The actual scientific and technical problem of polar-symmetric deformation of an elastic cylinder under conditions of temperature and humidity influences is considered. An exact analytical solution to this problem is obtained with the determination of unambiguous expressions for stresses, deformations and radial displacement. The obtained solution allows solving this problem for an incompressible material with μ = 1/2 as a special case.
deformation of an elastic cylinder, incompressible material, Hooke's law
Рассмотрим полярно-симметричное деформирование упругого изотропного цилиндра при тепловом стационарном воздействии. В данном случае система уравнений будет иметь вид [1, 3-5]:
Обобщенный закон Гука в случае обобщенной плоской деформации при тепловом воздействии следует записать в следующем виде:
Найдем стационарное температурное поле в длинном цилиндре при полярной симметрии. На внутренней поверхности цилиндра задается постоянная температура 
, а на внешней поверхности цилиндра – 
. Поперечное сечение цилиндра представлено на рисунке 1.
Рисунок 1 – Поперечное сечение цилиндра
При стационарном воздействии уравнение теплопроводности принимают следующий вид:
При 
: 
при 
: 
При интегрировании уравнения (7) дважды по 
, получим его общее решение:
Применяя граничные условия (8), найдем постоянные 
и 
:
Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (9), получим следующую формулу:
Обобщенный закон Гука запишем в следующей форме:
Из последнего соотношения получим:
Подставим формулу (15) в уравнения (13) и (12):
Приведем решение данной задачи, полученное в учебнике [1, 6-10]:
Найдем деформации по формулам Коши (3):
В учебнике [1, 11-16] рассмотрена плоская деформация при 
. В этом случае условие несжимаемости принимает следующий вид:
Сложим деформации (22) и (23):
Для несжимаемого материала:
В соответствии с формулой (24) необходимо положить:
Выполнение равенства (28) просто невозможно, поскольку для упругого цилиндра необходимо выполнить следующие граничные условия, для реализации которых необходимо две независимые константы интегрирования:
Поэтому использование решения (21) для несжимаемого материала нежелательно.
Используем общий обобщенный закон Гука в условиях теплового воздействия [2, 17-22]:
При 
второе слагаемое в формулах (30)-(32) неопределимо, а третье слагаемое в этих формулах просто равно бесконечности, что противоречит физическому смыслу.
Таким образом, решение задачи о полярно-симметричном деформировании упругого цилиндра для сжимаемого и несжимаемого материала требует специального рассмотрения. При этом, решение данной задачи для несжимаемого материала должно с необходимостью получаться из общего решения для сжимаемого материала при . Иначе будем иметь явное нарушение выполнения общего закона Гука.
Выпишем обобщенный закон Гука:
Решение данной задачи будем искать в следующем виде:
В закон Гука (34)-(35) подставим формулы (36)-(39):
В уравнениях (44) и (45) приравняем коэффициенты:
Вычтем из уравнения (50) соотношение (51):
Приравняем формулы (53) и (54):
В соответствии с соотношением (51):
Для несжимаемого материала:
Для несжимаемого материала соотношение (61) пример вид:
Сложим соотношения закона Гука (34) и (35):
Для несжимаемого материала:
Таким образом, деформации, найденные по формулам (38) и (39), удовлетворяют условию несжимаемости (69).
Однозначное радиальное перемещение 
будем искать по следующей формуле [2, 23-27]:
Рассмотрим уравнение совместимости деформаций (2):
Проинтегрируем уравнение (74) один раз по :
Получим 
.
Используем теперь соотношения Коши (3):
На основании (70) получим:
Эти соотношения можно записать следующим образом:
Соотношения Коши выполняются при условии выполнения уравнения совместности деформации (75).
Выпишем соотношения для деформаций и напряжений:
Используем граничные условия:
В соответствии с формулой (58):
1. Timoshenko, S. P. Teoriya uprugostey : ucheb. / S. P. Timoshenko, D. Zh. Gud'er. - M. : Nauka, 1975 - 576 s.
2. Ogarkov, V. B. Ploskaya deformaciya ortotropnogo cilindra iz drevesnyh materialov / V. B. Ogarkov, L. I. Stadnik // Materialy mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii «Sovremennye tehnologicheskie processy polucheniya materialov i izdeliy iz drevesiny». - Voronezh : VGLTA, 2010. - S. 259-261.
3. Vardanyan, G. S. Soprotivlenie materialov / G. S. Vardanyan, V. I. Andreev, N. M. Atarov, A. A. Gorshkov. - M. : «Nauka», 1995. - 568 s.
4. Aksenov, A. A. Polnyy raschet na prochnost' uprugoy balki pri izgibe / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2018. - T. 1. - № 1 (23). - S. 75-80.
5. Gorshkov, A. G. Soprotivlenie materialov : ucheb. posob. / A. G. Gorshkov, V. N. Troshin, V. I. Shalashilin. - 2-e izdanie ispr. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 544 s.
6. Kucheryavyy, V. I. Teoriya uprugosti : ucheb. posobie / V. I. Kucheryavyy. - Uhta : UGTU, 2011. - 126 s.
7. Feodos'ev, V. I. Soprotivlenie materialov : ucheb. dlya vuzov / V. I. Feodos'ev. - 10-e izdanie, pererab. i dop. - M. : Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 1999. - 592 s.
8. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya izotropnogo uprugogo cilindra pri stacionarnom teplovom vozdeystvii / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 1. - № 1 (19). - S. 39-47.
9. Aksenov, A. A. Raschet na prochnost' uprugoy balki pri izgibe s cilindricheskim i konicheskim profilem / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov, K. B. Prosvetov, I. D. Gavrilov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2016. - T. 2. - № 2 (16). - S. 101-104.
10. Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23.
11. Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687.
12. Kolmogorov, V. L. The calculation of stress-deformed state under non-isothermic plastic flow-the example of parallelepiped settling : V. L. Kolmogorov, R. E. Lapovok // Computers & Structures. - 1992. - Vol. 44. - № 1-2. - pp. 419-424.
13. Korn, G. Spravochnik po matematike : ucheb. / G. Korn, T. Korn. - M. : «Nauka», 1970. - 720 c
14. Vodop'yanov, V. I. Kurs soprotivleniya materialov s primerami i zadachami : ucheb. posobie / V. I. Vodop'yanov, A. N. Savkin, O. V. Kondrat'ev; VolgGTU. - Volgograd, 2012. - 136 s.
15. Ashkenazi, E. K. Anizotropiya drevesiny i drevesnyh materialov : ucheb. / E. K. Ashkenazi. - M. : Lesnaya promyshlennost', 1978. - 224 c.
16. Aksenov, A. A. Sposob rascheta na prochnost' uprugoy balki iz drevesnogo materiala / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2016. - T. 3. - № 3 (17). - S. 53-56.
17. Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - T. 42. - Vyp. 3. - S. 335-343. - DOI :https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2009.11.015.
18. Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - T. 15. - Vyp. 3. - S. 168-170. - DOI :https://doi.org/10.1007/s004680000086.
19. Cowin, Sc. Strength anisotropy of bone and wood : Sc.Cowin // Journal of applied mechanics-transactions of the asme. - 1979. - T. 46. - Vyp. 4. - S. 832-838. - DOI :https://doi.org/10.1115/1.3424663
20. De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - T. 39. - Vyp. 6. - S. 460-471. - DOI:https://doi.org/10.1007/s00226-005-0025-x.
21. Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D. Aydemir // Bioresources. - 2014. - T. 9. - Vyp. 1. - S. 1179-1188.
22. Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A : The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - T. 37. - Vyp. 3. - S. 815-827. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.03.004.
23. Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - T. 58. - Vyp. 5. - S. 260-270. - DOI :https://doi.org/10.2488/jwrs.58.260.
24. Riyanto, Ds A comparison of test methods for evaluating shear strength of structural lumber : Ds. Riyanto, R. Gupta // Forest products journal. - 1998. - T. 48. - Vyp. 2. - S. 83-90.
25. Longworth, J. Longitudinal shear-strength of timber beams : J. Longworth // Forest products journal. - 1977. - T. 27. - Vyp. 8. - S. 19-23.
26. Dumail, Jf. Smear and compression behavior of wood in relation to mechanical pulping : Jf. Dumail, L. Salmen // Tappi international mechanical pulping conference. - 1999. - S. 213-219
27. Bendtsen, Ba. Rolling shear characteristics of 9 structural softwoods : Ba. Bendtsen // Forest products journal. - 1976. - T. 26. - Vyp. 11. - S. 51-56.
