Целью работы является рассмотрение проблемы устойчивости установившихся стационарных траекторий упругих деформационных смещений инструмента при продольном фрезеровании концевыми фрезами. В отличие от ранее рассмотренных проблем устойчивости, в которых анализируется случай мед-ленных движений, для которых в уравнениях в вариациях относительно стационарной траектории параметры системы можно рассматривать замороженными, анализируется случай большой скорости резания. В этом случае при анализе устойчивости необходимо рассматривать линеаризованную систему в вариациях с периодически изменяющимися коэффициента-ми. По мере увеличения скорости вращения инструмента во многих случаях наблюдается параметрическое самовозбуждение колебаний, поэтому главное внимание уделяется изучению условий параметрического самовозбуждения динамической системы фрезерования концевыми фрезами. Показано, что на условие параметрического самовозбуждения оказывают влияние как технологические режимы резания, прежде всего частота вращения инструмента, так и геометрия инструмента, которая определяет матрицы угловых коэффициентов ориентации сил резания. Приводятся примеры областей устойчивости в зависимости от изменения параметров системы.
процесс фрезерования концевыми фрезами, стационарные траектории, периодически изменяющиеся па-раметры, устойчивость, параметрическое самовозбуждение.
При изучении динамики процесса резания, в частности, фрезерования, рассматривают упругие подсистемы со стороны режущего инструмента и обрабатываемой детали, которые взаимодействуют между собой через динамическую связь, формируемую процессом обработки [1–9]. В свою очередь, динамическая связь характери-зует модель сил резания, представленную в координатах состояния системы и технологических режимах [10, 11].
1. Заковоротный, В. Л. Динамика процесса резания. Синергетический подход / В. Л. Заковоротный, М. Б. Флек. - Ростов-на-Дону : Терра, 2006. - 880 с.
2. Заковоротный, В. Л. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей / В. Л. Заковоротный, А. Д. Лукьянов, Д. А. Нгуен, Д. Т. Фам. - Ростов-на-Дону : Изд-во ДГТУ, 2008. - 324 с.
3. Zakovorotny, V. L., Lukyanov, A. D. The Problems of Control of the Evolution of the Dynamic System Interact-ing with the Medium // Int. J. of Mechanical Engineering and Automation. - 2014. - Vol. 1, № 5. - Р. 271 - 285.
4. Тлустый, И. Автоколебания в металлорежущих станках / И. Тлустый ; [пер. с чешск.]. - Москва : Машгиз, 1956. - 395 с.
5. Tlusty, I., Polacek, M., Danek, О., Spacek, L. Selbsterregte Schwingungen an Werkzeugmaschinen. Veb Verlag Technik, Berlin, 1962. - 320 р.
6. Tobias, S. A. Machine Tool Vibrations. Blackie, London, 1965. - 350 р.
7. Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. - Москва : Машиностроение, 1967. - 359 с.
8. Эльясберг, М. Е. Автоколебания металлорежущих станков: теория и практика / М. Е. Эльясберг. - Санкт-Петербург : ОКБС, 1993. - 182 с.
9. Вейц, В. Л. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества при механической обработке мало-жестких заготовок / В. Л. Вейц, Д. В. Васильков // СТИН. - 1999. - № 6. - С. 9-13.
10. Заковоротный, В. Л. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки / В. Л. Заковоротный, Д. Т. Фам, С. Т. Нгуен // Известия высших учеб-ных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. - 2011. - № 2. - С. 38-46.
11. Заковоротный, В. Л. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении / В. Л. Заковоротный, Д. Т. Фам, С. Т. Нгуен // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2010. - № 7(50). - С. 1005-1015.
12. Соколовский, А. П. Вибрации при работе на металлорежущих станках. Исследование колебаний при реза-нии металлов / А. П. Соколовский. - Москва : Машгиз, 1958. - 158 с.
13. Мурашкин, Л. С. Прикладная нелинейная механика станков / Л. С. Мурашкин, С. Л. Мурашкин. - Ленин-град : Машиностроение, 1977. - 192 с.
14. Zakovorotny, V. L. Bifurcations in the dynamic system of the mechanic processing in metal-cutting tools. Journal of Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - 2015. -Vol. 10. - P. 102 - 116.
15. Zakovorotny, V. L., Lukyanov A. D., Bykador V. S. Dynamic self-organization in cutting process. Proceedings of the 6-th International Conference on Mechanics and Materials in Design. Delgada/Azores, 26-30 July, 2015. P 119 - 134
16. Заковоротный, В. Л. Самоорганизация и бифуркации динамической системы обработки металлов резанием / В. Л. Заковоротный, Д. Т. Фам, В. С. Быкадор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2014. -Т. 22, № 3. - С. 26-40.
17. Заковоротный, В. Л. Влияние изгибных деформаций инструмента на самоорганизацию и бифуркации ди-намической системы резания металлов / В. Л. Заковоротный, Д. Т. Фам, В. С. Быкадор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2014. - Т. 22, № 3. - С. 40-53.
18. Stepan, G. Delay-differential equation models for machine tool chatter (ed. Moon, F. C.)// John Wiley, NY, 1998. - Р. 165-192.
19. G. Stepan, T.Insperge and R. Szalai. Delay, Parametric excitation, and the nonlinear dynamics of cutting processes / Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2005. -Vol. 15, №. 9. - Р. 2783 - 2798.
20. Sridhar, R., Hohn R. E., Long G. W. A stability algorithm for the general milling process: Contribution to machine tool chatter research-7 // ASME Journal of Engineering for Industry. - 1968. - Vol. 90, №2. - P. 330 - 334.
21. Altintas, Y., Budak E. Analytical prediction of stability lobes in milling // Annals of the CIRP. - 1995. - Vol. 44, №1. - P. 357 - 362.
22. Tlusty, J., Ismail, F. Special aspects of chatter in milling // ASME Journal of Vibration, Stress, and Reliability in Design. - 1983. - Vol. 105, №1. - P. 24 - 32.
23. Minis, I., Yanushevsky, T. A new theoretical approach for the prediction of machine tool chatter in milling // Trans. ASME Journal of Engineering for Industry. - 1993. - Vol. 115, № 2. -P. 1 - 8. 24. Insperger T., Stepan, G. Stability of the milling process // Periodical Polytechnic-Mechanical Engineering. - 2000. - Vol. 44, №1. - P. 47 - 57. 25. Budak, E., Altintas, Y. Analytical prediction of chatter stability in milling. Part I: General formulation // ASME J. Dyn. Syst., Meas., Control. - 1998. - Vol. 120, № 6(1). - P. 22 - 30. 26. Budak, E., Altintas, Y. Analytical prediction of chatter stability conditions for multi-degree of systems in milling. Part II: Applications // ASME J. Dyn. Syst., Meas., Control. - 1998. - Vol. 120, № 6 (1) - P. 31 - 36. 27. Merdol, D., Altintas, Y. Multi-frequency solution of chatter stability for low immersion milling // ASME J. Man-uf. Sci. Eng. - 2004. - Vol. 126, № 3. - P. 459 - 466.
24. Insperger, T., Mann, B., Stepan, G., Bayly, P.V. Stability of up-milling and down-milling. Part 1: Alternative ana-lytical methods // Int. J. of Machine Tools and Manufacture. - 2003. - Vol. 43, № 1 - P. 25 - 34. 29. Kline, W.A., Devor, R. E., Shareef I. A. The prediction of surface accuracy in end milling // ASME J. Eng. Ind. - 1982. - Vol. 104, № 5. - P. 272 - 278. 30. Elbestawi, M. A., Sagherian, R. Dynamic modeling for the prediction of surface errors in milling of thin-walled sections // Theor. Comput. Fluid Dyn. - 1991. - Vol. 25, № 2 - P. 215 - 228. 31. Campomanes, M. L., Altintas, Y. An improved time domain simulation for dynamic milling at small radial immer-sions // Trans. ASME. J. of Manuf. Sci. and Eng. - 2003. - Vol. 125, №3. - P. 416 - 425. 32. Paris, H., Peigne, G., Mayer, R. Surface shape prediction in high-speed milling // Int. J. of Machine Tools and Manufacture. - 2004. - Vol. 44, №15. - P. 1567 - 1576. Vol. 45, № 1. - P. 59 - 64. 34. Ozturk, E., Budak, E. Modeling of 5-axis milling processes // Machining Science and Technology. - 2007. - Vol. 11, № 3. - P. 287 - 311. 35. Budak, E., Ozturk, E., Tunc, L.T. Modeling and simulation of 5-axis milling processes // Annals of CIRP. Manu-facturing Technology. - 2009. - Vol. 58, № 1. - P. 347 - 350.
25. Bravo, U, Altuzarra, O, Lopez de Lacalle, L.N., Sanchez, J.A., Campa, F.J. Stability limits of milling considering the flexibility of the workpiece and the machine // Int. J. of Machine Tools and Manufacture. - 2005. - Vol. 45. - P. 1669 - 1680.
26. Weinert, K., Kersting, P., Surmann, T., Biermann D. Modeling regenerative workpiece vibrations in five-axis mill-ing // Prod. Eng. Res. Devel. - 2008. - № 2. - P. 255 - 260. 38. Biermann, D., Kersting, P., Surmann, T. A general approach to simulating workpiece vibrations during five-axis milling of turbine blades // CIRP Annals. Manufacturing Technology. - 2010. - Vol. 59, № 1 - P. 125 - 128. 39. Воронов, С. А. Методика применения численного моделирования динамики многокоординатного фрезеро-вания сложнопрофильных деталей при проектировании технологического процесса / С. А. Воронов, И. А. Киселев, С. В. Аршинов // Вестник Мос. гос. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана. Серия Машиностроение. - 2012. - Спец. вып. № 6. - С. 50-69.
27. Воронов, С. А. Критерии оценки устойчивости процесса фрезерования нежестких деталей / С. А. Воронов, А. В. Непочатов, И. А. Киселев // Известия вузов. Машиностроение. - 2011. - № 1 (610). - С. 50-62.
28. Заковоротный, В. Л. Синергетический подход при изучении устойчивости формообразующих траекторий попутного фрезерования боковыми гранями концевых фрез (случай малой скорости резания) / В. Л. Заковоротный, А. А. Губанова, А. Д. Лукьянов // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2016. - № 1 (85). - С. 50-62.
29. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. - Москва : Гостехиздат, 1950. - 167 с.
30. Д’Aнжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами / Г. Д’Aнжело. - Москва : Машинострое-ние, 1974. - 287 с.
31. Заковоротный, В. Л. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего стан-ка для диагностики процесса обработки / В. Л. Заковоротный, И. В. Ладник // Проблемы машиностроения и надежно-сти машин. - 1991. - № 4. - С. 75-81.
