MATHEMATICAL MODELING OF THE ATTENUATION OF THE OSCILLATIONS IN POLYCRYSTALLINE SOLIDS
Abstract and keywords
Abstract (English):
A mathematical model describing the process of propagation and attenuation of high-frequency (ultrasonic) waves of small amplitude in the elastic-plastic body. The possibility of Express-evaluation of one-dimensional stress-strain state by the method of ultrasound attenuation. The dependence of the magnitude of the decrement of damping high-frequency oscillations from current and residual strains in the uniaxial stress-strain state.

Keywords:
mathematical model, ultrasound, attenuation, stress-deformirovannoe condition, strength properties, porosity, dislocations
Text
Publication text (PDF): Read Download

В работе предложен  математический метод изучения затухания ультразвуковых волн малой амплитуды под действием одноосных растягивающих напряжений. Математическое моделирование затухания ультразвука в поликристаллическом твердом теле сводится к рассмотрению рассеяния упругих волн различными частицами – включениями, поэтому среда предполагается упругой, но с различными включениями. Анализ выполненных ранее  экспериментов и результаты работ [1, 2] показал, что в пластически деформированном теле наблюдается эффект затухания ультразвуковых волн. Причем, если к телу приложены такие нагрузки, при которых реализуется напряженно-деформированное состояние, выходящее  за пределы линейной упругости, то затухание догрузочных волн (ультразвуковых, малой амплитуды) растет с увеличением пластических деформаций. Следовательно, по отношению к ультразвуковым догрузочным волнам пластически деформированное тело ведет себя как сплошная среда, поглощающая высокочастотные волны. Таким образом, в основе построения математической модели лежат следующие предположения:

  1. «догрузочные» волны в недеформированном (или упруго деформированном) теле распространяются со скоростью звука;
  2. в пластически деформированном теле затухание «догрузочных» волн увеличивается с ростом напряжений;
  3. статические диаграммы  одноосного состояния существуют и имеют выраженный упругий участок.

С учетом сделанных предположений математическая модель одномерного напряженно-деформированного состояния образца описывается следующей системой  уравнений:

                    (1)

Первое уравнение  является определяющим соотношением, второе – уравнением движения без учета массовых сил, третье – уравнением совместности кинематических полей скорости и деформаций.

Пусть  – характеризуют основное состояние в растянутом приложенными силами образце, поэтому  – это некоторая точка, взятая на статической диаграмме « », а  – это малые «догрузочные» напряжения и деформации, характеризующие быстрый процесс изменения основного состояния из-за наложенных на него ультразвуковых волн,  т.е.  = 0 + *; σ = σ0 + σ*.  Обозначим частную производную штрихом вверху, а индексом внизу переменную, по которой ведется дифференцирование, точкой  вверху – частную производную по t

Заменяя в преобразованиях  на f , согласно первому уравнению (1), будем иметь:

 

.

 

В этом соотношении все величины не отмеченные «звездочкой» относятся к основному статическому состоянию. Поэтому,       . Так как скорость распространения догрузочных импульсов совпадает со стержневой скоростью, имеем, что ,

где Е – модуль Юнга. С учетом этого равенства получим

 

 

 

Введя обозначения  ≡ ε, ≡ β2,  ≡2α, получим линеаризованное уравнение для «догрузочных» деформаций в виде

         (2)

или в безразмерном виде:

Проведя линеаризацию полученного выше  уравнения движения:

 

,

найдем

             (2)'

Это соотношение определяет догрузочные деформации через напряжения. Уравнения   (2) и (2)' линейно связывают между собой догрузочные напряжения и деформации. Поэтому из этих соотношений можно получить отдельные уравнения для каждой из догрузочных величин.  Выполняя преобразование уравнения (2) с использованием уравнения (2)', получим уравнение четвертого порядка для догрузочных напряжений:

 

 

 

Из этого уравнения  следует окончательный вид линеаризованного уравнения для догрузочных волн напряжений:

 

                  (3)

 

Полагая ,  получим спектральное уравнение: 

На частотах  10 МГц  спектральное уравнение принимает вид

Следовательно, в области высоких частот уравнение (3) может быть аппроксимировано телеграфным уравнением Г. Бэйтмана [3]:

Уравнение  (3), описывает  процесс распространения ультразвуковых волн нагружения в пластически деформированном образце и доказывает  зависимость от  и , а  следовательно, от функции  в определяющем соотношении.

Достаточным для выполнения сформулированных выше положений 1–3 является выбор определяющего соотношения вида:

Тогда получим следующую  систему уравнений математической модели:

             (4)

Проведя повторное дифференцирование  второго уравнения системы (4), получим:

 

.

 

Линеаризуя это уравнение с использованием обозначений   , в окрестности некоторого состояния, соответствующего произвольной точке на диаграмме  «э – σ» в пластической области получим:

Используя  обозначение  для оператора дифференцирования по времени, получаем  символическую форму записи  уравнения в виде:

            (5)

Дифференцирование  первого и третьего уравнений системы (4) дает  соотношение:

.

Воздействуя на это соотношения оператором ,  получим:

      (5)'

Уравнения  (5), (5)' линейно связывают между собой догрузочные деформации и напряжения. Поэтому из них следуют уравнения, отдельно определяющие каждую из догрузочных величин.

Например, из (5) и  (5)' имеем уравнение для догрузочных деформаций в ультразвуковой волне:

           (6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение для «догрузочных» деформаций, решение которого найдем в виде  .  Из (6) следует спектральное уравнение и его решение в виде зависимости :

 

.

 

Тождественно преобразуем правую часть спектрального соотношения:

 

;                      (7)

; .

 

Отсюда следует, что в области высоких частот ω  из (7) справедливо приближенное спектральное уравнение:

.

Это означает, что процесс затухания ультразвуковых волн в одномерном континууме (6) такой же, как процесс затухания волн в уравнении Бэйтмана.

Для экспериментальной аттестации предложенной математической модели необходимо также получить уравнения для «догрузочных» напряжений и при ωсравнить оба спектральных уравнения.

Из второго уравнения системы (4) имеем:

 

 

Линеаризуя это уравнение в окрестности состояния ( ),получим

 

                                   (8)

 

С использованием обозначений соотношение (8) принимает  следующий вид:

            (9)

Поскольку из третьего уравнения системы (4) следует соотношение: , то далее получаем цепочку равенств: ,  и  окончательно из (9) находим уравнение распространения догрузочных волн напряжений

      (10)

Анализируя уравнение (10) по Фурье  , получаем спектральное уравнение:

 

.

 

Выполняя тождественные преобразования спектрального уравнения, найдем, что:

 

.

«Догрузочные» деформации:

«Догрузочные» напряжения: 

 

Сравнение показывает, что для «догрузочных» волн каждого из двух рассмотренных типов в области высоких частот получается уравнение Бэйтмана:

.

Это видно из того, что при высоких частотах дисперсионные уравнения полученных уравнений и уравнений Бэйтмана совпадают.

В спектральном уравнении, соответствующем уравнению Бэйтмана:

где  – коэффициент затухания волны.

Поэтому в уравнениях для «догрузочных» волн деформаций и напряжений переменная величина , обозначенная ранее как 2α, также имеет смысл удвоенного коэффициента затухания волны. Это означает, что построенная математическая модель описывает процессы затухания ультразвука в пластически деформированных средах. Для количественного сравнения теоретических результаты с экспериментальными данными, необходимо провести  все необходимые оценки параметров для конкретных материалов и процессов.

References

1. Tolstopyatov S.N. O svyazi zatuhaniya ul'trazvuka s vnutrennim napryazheniem v obrazce. / NIIEinformenergomash. M.-1987. Dep.v NIIEinformenergomashe 13.05.87g. № 391-em87.

2. Koeler J. Imperfection in Nearly Perfect Crustals/ J/ Koeler // John Wiley and Sons. 1952. P. 197.

3. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M.: Nauka, 1971. 512 s.


Login or Create
* Forgot password?