Самара, Самарская область, Россия
УДК 51 Математика
Моделирование полей различной структуры аналитическим методом широко представлено в уже изученных системах координат, таких как цилиндрическая, сферическая и пр. Если же поля и их источники имеют более сложную структуру, то для их изучения требуются другие подходы. Ранее в работах [11; 12] была рассмотрена нормальная коническая система координат. В статье рассматривается применение метода нормальных конических координат для моделирования физических полей в телах с коническими формами. В теоретической части обосновывается переход от графических методов исследования простых полей к использованию дифференциального аппарата теории поля для объектов со сложной геометрией. Описана система нормальных конических координат (t, u, v), установлены зависимости перехода к прямоугольным декартовым координатам, а также получены выражения для частных производных и коэффициентов Ламе. На основе этих соотношений выведен оператор Лапласа (лапласиан) скалярного поля в криволинейной системе координат. В основной части работы сформулированы допущения, позволяющие свести задачу стационарной теплопроводности для конической стенки к пространственно-одномерной. Используя полученные параметры, составлено дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных, которое посредством преобразований сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению. Получено аналитическое решение для распределения температуры T(v), зависящее от координаты нормали к конусу-определителю. Доказано, что изотермическими поверхностями в данной постановке являются конусы, эквидистантные поверхности определителя системы. Определены постоянные интегрирования на основе граничных условий первого рода, установлен закон изменения температуры и выведена формула для расчета теплового потока по закону Фурье. В заключительной части представлен численный пример расчета температурного поля и теплового потока для теплоизоляционного слоя конической оболочки, подтверждающий работоспособность предложенного математического аппарата.
конические координаты; координация пространства; теория поля, теплопроводность
1. Бердинский В.А. Об ортогональных криволинейных системах координат в пространствах постоянной кривизны [Текст] / В.А. Бердинский, И.П. Рыбников // Сибирский математический журнал. Сибирское отделение РАН, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН. — 2011. — Т. 52. — № 3. — С. 502–511.
2. Булах Е.Г. Основы векторного анализа и теории поля [Текст] / Е.Г. Буллах, В.Н. Шуман. — Киев: Наукова думка, 1998. — 300 с.
3. Гирш А.Г. Окружности на комплексной плоскости [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2020. Т. 8. — № 4. — С. 3–12. — DOI: 10/12737/2308-48982021-8-4-3-12 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-3-12
4. Гузев М.А. Вывод уравнений градиентной теории в криволинейных координатах [Текст] / М.А. Гузев, Q.I. Chengzhi // Дальневосточный математический журнал. Институт прикладной математики ДВО РАН, Дальневосточный федеральный. — 2013. — Т. 13. № 1. — С. 35–42.
5. Ефремов А.В. Пространственные геометрические ячейки — квазимногогранники [Текст] / А.В. Ефремов, Т.А. Верещагина, Н.С. Кадыкова, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. — 2021. — Т. 9. — № 3. — С. 30–38. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-30-38
6. Иващенко А.В. Общий анализ формы линии пересечения двух однотипных поверхностей второго порядка [Текст] / А.В. Иващенко, Д.А. Ваванов // Геометрия и графика. — 2020. — Т. 8. — № 4. — С. 24–34. — DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-11-21
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Э. Камке. — М.: Наука, 1981. — 268 с.
8. Конопацкий Е.В. Точечные инструменты геометрического моделирования, инвариантные относительно параллельного проецирования [Текст] / Е.В. Конопацкий, А.А. Бездитный // Геометрия и графика. — 2021. Т. 9. — № 4. — С. 11–21. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982022-9-4-11-21
9. Малый В.В. Дифференциальные операции в криволинейных системах координат [Текст] / В.В. Малый, Д.В. Малый, В.С. Щелоков // Вестник Луганского государственного университета имени Владимира Даля. Луганский государственный университет им. В. Даля. 2021. — № 1. — С. 245–253.
10. Михайлова О.В. Об использовании криволинейных координат в векторном анализе [Текст] / О.В. Михайлова, М.М. Сержантова // Инженерный вестник. Академия инженерных наук им. А.М. Прохорова. — 2015. № 11. — С. 20.
11. Николаев М.О. Кратные интегралы в криволинейных системах координат [Текст] / М.О. Николаев, А.В. Николаева // Science time. ИП В.С. Кузьмин. — 2021. № 5 — С. 54–58.
12. Неснов Д.В. Нормальные конические координаты [Текст] / Д.В. Неснов // Международная заочная научно-практическая конференция «Наука и образование в жизни современного общества». — 2016. — С. 189–192.
13. Неснов Д.В. Элементы теории поля в конических координатах [Текст] / Д.В. Неснов // Строительство и техногенная безопасность. ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского». — 2023. — № 28. — С. 45–52.
14. Неснов Д.В. Область правильной координации пространства нормальными коническими координатами. [Текст] / Д.В. Неснов // Геометрия и графика. — 2023. Т. 11. — № 3. — С. 3–11. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982023-11-3-3-11
15. Неустроев Р.Н. Представление классических ортогональных криволинейных систем координат на плоскости квадратичными формами и характеризация эллиптических координат [Текст] / Р.Н. Неустроев // Вестник научных конференций. ООО «Консалтинговая компания Юком». — 2015. — № 3-2. — С. 104–105.
16. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. — С. 14–27. DOI:https://doi.org/10.12737/articlre_5c9201eb1c5f06.47425839
17. Сальков Н.А. Формирование поверхностей при кинетическом отображении [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 1. — С. 20–33. DOI: 10/12737/articlre_5ad094a0380725.32164760
18. Смирнов С.С. Параметрический метод автоматического задания координат сложной криволинейной поверхности [Текст] / С.С. Смирнов // Грузовик. Инновационное машиностроение. — 2005. — № 5. — С. 35–37. DOI: https://doi.org/10.1070/PU1992v035n01ABEH002194
19. Степанов М.Е. Метод криволинейных координат в компьютерной геометрии [Текст] / М.Е. Степанов // Моделирование и анализ данных. Московский государственный психолого-педагогический университет. 2013. — № 1. — С. 157–192.
20. Francesco P. Conformal field theory / P. Francesco, P. Mathieu, D. Senechal // Springer-Verlag. New York. 2012.
21. Landau L.D. The classical theory of fields / L. D. Landau, E. M. Lifshitz // Elsevier. New York. 2013.
22. Pidgorny O.L. From the Theory of the Maps to Geometrical Modeling of Objects, Phenomena and Processes // The Applied Geometry and Engineering Graphics. 2002. I. 70. pp. 32–38.
23. Nikitin M.N. J. of Physics: Conf. series 891, 12039 (2017), DOI:https://doi.org/10.1088/1742- 6596/891/1/012039
24. Nesnov D.V. Field theory in normal toroidal coordinates, MATEC Web of Conferences, V. 193, 003022. 2018. DOI: https://doi.org/10.1051/matecconf/201819303022
25. Tsinaeva A.A., Nikitin M.N., Procedia Eng. 150, 23402344 (2016), DOI:https://doi.org/10.1016/j.proeng.2016.07.321
26. Quartieri J. WSEAS Int. conf. (EMESEG'08) / J. Quartieri, L. Sirignano, C. Guarnaccia // Heraklion, Greece. 2008.
