Введение. Наиболее важным вопросом в промышленности строительных материалов остается износ технологического оборудования. В помольных, смесительных, формующих установках при производстве строительных материалов наблюдается изнашивание рабочих поверхностей, ударных частей, лопастей и др. [1–2]. Сдерживающим фактором в развитии помольного, смесительного и гранулирующего оборудования является намол металлических материалов в объеме готового продукта. Конструктивные особенности различных устройств смесителей и измельчителей постоянно совершенствуются на предмет обеспечения надежности работы таких агрегатов и повышения качества готового продукта [3].

Контактные напряжения на границе взаимодействия частицы материала с рабочим элементом измельчителя, или, например, лопастью роторного смесителя, позволяют оценивать величину износа в зависимости от энергетических параметром работы оборудования [4]. Однако, следует понимать, что оригинальные конструкции помольных агрегатов для различных технологических процессов промышленности строительных материалов по-разному испытывают нагрузки на трение. В зависимости от конструктивных особенностей измельчителя, его назначения и сложности технологического исполнения результат оценки его износа будет различным: при ультратонком помоле
(S_уд = 4000–6000 см²/кг) величина износа контактных, рабочих поверхностей резко возрастает [5] при средней твердости измельчаемого материала по шкале Мооса 5–7 единиц, при грубом помоле (например, известняка до
S_уд = 1500–2000 см²/кг) показатель износа в два раза ниже по сравнению с вышеуказанным условием [6].

В работе технологического оборудования очень важно учитывать условия процессов трения частиц материала по их рабочим и контактным поверхностям. Особенно износостойкими показателями для технологических процессов измельчения различных материалов должны обладать мельницы. Оценка процессов, связанных с износом материалов, из которых выполнены внутренние детали и узлы мельниц, необходима для прогнозирования сроков эффективной работы помольных агрегатов, а также объема качественной готовой продукции на единицу металлоемкости оборудования [7].

В зависимости от сложности конструктивного исполнения технологического оборудования меняются показатели его надежности, в том числе и физического износа контактных, рабочих поверхностей. В дезинтеграторной мельнице [8], показанной на рис. 1, сконструирована оригинальная конструкция помольной камеры. Ее отличительной особенностью является закрытое конструктивное исполнение, обеспечивающее внутреннюю циркуляцию воздушно-материального потока [9]. Конструкции роторов мельницы, образующие помольную камеру, показаны на рис. 2.

Рис. 1.  Дезинтеграторная мельница

Рис. 2.  Конструкции роторов дезинтеграторной мельницы, образующие помольную камеру:                                 а) – внешний ротор; б) –  внутренний ротор.

Целью настоящего исследования является разработка методики определения величины мощности для оригинальной конструкции мельницы дезинтеграторного типа, расходуемой на трение при движении относительного слоя материала по рабочим поверхностям помольной камеры мельницы в отдельности для каждого ротора.

Разработка такой методики расчета позволит определить количество энергии, которая потребляется мельницей при нагрузках трения, действующих внутри помольной камеры. Алгоритм расчета мощности, которая потребляется дезинтеграторной мельницей на трение слоя материала о рабочие поверхности помольной камеры, может быть использован для составления подобных расчетов относительно аналогичных конструктивных решений роторных мельниц. Определение мощности, расходуемой дезинтегратором на трение, позволит спрогнозировать износ рабочих поверхностей помольной камеры и тем самым, повысить надежность и долговечность работы агрегата.

Методы и оборудование. При разработке методики расчета величины мощности, необходимой для преодоления трения воздушно-материальным потоком относительной высоты о рабочие поверхности помольной камеры в качестве объекта исследования использовался экспериментальный образец дезинтграторной мельницы, показанный на рис. 1. Конструктивное исполнение помольной камеры дезинтграторного агрегата показано на рис. 3.

Методика определения показателей мощности, необходимой для преодоления трения воздушно-материалам потоком внутри помольной камеры мельницы, использует прямые методы математического моделирования процессов. В методике используются результаты известных исследований по трению материалов о различные вращающиеся криволинейные поверхности [10-13].

Основная часть. Явление трения в дезинтеграторах является одной из важнейших причин, которая сдерживает широкое использование дезинтеграторных технологий измельчения в промышленности строительных материалов. Небольшие по размерам (например, по сравнению с молотковыми мельницами) ударные элементы различного профиля интенсивно изнашиваются и снижают надежность работы агрегата. Поэтому необходимо оценить количество энергии, которое тратится мельницей на трение двухфазного потока по контактным поверхностям помольной камеры измельчителя.

Двухфазный поток во вращательно-вихревом движении внутри помольной камеры мельницы вступает во взаимодействие с ударными элементами роторов и различными контактными поверхностями, принадлежащими камере помола мельницы. При этом необходимо отметить, что форма ударных элементов, скоростные параметры вращения роторов, плотность двухфазного потока также оказывают влияние на величину мощности мельницы, которая потребляется ею на преодоление сопротивления всех силовых факторов трения.

На рабочие, контактные поверхности и ударные элементы помольной камеры измельчителя, представленной на рис. 3, -– на внешний и на внутренний роторы – воздействуют силовые факторы трения воздушного потока с дисперсными частицами. Вид этих взаимодействий и определяет характер трения двухфазного потока по различным криволинейным поверхностям.

В процессе взаимодействия воздушно-материального потока с рабочими поверхностями помольной камеры в местах контакта возникают различные силовые воздействия (ударные, сдвиговые и др.), одним из которых является воздействие трения, оказываемое со стороны частиц измельчаемого материала. Для нашего расчета мощности представим суммарную силу трения как сумму обобщенных силовых характеристик процесса трения, которые создаются и действуют на цилиндрические поверхности каждого из роторов внутри помольной камеры – Р_б.внут – и на торцевые поверхности роторов – Р_т.внут.. С акцентируем внимание на том, что на торцевых поверхностях роторов по спиральной траектории устанавливаются ударные элементы, например, круглого (или произвольного) поперечного сечения. Геометрическое сечение ударных элементов определяется в зависимости от физико-механических характеристик измельчаемого материала. Силовой фактор трения двухфазного потока относительно торцевой поверхности внешнего ротора имеет вид обобщенной характеристики совместного действия сил Р^'_т.тр. и Р”_т.тр. Силовые факторы Р^'_т.тр. и Р”_т.тр., соответственно, характеризуют процессы определенного воздействие двухфазного потока о торцевую площадь нижнего диска внешнего ротора и сложного обтекания  вращающихся ударных элементов роторов двухфазным потоком.

Рис. 4. Схема для  расчета мощности мельницы, которая расходуется ею на

сопротивление двухфазным потоком трению по контактным поверхностям камеры помола

Для сбора силовых нагрузок, действующих со стороны двухфазного потока на поверхности камеры помола, необходимо определиться с характером силовых нагрузок. Силовое равенство можно заключить в следящий вид:

Pтр.1=Pб.внут.1+Pт.внут.1=

=Pб.внут.1+Pт.тр.1'+Pт.тр.1" .                   (1)

Принимаем индекс 1 – для обозначения наружного ротора, индекс 2 – для внутреннего ротора.

Рассмотрим параметры трения, связанные с наружным ротором (индекс 1).

Определим силовой фактор трения двухфазного потока, который направлен на изнашивание цилиндрической поверхности наружного ротора. Причем его направление определяется с боковой стороны. Значит, с учетом результатов исследований в работе [14] выражение для определения данного силового фактора трения будет выглядеть следующим образом:

Pб.внут1=ζ∙ρφ∙Wн22∙Аб.н. ,           (2)

где Аб.н.  – значение контактной поверхности наружного ротора, м²; Wн  – относительная тангенциальная скорость движения по окружности внутренней цилиндрической поверхности наружного ротора, м/с (данный параметр рассчитывается с помощью параметров кинематики трения частицы материала о вращающуюся цилиндрическую поверхность [15]); ζ  –  коэффициент аэродинамического сопротивления, выбор коэффициента осуществляется с учетом результатов работы [15], и для нашей методики может быть представлен в виде следующей математической функции:

  ζ=f(Re, G) ,                        (3)

здесь G – критерий поверхностного подобия геометрии помольной камеры, характеризуется соотношением оптимального зазора Z между ударными элементами роторов к внутреннему размеру Dвн   наружного ротора:

G=ZDвн .                            (4)

Re – автомодельный критерий Рейнольдса для нашего рассматриваемого случая. По результатам работы [16] получаем следующее выражение для числа Re в автомодельной области:

Re=Ω1∙Dвн22μ∙ρφ ,                    (5)

где  Ω1  – численная характеристика  угловой скорости наружного ротора, рад/с; μ - динамический коэффициент вязкости двухфазного потока, определяемый по методике в [17], кг/м∙с . Рассчитывается Ω1    из режимов работы агрегата для различных измельчаемых материалов и связана со скоростными параметрами вращения ротора.

Для выражения (2) важно верно определить Wн . Это параметр связан с относительной тангенциальной скоростью движения по криволинейной поверхности, которую образует наружный ротор.  Относительную тангенциальную скорость движения Wн  определить можно из известного выражения [18]:

Wн=Ω1∙Rб.нар ,                   (6)

где Rб.нар - радиальный размер от оси инерции наружного ротора до его внутренней цилиндрической поверхности до, м.

Параметр, связанный с размером площади контактной поверхности обозначим через обобщенную величину площади цилиндрической поверхности наружного ротора, которая находится внутри помольной камеры. Рассчитаем ее по уравнению [20]:

Аб.н. =2π∙Rб.нар.∙l0 ,              (7)

здесь h0  – вертикальный габарит оригинальной конструкции помольной камеры, определяется величиной высоты наружного ротора, м. Определить его можно как сумму геометрических параметров высот верхней и нижней частей роторов, которые образуют помольную камеру мельницы [21-22]:

l0=l1+l2+dдиска≈2,2hэ+dдиска,      (8)

где dдиска  – высота диска (тарели), который входит в состав  внутреннего ротора, м; l1,l2  – вертикальные длины верхней и нижней частей рабочего объема помольной камеры мельницы, м.  Вышеуказанные параметры геометрически рассчитываются из условия, что l1=l2≈1,1hэ ; hэ  – высота ударного элемента, например, круглой формы, м.

Теперь необходимо произвести математические преобразования выражения (2) настоящей методики, для этого модифицируем его предложенными выражениями (6) и (7). Тогда получим, что:

Рб.внут.1=π∙Ω1∙ρφ∙ζ∙l0∙Rб.нар.3.           (9)

Для алгебраической конфигурации отнесем высоту помольной камеры l0 , представляющую габаритным размером внутренней поверхности наружного ротора, к размеру внутреннего диаметра Dв , получим соотношение в виде [23]:

C1=l0Dв .                             (10)

С учетом соотношения (10) расчетное выражение (9) для определения Рб.внут.1 будет иметь вид:

Рб.внут.1=0,125π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙Dв4∙C1 .  (11)

Для определения характеристик мощности представим момент силового фактора  Рб.внут.1 для оси инерции наружного ротора в следующем виде (до множим уравнение (11) на плечо Rб.нар  ):

Mб.внут.1=0,125π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙Dв5∙C1 .    (12)

Аналогичным путем можем рассчитать составляющие силовые факторы для торцевой силы трения Рт.внут.1 . По представленной выше методике расчета составляющих силовых факторов для боковой и торцевой сил, действующих на поверхности контакта помольной камеры, находим силу трения Рт.тр.1'  –двухфазного потока о торцевую поверхность нижнего части наружного ротора дезинтеграторной мельницы.

Представим силовой фактор трения Рт.тр.1' двухфазного потока по аналогии с уравнением (2) в следующем виде (этот фактор оказывает воздействие на торцевую поверхность нижней плоской части наружного ротора):

dРт.тр.1'=12∙ζ∙ρφ∙Wн.ч2∙dАт    (13)

где Wн.ч  – скоростная характеристика любой элементарной площадки нижней плоской части наружного ротора в его вращательном движении, м/с, определяется представленным выше выражением (6); dАтр'  – бесконечно малая площадка трения воздушной фазы с частицами о нижнюю плоскую часть наружного ротора, м², в данной методике рассчитывается по аналогичному формуле (7) выражению и в интегральном виде выглядит так:

Атр'=2πR1R2RdR ,              (14)

здесь R  – величина расстояния расположения любой элементарной поверхности нижней плоской части наружного ротора до оси его вращения, м.

На основании вышеизложенного для выражения (13) выполним алгебраические преобразования, после чего выражение будет иметь вид:

dPт.тр.1'=2π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙R3dR .         (15)

Выведем уравнение для определения момента силового фактора dPт.тр.1'  относительно оси инерции нижней плоской части наружного ротора, которое нам в нашей методике будет необходимо для определения параметров мощности. Оно будет иметь следующий вид (до множим dPт.тр.1' на плечо R ):

dMт.тр.1'=R∙dPт.тр.1'=2π∙Ω12∙ρφ ∙ζ∙R4dR.  (16)

Окончательно представим выражение (16) доступное к расчетной работе с подстановками, выполненными выше, относительно всей торцевой поверхности нижней плоской части наружного ротора в виде:

Mт.тр.1'=π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙Dв580.                 (17)

Аналогичным образом в методике расчета теперь необходимо определить  вторую составляющую суммарного силового фактора трения Рт.тр." , который действует посредством оказываемым двухфазным потоком давлением в рабочем объеме камеры помола на торцевую поверхность наружного ротора и на контактные поверхности ударных элементов мельницы.

Теперь для  Рт.тр."  на основании вышеизложенной методики для удовлетворения приведенного выше равенства (2) элементарный силовой фактор трения Рт.тр.1"  потока энергоносителя с частицами измельчаемого материала, который направленно воздействует на единичный ударный элемента z-четного ряда ротора, рассчитывается по формуле:

dРт.тр.1"=12ζ∙ρφ∙Wz2∙dAтр" ,        (18)

где Wz – окружная скорость движения ударного элемента z-четного ряда наружного ротора, м/с, рассчитываемая по аналогии с выражением (6) настоящей методики; dAтр"  – бесконечно малая площадка трения двухфазного потока внутри помольной камеры о контактные поверхности ударного элемента, например, круглого поперечного сечения, z-четного ряда наружного ротора, м². Данный параметр для ударного элемента можно определить из выражения:

dАтр"=0,75π∙dэ2∙hэ ,           (19)

dэ  – диаметр ударного элемента, например, круглой формы, м.

Теперь мы можем проинтегрировать выражение (18), после чего получим выражение для определения силы трения на условном ряду ударных элементов:

Рт.тр.1"=0,75π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙Rz2∙dэ2∙hэ , (20)

где  Rz – расстояние от оси установки ударных элементов z – четного ряда ротора до центра его инерции (вращения), м.

В методике важно определить четные ряды ударных элементов, которые располагаются на том или ином роторе. Эти значения необходимо ввести в выражение (20). Тогда с учетом определенного количества ударных элементов n_z в z – четном ряду, просуммировав их, окончательно получим модифицированное выражение в виде:

Рт.тр.1"=0,75π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙R22n2+R42n4++ R62n6+R82n8∙dэ2∙hэ .             (21)

Для нашей методики определения мощности, потребляемой дезинтегратором на трение,                       при движении относительного слоя материала в помольной камере мельницы, определяем момент силы Рт.тр.1"  относительно оси инерции наружного ротора в окончательном виде:

Mт.тр.1"=0,75π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙R23n2++ R43n4+R63n6+R83n8∙dэ2∙hэ .        (22)

После определения всех составляющих моментов рассчитаем обобщенный момент суммарного силового фактора трения Ртр.1  по выражению алгебраической суммы следующих величин:

Mтр.1=Mб.внут.1+Mт.тр.1'+Mт.тр.1"=0,125π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙Dв5∙C1+π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙Dв580+

+0,75π∙Ω12∙ρφ∙ζ∙R23n2+R43n4+R63n6+R83n8∙dэ2∙hэ .                           (23)

После математических преобразований  (23) окончательно получим:

Mтр.1=0,25π∙Ω12∙ρφ∙ζDв520∙1+5l0Dв+1,5dэ∙hэR23n2+R43n4+R63n6+R86n8 .   (24)

После определения всех необходимых составляющих мощности сил трения, которая тратится на преодоление взаимодействия слоя материала с поверхностями наружного ротора, можем записать выражение для Nтр.1 :

Nтр.1=Mтр.1∙Ω1=0,25π∙Ω13∙ρφ∙ζDв520∙1+5l0Dв+1,5dэ∙hэR23n2+R43n4+R63n6+R86n8.  (25)

Выражение (25) устанавливает зависимость мощности, которая тратится на трение двухфазного потока по поверхностям наружного ротора, от конструктивно-технологических характеристик помольной камеры мельницы, кинематических особенностей движения двухфазного потока в объеме оригинальной конструкции помольной камеры агрегата. Полученное выражение (25) позволяет рассчитывать оптимальные показатели работы проектируемого по данной конструктивной схеме агрегата во взаимосвязи с конструктивными элементами мельницы и масштабировать данную конструкцию мельницы для различных измельчаемых материалов с различной необходимой производительностью по готовому продукту.

В совершенной аналогии, установленной выше, относительно выражения (1), суммарный силовой фактор трения Ртр.2 , который воздействует на любую элементарную площадь поверхности внутреннего ротора, определится так:

Ртр.2=Рб.внут.2+Рт.внут.2=Рб.внут.2+Рт.тр.2'+Рт.тр.2" .                  (26)

Для определения боковой составляющей силы трения Рб.внут.2   на внутреннем роторе согласно рис. 4 и представленному в методике расчета выржению (9) после соответствующих математических преобразований будем иметь:

Рб.внут.2=π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Rт3∙dт,        (27) 

где  Ω2  – угловая характеристика скорости вращения внутреннего ротора в помольной камере мельницы, рад/с; dт  – диаметр тарели внутреннего ротора мельницы, м; Rт  – радиус центральной тарелки внутреннего ротора дезинтеграторной мельницы, м.   

Для упрощения математических выражений выразим высоту тарели внутреннего ротора тарели внутреннего ротора Hтарели  через диаметральный размер тарели Dm , обозначив все это через:

С2=HтарелиDт .                  (28)

После преобразований выражение (27) по аналогии с (11) будет выглядеть так:

Рб.внут.2=0,125π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Dm4∙C2 . (29)

В соответствии с вышеуказанной методикой момент силы трения Рб.внут.2    относительно оси инерции внутреннего ротора определяется из аналогичного (12) выражения:

Mб.внут.2=0,0625π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Dm5∙C2 .  (30)

По такой же аналогии с выражениями (13 - 14) элементарная сила трения двухфазного потока, оказывающая воздействие на элементарную торцевую площадь поверхности тарели внутреннего ротора дезинтеграторной мельницы, по выражению (2) представленной методики запишется так:

dРт.тр.2'=2π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Rт3dR .     (31)

Нам для расчетов необходимо определить момент силового фактора Рт.тр.2'  относительно оси инерции вращающейся тарели внешнего ротора. Делаем это по аналогии с выражением (16):

dMт.тр.2'=dРт.тр.2'∙Ri=2π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Rт4dRi  ,                           (32)

где Ri  – плечо элементарной силы трения dРт.тр.2' , полученной в выражении (31), от точки приложения нагрузки до оси вращения внуктреннего ротора, м.

Проинтегрируем выражение (32), тогда  получим, что момент Mт.тр.2'   учтенной торцевой площади поверхности тарели внутреннего ротора по аналогии с методикой получения выражения (17) будет равен:

Mт.тр.2'=0,0125π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Dm5  .     (33)

Для выражения (26) рассчитать вторую составляющую суммарного  силового фактора трения  Рт.тр.2" , действующего на торцевую площадь поверхности тарели внутреннего ротора возможно исходя из  выражений (18 - 19). Тогда получим, что:

Рт.тр.2"=0,75π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Lu2∙dэ2∙hэ , (34)

где L_n – длина спирали по ее дуге от первого ударного элемента до конечного, м. По такой спирали располагаются на роторе только ударные элементы u-нечетных рядов. Для этого параметра важно отметить, что длина дуги спирали L_n  находится в функциональной зависимости с радиусом ее кривизны [24-25].

Теперь нам необходмио определить для выражения (34) через введение в него количества ударных элементов т_z в u – нечетных рядах величину Рт.тр.2" :

Рт.тр.2"=0,75π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙dэ2∙hэ∙L12m1+L32m3+L52m5+L72m7 .            (35)

Момент силового фактора Рт.тр.2"  для оси инерции внутреннего ротора запишется в виде:

Mт.тр.2"=0,75π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙dэ2∙hэ∙L13m1+L33m3+L53m5+L73m7 .             (36)

Значит суммарный момент обобщенного силового фактора трения Ртр.2  представится в виде суммы:

Mтр.2=Mб.внут.2+Mт.тр.2'+Mт.тр.2"=0,0625π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Dm5∙C2+   0,0125π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙Dm5 ++0,75π∙Ω22∙ρφ∙ζ∙dэ2∙hэ∙L13m1+L33m3+L53m5+L73m7 .                       (37)