. Л. Вейц, Д. В. Васильков // СТИН. - 1999. -№ 6.- С. 9-13.
22. Соколовский, А. П. Вибрации при работе на металлорежущих станках / А. П. Соколовский // Иссле-дование колебаний при резании металлов. - Москва : Машгиз, 1958. - С. 15-18.
23. Мурашкин, Л. С. Прикладная нелинейная механика станков / Л. С. Мурашкин, С. Л. Мурашкин. - Ленин-град : Машиностроение, 1977. - 192 с.
24. Zakovorotny, V. L. Bifurcations in the dynamic system of the mechanic processing in metal-cutting tools / V. L. Zakovorotny // Journal of Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - 2015. - Vol. 10. - P. 102-116.
25. Заковоротный, В. Л. Самоорганизация и бифуркации динамической системы обработки металлов резанием / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, В. С. Быкадор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2014. - Т. 22, № 3. - С. 26-40.
26. Заковоротный, В. Л. Влияние изгибных деформаций инструмента на самоорганизацию и бифуркации ди-намической системы резания металлов / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, В. С. Быкадор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2014. - Т. 22, № 3. - С. 40-53.
27. Stepan, G. Delay-differential equation models for machine tool chatter / G. Stepan ; ed. F.-C. Moon. - New York : John Wiley, 1998. - Р. 165-192.
28. Stepan, G. Delay, Parametric excitation, and the nonlinear dynamics of cutting processes / G. Stepan, T. Insperge, R. Szalai // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2005. - Vol. 15, № 9. - Р. 2783-2798.
29. Tobias, S.-A. Theory of regenerative machine tool chatter / S.-A. Tobias, W. Fishwick // The Engineer. - 1958. - Vol. 205. - P. 199-203.
30. Merritt, H.-E. Theory of self-excited machine tool chatter / H.-E. Merritt // ASME Journal of Engineering for In-dustry. - 1965. - Vol. 205, № 11. - P. 447-454.
31. Sridhar, R. A stability algorithm for the general milling process: Contribution to machine tool chatter research-7 / R. Sridhar, R.-E. Hohn, G.-W. Long // ASME Journal of Engineering for Industry. - 1968. - Vol. 90, № 2. - P. 330-334.
32. Altintas, Y. Analytical prediction of stability lobes in milling / Y. Altintas, E. Budak // Annals of the CIRP. - 1995. - Vol. 44, № 1. - P. 357-362.
33. Tlusty, J. Special aspects of chatter in milling / J. Tlusty, F. Ismail // ASME Journal of Vibration, Stress, and Reli-ability in Design. - 1983. - Vol. 105, № 1. - P. 24-32.
34. Minis, I. A new theoretical approach for the predic¬tion of machine tool chatter in milling / I. Minis, T. Yanushevsky // Trans. ASME Journal of Engineering for Industry. - 1993. - Vol. 115, № 2. - P. 1-8.
35. Insperger, T. Stability of the milling process / T. Insperger, G. Stepan // Periodical Polytechnic-Mechanical Engi-neering. - 2000. - Vol. 44, № 1. - P. 47-57.
36. Budak, E. Analytical prediction of chatter stability in milling. Part I: General formulation / E. Budak, Y. Altintas // ASME Journal of dynamic systems measurement and control. - 1998. - Vol. 120, № 6 (1). - P. 22-30.
37. Budak, E. Analytical prediction of chatter stability condi¬tions for multi-degree of systems in milling. Part II: Ap-plications / E. Budak, Y. Altintas // ASME Journal of dynamic systems measurement and control. - 1998. - Vol. 120, № 6 (1). - P. 31-36.
38. Merdol, D. Multi-frequency solution of chatter stability for low immersion milling / D. Merdol, Y. Altintas // ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2004. - Vol. 126, № 3. - P. 459-466.
39. Stability of up-milling and down-milling. Part 1: Alternative analytical methods / T. Insperger [et al.] // Interna-tional Journal of machine tools and manufacture. - 2003. - Vol. 43, № 1 - P. 25-34.
40. Kline, W.-A. The prediction of surface ac¬curacy in end milling / W.-A. Kline, R.-E. Devor, I.-A. Shareef // ASME Journal of engineering for industry. - 1982. - Vol. 104, № 5. - P. 272-278.
41. Elbestawi, M.-A. Dynamic modeling for the prediction of surface errors in milling of thin-walled sections / M.-A. Elbestawi, R. Sagherian // Theoretical computational fluid dynamics. - 1991. - Vol. 25, № 2 - P. 215-228.
42. Campomanes, M.-L. An improved time domain simulation for dynamic milling at small radial immersions / M.-L. Campomanes, Y. Altintas // Trans. ASME Journal of manufacturing science and engineering. - 2003. - Vol. 125, № 3. - P. 416-425.
43. Paris, H. Surface shape prediction in high-speed milling // International Journal of machine tools and manufac-ture / H. Paris, G. Peigne, R. Mayer. - 2004. - Vol. 44, № 15. - P. 1567-1576.
44. Altintas, Y. A general mechanics and dynamics model for helical end mills / Y. Altintas, P. Lee // Annals of the CIRP. - 1996. - Vol. 45, № 1. - P. 59-64.
45. Ozturk, E. Modeling of 5-axis milling processes / E. Ozturk, E. Budak // Machining Science and Technology. - 2007. - Vol. 11, № 3. - P. 287-311.
46. Budak, E. Modeling and simulation of 5-axis milling processes / E. Budak, E. Ozturk, L.-T. Tunc // Annals of CIRP. Manufacturing Technology. - 2009. - Vol. 58, № 1. - P. 347-350.
47. Stability limits of milling considering the flexibility of the workpiece and the machine / U. Bravo [et al.] // Inter-national Journal of machine tools and manufacture. - 2005. - Vol. 45. - P. 1669-1680.
48. Modeling regenerative workpiece vibrations in five-axis milling / K. Weinert [et al.] // Production Engineering. Research and Development. - 2008. - № 2. - P. 255-260.
49. Biermann, D. A general approach to simulating workpiece vibrations during five-axis milling of turbine blades / D. Biermann, P. Kersting, T. Surmann // CIRP Annals. Manufacturing Technology. - 2010. - Vol. 59, № 1 - P. 125-128.
50. Воронов, С. А. Критерии оценки устойчивости процесса фрезерования нежестких деталей / С. А. Воронов, А. В. Непочатов, И. А. Киселев // Известия вузов. Машиностроение. - 2011. - № 1 (610). - С. 50-62.
51. Voronov, S. Dynamics of flexible detail milling / S. Voronov, I. Kiselev // Proceedings of the Institution of Me-chanical Engineers. Part K: Journal of Multi-body Dynamics - 2011. - Vol. 225, № 3. - P. 1177-1186.
52. Заковоротный, В. Л. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, С.-Т. Нгуен // Известия высших учеб-ных заведений. Северо-Кавказский регион. (Технические науки) - 2011. - № 2. - С. 38-46.
53. Моделирование динамической связи, формируемой процессом точения, в задачах динамики процесса ре-зания (скоростная связь) / В. Л. Заковоротный [и др.] // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - Т. 11. - № 2 (53). - С. 137-146.
54. Моделирование динамической связи, формируемой процессом точения (позиционная связь) / В. Л. Заковоротный [и др.] // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - Т. 11, № 3 (54). - С. 301-311.
55. Заковоротный, В. Л. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении / В. Л. Заковоротный, Д. Т. Фам, С. Т. Нгуен // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2010. - Т. 10. - № 7 (50). - С. 1005-1015.
56. Данжело, Р. Линейные системы с переменными параметрами / Р. Данжело. - Москва : Машиностроение, 1974. - 287 с.
57. Понтрягин, Л. С. Избранные труды. Т. 2 / Л. С. Понтрягин. - Москва : Наука, 1988. - 576 с.
58. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильев, В. М. Волосов // Тр. междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям. - Киев : Изд-во АН УССР, 1963. - С. 56-61.
59. Заковоротный, В. Л., Фам, Т. Х. Параметрическое самовозбуждение динамической системы резания / В. Л. Заковоротный, Т. Х. Фам // Вестник Дон. гос. техн ун-та. - 2013. - Т. 13, № 5/6 (74). - С. 97-103.
60. Feigenbaum, M.-J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations / M.-J. Feigenbaum // Journal of Statistical Physics. - 1978. - Vol. 19. - P. 25-52.
