INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH FEATURE IN A BANACH SPACE
Abstract and keywords
Abstract (English):
In normalized Banach space, a zero-degenerating integro-differential equation is considered. For him, many solutions are built with values in some specially introduced space of functions equal to zero in zero.

Keywords:
integral equation, Banach space, operator bundle, spectrum
Text
Publication text (PDF): Read Download

Введение

В связи с расширяющимся объемом приложений особое развитие получила теория дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Она применяется при решении задач обработки экспериментальных данных, задач численного дифференцирования, различных обратных задач, поэтому решение таких уравнений является актуальным и в настоящее время.

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида

C0xqП3ϑ+C1xqП2ϑ+C2xqПϑ+C3xqϑ+0xϑtdt=0 ,               (1)

где Пϑ=xqϑx' , Пk=ППk-1ϑ=xqПk-1ϑ' .

Оно изучается в пространстве Mq,r4,-q . Операторы C0 , C1 , …, C4  являются ограниченными в E .

Рассмотрим операторный пучок

Fr=-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41r.                                     (2)

Теорема. Дано:

  1. пучок (2) имеет собственное значение r<0 ;
  2. собственному значению r  принадлежит цепочка элементов банахова пространства E  vi i=0,,4 .

Тогда рассматриваемое равенство (1) имеет следующее решение

ϑx=1xqerZi=04v4-i Zix ,   где   Zx=αxduuq  .                      (3)

Построение решения

Подставляя (3) в (1) получаем

-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv0Z4++4-3C0r2+2C1r-C2+C41r2v0Z3++-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv1Z3++6-6C0r+2C1-C42r3v0Z2++3-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v1Z2++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v2Z2++4-6C0+6r4C4v0Z++3-6C0r+2C1-2r3C4v1Z++2-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v2Z++-C0r3+C1r2-C2r-1rC4v3Z++-24r5C4v0+-6C0+6r4C4v1+-6C0r+2C1-2r3C4v2++-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v3++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v4=0           (4)

Приравнивая коэффициенты при Zi  i=4,3,,0  нулю, получаем

 

-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv0=04-3C0r2+2C1r-C2+C41r2v0++-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv1=06-6C0r+2C1-C42r3v0++3-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v1++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v2=04-6C0+6r4C4v0++3-6C0r+2C1-2r3C4v1++2-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v2++-C0r3+C1r2-C2r-1rC4v3=0-24r5C4v0+-6C0+6r4C4v1+-6C0r+2C1-2r3C4v2++-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v3++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v4=0           (5)

 

Систему уравнений (5) можно переписать в виде

 

Frv0=0

Fr'4v0+Frv1=0

Fr''2!12v0+Fr'3v1+Frv2=0

Fr'''3!24v0+Fr''2!6v1+Fr'1!2v2+Frv3=0                                                        (6)

FrIV4!24v0+Fr'''3!6v1+Fr''2!2v2+Fr'v3+Frv4=0

 

Из системы уравнений (6) следует, что

 

vk=4!4-k!vk    k=0,1,2,3,4 .

References

1. Sato, T. Sur l΄equation integrale / T. Sato // J. Math. Soc. Japan. - 1953. - V. 5. - № 2. - P. 145-153.

2. Takesada, T. On the singular point of integral equations of Volterra type / T. Takesada // J. Math. Soc. Japan. - 1955. - V. 7. - № 2. - P. 123-136.

3. Panov, L. I. Ob integral'nyh uravneniyah s yadrami, imeyuschimi neintegriruemuyu osobennost' proizvol'nogo poryadka / L. I. Panov // DAN Tadzh. SSR. - 1967. - T. 10. - № 6. - C. 3-7.

4. Magnickiy, N. A. O suschestvovanii mnogoparametricheskih semeystv resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra I-go roda / N. A. Magnickiy // DAN SSSR. - 1977. - T. 235. - № 4. - C. 772-774.

5. Magnickiy, N. A. Mnogoparametricheskie semeystva resheniy integral'nyh uravneniy Vol'terra / N. A. Magnickiy // DAN SSSR. - 1978. -T. 240. - № 2. - C. 268-271.

6. Magnickiy, N. A. Lineynye integral'nye uravneniya Vol'terra I i III roda / N. A. Magnickiy // Zhurnal vych. mat. i mat. fiz. - 1979. - T. 19. - № 4. -C. 970-988.

7. Kreyn, S. G. O polnote sistemy resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu / S. G. Kreyn, I. V. Sapronov // Dokl. RAN. - 1997. - T. 355. - № 4. - C. 450-452.

8. Kreyn, S. G. Ob integral'nyh uravneniyah Vol'terra s osobennostyami / S. G. Kreyn, I. V. Sapronov // UMN. - 1995. - T. 50. - Vyp. 4. - C. 140.

9. Krein, S. G. Singular integral Volterra equations / S. G. Krein // Abstracts. International Congress of Mathematics. Zurich. 3-11 August 1994. - P. 125.

10. Krein, S. G. One class of solutions of Volterra equation with regular singularity / S. G. Krein, I. V. Sapronov // Ukr. mat. zh. - 1997. - T. 49. - № 3. - S. 424-432.

11. Sapronov, I. V. Mnogoparametricheskoe semeystvo resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. 2011. - № 1. - S. 59-71.

12. Sapronov, I. V. Uravnenie Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. - Matematika. - 2007. - № 11. - S. 45-55.

13. Sapronov, I. V. Mnogoparametricheskoe semeystvo resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. - 2005. - № 2. - S. 81-83.

14. Sapronov, I. V. Ob odnom klasse resheniy uravneniya Vol'terra II roda s regulyarnoy osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. - 2004. - № 6. - S. 48-58.


Login or Create
* Forgot password?