с 01.10.2008 по настоящее время
Россия
В первой и второй частях работы рассматривались в основном свойства циклиды Дюпена, а также приводились некоторые примеры их применения: три способа решения задачи Аполлония исключительно при помощи циркуля и линейки, используя выявленные свойства циклид; определено, что фокальные поверхности циклид Дюпена вырождены в линии и представляют собой кривые второго порядка – отсюда циклиды могут задаваться кривой второго порядка и сферой, центр которой лежит на фокальной кривой. Выявлено поликоническое соответствие этих фокальных кривых. Показано формирование поверхности четвертого порядка на основе софокусных кривых второго порядка. В настоящем статье читателю предлагается рассмотреть практическое применение свойств циклиды Дюпена. Предлагается решение классической задачи Ферма о касании четырех сфер пятой при помощи линейки и циркуля, т.е. классическим способом. Эта задача стоит в основе проблемы плотной укладки. Далее дается применение циклиды как переходного элемента трубопровода, обеспечивающего плавное сопряжение труб разного диаметра в местах их соединений. Затем приводятся примеры применения циклид Дюпена в архитектуре в качестве оболочек покрытия. Показано, как составляются оболочки из одинаковых отсеков циклиды, из разных отсеков одной и той же циклиды, из отсеков разных циклид, из циклид с включением других поверхностей, частные случаи циклид в учебном процессе. Практическое применение последней задачи нашло место в начертательной геометрии при заключительном геометрическом образовании архитекторов в разделе «Конструирование поверхностей». Здесь применяются такие частные случаи циклиды, как конические и цидиндрические поверхности вращения.
начертательная геометрия, циклические поверхности, каналовые поверхности, циклида Дюпена, задача Ферма, оболочки, архитектура.
В работах [23–25] были рассмотрены основные геометрические свойства цикдиды Дюпена [4–6; 8; 9; 11; 12; 20; 21; 29; 30]. В первой части [23] предлагаемой работы в качестве практического приложения циклид Дюпена рассматривалось построение окружности, касательной к трем данным окружностям — всемирно известная классическая задача Аполлония [9], когда данные окружности имели действительные радиусы.
Во второй части работы [24] рассмотрение свойств циклид Дюпена было продолжено. Предложена и доказана возможность задания циклиды Дюпена произвольным эллипсом в качестве линии центров множества образующих сфер и сферой с центром, принадлежащим этому эллипсу. Доказана достаточность этих сведений для построения циклиды Дюпена. Геометрически доказано, что фокальные линии циклид представляют собой не что иное, как кривые второго порядка. Дано графоаналитическое представление фокальных линий циклид. Показано поликоническое соответствие фокальных линий циклид Дюпена, которое рассмотрено во всех четырех случаях. Предложено формирование гиперболической поверхности четвертого порядка с использованием одной или двух первичных кривых второго порядка, в данном случае эллипсов.
1. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Учпедгиз, 1957.
2. Берже М. Геометрия [Текст] / М. Берже. - Т. 1-2. - М.: Мир, 1984.
3. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Физматгиз, 1963.
4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. - М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
5. Глоговский В.В. β-отображение [Текст] / В.В. Глоговский // Львовская секция инженерной графики, 1961. - Вып. 2. - С. 27-34.
6. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании [Текст] / Я.А. Грязнов // Геометрия и графика. - 2012. - Т. 1. - № 1. - С. 17-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/2077.
7. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2012. - Т. 2. - № 3. - С. 3-6. - DOI:https://doi.org/10.12737/6518.
8. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. - М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
9. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010.
10. Левицкий В.С. О теме «Сопряжения» в курсе «Инженерная графика» [Текст] / В.С. Левицкий // Сборник научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. - М.: Высшая школа, 1980. - С. 44-51.
11. Надолинный В.А. Аналитические методы в конструировании поверхностей [Текст] / В.А. Надолинный. - Киев: КПИ, 1981.
12. Огнев А.В. О геометрических задачах на построение, сводимых к задаче Ферма [Текст] / А.В. Огнев // Труды Казан. хим.-техн. ин-та, 1960. - Вып. 29. - С. 155-157.
13. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии [Текст] / Д.И. Перепелкин. - Т. 2. - М.: ГТТИ, 1949. - 468 с.
14. Сальков Н.А. Аналитическое представление проектных горизонталей поверхностных форм автомобильных дорог [Текст] / Н.А. Сальков / Актуальные проблемы градостроительства и жилищно-коммунального комплекса. Международная научно-практическая конференция 15-16 мая 2003 г. - М.: МИКХиС, 2003. - С. 61-62.
15. Сальков Н.А. Геометрическое и математическое моделирование виражных участков автомобильных дорог [Текст] / Н.А. Сальков / Труды МАДИ: Вычислительная геометрия и машинная графика в задачах САПР автомобилестроения и автомобильных дорог. - М., 1989. - С. 4-9.
16. Сальков Н.А. Геометрическое и программно-математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Н.А. Сальков. - М.: МАДИ, 1990.
17. Сальков Н.А. Геометрические параметры грохота [Текст] / Н.А. Сальков // Прикл. геометрия и инж. графика. - Киев: Будiвельник, 1987. - Вып. 43. - С. 69-71.
18. Сальков Н.А. Графоаналитическое решение некоторых частных задач квадратичного программирования [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 1. - С. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/3842.
19. Сальков Н.А. Кинематическое соответствие вращающихся пространств [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - С. 4-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/2074.
20. Сальков Н.А. Об особенностях оси торовой поверхности переменного радиуса [Текст] / Н.А. Сальков // Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 33. - Киев: Будiвельник, 1982. - С. 79-80.
21. Сальков Н.А. О некоторых закономерностях, имеющих место при касании сфер [Текст] / Н.А. Сальков // Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 32. - Киев: Будiвельник, 1981. - С. 113-115.
22. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 3. - С. 7-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/6519.
23. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - С 16-25. - DOI:https://doi.org/10.12737/10454.
24. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 9-22. - DOI:https://doi.org/10.12737/12164.
25. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 4. - С. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12737/17345.
26. Чернышова З.Т., Глоговский В.В. Проекционное решение задачи Ферма о касании сфер [Текст] / З.Т. Чернышова, В.В. Глоговский // Львовская секция инж. графики. 1958. - Вып. 1. - С. 51-57.
27. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Учпедгиз, 1961. - 360 с.
28. Энциклопедия элементарной математики [Текст]. - Кн. 4 - Геометрия. - М.: Наука, 1966.
29. Якубовский А.М. Исследования аналитического метода задания циклид Дюпена при выявлении их из конгруэнций окружностей [Текст] / А.М. Якубовский // Труды УДН. - Т. 53. - Вып. 4. - Прикладная геометрия. - М., 1971. - С. 26-40.
30. Dupin Ch. Développements de géometrié, P., 1813.
