Москва, г. Москва и Московская область, Россия
В рамках решения задачи аппроксимации поверхностей свободной формы полиэдрами с группами конгруэнтных граней была предложена идея о возможности предварительного задания одной или нескольких групп конгруэнтных треугольников для любой триангуляции без ограничения гибкости последующей оптимизации. Это привело к созданию концепции αβ-триангуляции. Статья раскрывает теоретические аспекты αβ-триангуляции в двумерном евклидовом пространстве E2 , основанные на пересечении элементов теории множеств, теории графов и комбинаторной топологии. В статье представлено подробное исследование новой математической модели. Автором вводится точное определение понятия αβ-триангуляции, формулируются её основные свойства и устанавливаются важные операции, такие как разрезание и сшивание, позволяющие эффективно трансформировать структуру триангуляции. Подробно описывается алгоритм построения αβ-триангуляции из произвольной сильно связной триангуляции, что обеспечивает универсальный подход к формированию оптимальных структур для конкретных задач. Также приводится доказательство непротиворечивости и независимости введённой системы аксиом, что существенно укрепляет теоретические основания модели. Теоретическая разработка αβ-триангуляции открывает широкие перспективы для решения задач вычислительной геометрии, предлагая эффективный инструмент для представления и обработки сложных форм пространственных объектов. Тем не менее, перед применением данной модели на практике необходимы дополнительные эксперименты и анализ её эффективности по сравнению с существующими аналогами. Таким образом, дальнейшие исследования позволят определить роль и значение предложенной модели в контексте современных технологий и методов геометрического моделирования.
триангуляция Делоне, оптимальная триангуляция, αβ-триангуляция, аксиоматика αβ-триангуляции, свойства αβ-триангуляции
1. Александров П.С. Комбинаторная топология [Текст] / П.С. Александров. — 2-е изд. — М. — Л.: Ленанд, 2020. 664 с.
2. Берже М. Геометрия. Т. 1 [Текст] / М. Берже. — М.:Мир, 1984. — 500 с.
3. Бикбулатов Т.Х. Использование частичной параллелизации для триангуляции двумерных областей [Текст] / Т.Х. Бикбулатов, Д.Н. Тумаков // Программные продукты и системы. — 2022. — № 3. — С. 293–304. — DOI:https://doi.org/10.15827/0236-235X.139.293-304 EDN: https://elibrary.ru/PESJZO
4. Галиулин Р.В. Системы Делоне как основа геометрии дискретного мира [Текст] / Р.В. Галиулин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2003. — Т. 43. — № 6. — С. 790–801. EDN: https://elibrary.ru/OOCQPN
5. Клячин В.А. Алгоритм триангуляции, основанный на условии пустого выпуклого множества [Текст] / В.А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. 2015. — Т. 3. — С. 27–33 DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2015.3.3; EDN: https://elibrary.ru/VATYGJ
6. Клячин В.А. Об одном обобщении условия Делоне [Текст] / В.А. Клячин // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика 2008. — № 1. — C. 48–50. EDN: https://elibrary.ru/KHOGJX
7. Лебединская Н.А. Преобразование триангуляций при помощи элементарных операций [Текст] / Н.А. Лебединская, Д.М. Лебединский // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 1. С. 84–86. EDN: https://elibrary.ru/KVNEAB
8. Рустамян В.В. Анализ топологии полиэдров в задаче аппроксимации замкнутых поверхностей полиэдрами с группами конгруэнтных граней [Текст] / В.В. Рустамян // GraphiCon 2024: Материалы 34-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению, Омск, 17–19 сентября 2024 года. — Омск: Омский государственный технический университет, 2024. — С. 827–836. — DOI:https://doi.org/10.25206/978-5-8149-38732-2024-827-836 DOI: https://doi.org/10.25206/978-5-8149-3873-2-2024-827-836; EDN: https://elibrary.ru/DLSJMT
9. Рустамян В.В. Анализ основных параметров генетического алгоритма при решении задачи аппроксимации замкнутых поверхностей свободной формы полиэдрами с группами конгруэнтных треугольников [Текст] / В.В. Рустамян // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. № 2. — С. 13–25. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-123-13-25 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-3-13-25; EDN: https://elibrary.ru/ETWITX
10. Салех М.С. Внедрение цифровых методов на различных этапах архитектурного проектирования [Текст] / М.С. Салех // Архитектура и современные информационные технологии. — 2021. — № 1. — С. 268–278. DOI:https://doi.org/10.24412/1998-4839-2021-1-268-278 EDN: https://elibrary.ru/SKZHER
11. Салех М.С. Методика поиска архитектурной формы путем применения принципов генетического алгоритма с помощью цифровых технологий на примере общественного центра в городе Истре [Текст] / М.С. Салех // Наука, образование и экспериментальное проектирование. Труды МАРХИ: Материалы международной научно-практической конференции, Москва, 08–12 апреля 2019 года. — М.: Изд-во Московского архитектурного института (государственная академия), 2019. — С. 433–436. EDN: https://elibrary.ru/TMGGIW
12. Салех М.С. Основные направления развития цифровых методов проектирования в новейшей архитектуре [Текст] / М.С. Салех // Архитектура и современные информационные технологии. — 2020. — № 2. С. 351–361. — DOI:https://doi.org/10.24411/1998-4839-2020-15119 EDN: https://elibrary.ru/KBFSOP
13. Сальков Н.А. Изучение геометрии как важнейший способ развития эвристического мышления [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. — Т. 12. —№ 1. — С. 22–31. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-121-22-31 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-1-22-31; EDN: https://elibrary.ru/RDLBIM
14. Сальков Н.А. Определение расстояний между геометрическими фигурами интерактивным методом [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2024. Т. 12. — № 4. — С. 3–14. — DOI:https://doi.org/10.12737/2308-48982024-12-4-3-14 DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2024-12-4-3-14; EDN: https://elibrary.ru/SDYIHZ
15. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и её применение [Текст] / А.В. Скворцов. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. — 128 с. EDN: https://elibrary.ru/RZIMNT
16. Скворцов А.В. Алгоритмы построения и анализа триангуляции [Текст] / А.В. Скворцов, Н.С. Мирза. — Томск: Изд-во Томского университета, 2006. — 168 с. EDN: https://elibrary.ru/SBVWBL
17. Соловьев А.В. Применение триангуляции Делоне в задаче мониторинга дрейфа льда [Текст] / А.В. Соловьев // Новые информационные технологии в научных исследованиях: Материалы XXIX Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов, Рязань, 27–29 ноября 2024 года. — Рязань: Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина, 2024. С. 147–149. EDN: https://elibrary.ru/DGRJBR
18. Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод?[Текст] / В.А. Успенский. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 96 с.
19. Чекмарев Д.Т. Гладкая интерполяция триангулированной поверхности [Текст] / Д.Т. Чекмарев, М.Х. Абузяров // Материалы XIII Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (AMMAI'2020), Алушта, 06–13 сентября 2020 года. — М.: Изд-во Московского авиационного института (национальный исследовательский университет), 2020. — С. 606–607. EDN: https://elibrary.ru/RZYVTO
20. Чекмарев Д.Т. О гладкой интерполяции триангулированной поверхности [Текст] / Д.Т. Чекмарев, М.Х. Абузяров, W. Cheng // Проблемы прочности и пластичности. — 2020. — Т. 82. — № 2. — С. 147–155. — DOIhttps://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-2-147-155 EDN: https://elibrary.ru/WBBOGD
21. Delaunay B.N. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi [Текст] / B.N. Delaunay // Известия АН СССР. 1934. № 6, pp. 793–800.
22. Fáry I. On stright line representation of planar graph [Текст] / I. Fáry // Acta Sci. Math (Szeged). 1948. V. 11, pp. 229–233.
23. Liu Y. Reducing the Number of Different Faces in FreeForm Surface Approximations Through Clustering and Optimization. [Текст] / Y. Liu, T.-U. Lee, A. Rezaee Javan,N. Pietroni, Y. Xie // Computer-Aided Design. 2023.V. 166, p. 103633. DOI:https://doi.org/10.1016/j.cad.2023.103633 EDN: https://elibrary.ru/CLHJAM
24. Miky Yehia, Kamel Abdullah, Al Shouny Ahmed A combined contour lines iteration algorithm and Delaunay triangulation for terrain modeling enhancement [Текст] / Yehia Miky, Abdullah Kamel, Ahmed Al Shouny // Geo-spatial Information Science. 2022. V. 26, p. 2070553. DOIhttps://doi.org/10.1080/10095020.2022.2070553
25. O'Rourke J. On Flat Polyhedra deriving from Alexandrov's Theorem, 2010, DOI: 10.48550.
26. Pellis D., Kilian M., Wang H., Jiang C., Müller C., Pottmann H. Architectural freeform surfaces designed for cost-effective paneling through mold re-use // Conference: Advances in Architectural Geometry. 2021.
27. Singh M., Schaefer S. Triangle Surfaces with Discrete Equivalence Classes // ACM Trans. Graph. 2010. V. 29. DOI:https://doi.org/10.1145/1833351.1778783
