VAC 05.17.00 Химическая технология
VAC 05.23.00 Строительство и архитектура
UDK 69 Строительство. Строительные материалы. Строительно-монтажные работы
A mathematical model describing the process of propagation and attenuation of high-frequency (ultrasonic) waves of small amplitude in the elastic-plastic body. The possibility of Express-evaluation of one-dimensional stress-strain state by the method of ultrasound attenuation. The dependence of the magnitude of the decrement of damping high-frequency oscillations from current and residual strains in the uniaxial stress-strain state.
mathematical model, ultrasound, attenuation, stress-deformirovannoe condition, strength properties, porosity, dislocations
В работе предложен математический метод изучения затухания ультразвуковых волн малой амплитуды под действием одноосных растягивающих напряжений. Математическое моделирование затухания ультразвука в поликристаллическом твердом теле сводится к рассмотрению рассеяния упругих волн различными частицами – включениями, поэтому среда предполагается упругой, но с различными включениями. Анализ выполненных ранее экспериментов и результаты работ [1, 2] показал, что в пластически деформированном теле наблюдается эффект затухания ультразвуковых волн. Причем, если к телу приложены такие нагрузки, при которых реализуется напряженно-деформированное состояние, выходящее за пределы линейной упругости, то затухание догрузочных волн (ультразвуковых, малой амплитуды) растет с увеличением пластических деформаций. Следовательно, по отношению к ультразвуковым догрузочным волнам пластически деформированное тело ведет себя как сплошная среда, поглощающая высокочастотные волны. Таким образом, в основе построения математической модели лежат следующие предположения:
- «догрузочные» волны в недеформированном (или упруго деформированном) теле распространяются со скоростью звука;
- в пластически деформированном теле затухание «догрузочных» волн увеличивается с ростом напряжений;
- статические диаграммы
одноосного состояния существуют и имеют выраженный упругий участок.
С учетом сделанных предположений математическая модель одномерного напряженно-деформированного состояния образца описывается следующей системой уравнений:
(1)
Первое уравнение является определяющим соотношением, второе – уравнением движения без учета массовых сил, третье – уравнением совместности кинематических полей скорости и деформаций.
Пусть – характеризуют основное состояние в растянутом приложенными силами образце, поэтому
– это некоторая точка, взятая на статической диаграмме «
», а
– это малые «догрузочные» напряжения и деформации, характеризующие быстрый процесс изменения основного состояния из-за наложенных на него ультразвуковых волн, т.е.
=
0 +
*; σ = σ0 + σ*. Обозначим частную производную штрихом вверху, а индексом внизу переменную, по которой ведется дифференцирование, точкой вверху – частную производную по t.
Заменяя в преобразованиях на f , согласно первому уравнению (1), будем иметь:
.
В этом соотношении все величины не отмеченные «звездочкой» относятся к основному статическому состоянию. Поэтому,
. Так как скорость распространения догрузочных импульсов совпадает со стержневой скоростью, имеем, что
,
где Е – модуль Юнга. С учетом этого равенства получим
Введя обозначения ≡ ε,
≡ β2,
≡2α, получим линеаризованное уравнение для «догрузочных» деформаций в виде
(2)
или в безразмерном виде:
Проведя линеаризацию полученного выше уравнения движения:
,
найдем
(2)'
Это соотношение определяет догрузочные деформации через напряжения. Уравнения (2) и (2)' линейно связывают между собой догрузочные напряжения и деформации. Поэтому из этих соотношений можно получить отдельные уравнения для каждой из догрузочных величин. Выполняя преобразование уравнения (2) с использованием уравнения (2)', получим уравнение четвертого порядка для догрузочных напряжений:
Из этого уравнения следует окончательный вид линеаризованного уравнения для догрузочных волн напряжений:
(3)
Полагая , получим спектральное уравнение:
На частотах 10 МГц спектральное уравнение принимает вид
Следовательно, в области высоких частот уравнение (3) может быть аппроксимировано телеграфным уравнением Г. Бэйтмана [3]:
Уравнение (3), описывает процесс распространения ультразвуковых волн нагружения в пластически деформированном образце и доказывает зависимость от и
, а следовательно, от функции
в определяющем соотношении.
Достаточным для выполнения сформулированных выше положений 1–3 является выбор определяющего соотношения вида:
Тогда получим следующую систему уравнений математической модели:
(4)
Проведя повторное дифференцирование второго уравнения системы (4), получим:
.
Линеаризуя это уравнение с использованием обозначений
,
в окрестности некоторого состояния, соответствующего произвольной точке на диаграмме «э – σ» в пластической области получим:
Используя обозначение для оператора дифференцирования по времени, получаем символическую форму записи уравнения в виде:
(5)
Дифференцирование первого и третьего уравнений системы (4) дает соотношение:
.
Воздействуя на это соотношения оператором , получим:
(5)'
Уравнения (5), (5)' линейно связывают между собой догрузочные деформации и напряжения. Поэтому из них следуют уравнения, отдельно определяющие каждую из догрузочных величин.
Например, из (5) и (5)' имеем уравнение для догрузочных деформаций в ультразвуковой волне:
(6)
Уравнение (6) представляет собой уравнение для «догрузочных» деформаций, решение которого найдем в виде . Из (6) следует спектральное уравнение и его решение в виде зависимости
:
.
Тождественно преобразуем правую часть спектрального соотношения:
; (7)
;
.
Отсюда следует, что в области высоких частот ω → ∞ из (7) справедливо приближенное спектральное уравнение:
.
Это означает, что процесс затухания ультразвуковых волн в одномерном континууме (6) такой же, как процесс затухания волн в уравнении Бэйтмана.
Для экспериментальной аттестации предложенной математической модели необходимо также получить уравнения для «догрузочных» напряжений и при ω→∞ сравнить оба спектральных уравнения.
Из второго уравнения системы (4) имеем:
Линеаризуя это уравнение в окрестности состояния ( ),получим
(8)
С использованием обозначений соотношение (8) принимает следующий вид:
(9)
Поскольку из третьего уравнения системы (4) следует соотношение: , то далее получаем цепочку равенств:
,
и окончательно из (9) находим уравнение распространения догрузочных волн напряжений
(10)
Анализируя уравнение (10) по Фурье , получаем спектральное уравнение:
.
Выполняя тождественные преобразования спектрального уравнения, найдем, что:
.
«Догрузочные» деформации:
«Догрузочные» напряжения:
Сравнение показывает, что для «догрузочных» волн каждого из двух рассмотренных типов в области высоких частот получается уравнение Бэйтмана:
.
Это видно из того, что при высоких частотах дисперсионные уравнения полученных уравнений и уравнений Бэйтмана совпадают.
В спектральном уравнении, соответствующем уравнению Бэйтмана:
где – коэффициент затухания волны.
Поэтому в уравнениях для «догрузочных» волн деформаций и напряжений переменная величина , обозначенная ранее как 2α, также имеет смысл удвоенного коэффициента затухания волны. Это означает, что построенная математическая модель описывает процессы затухания ультразвука в пластически деформированных средах. Для количественного сравнения теоретических результаты с экспериментальными данными, необходимо провести все необходимые оценки параметров для конкретных материалов и процессов.
1. Tolstopyatov S.N. O svyazi zatuhaniya ul'trazvuka s vnutrennim napryazheniem v obrazce. / NIIEinformenergomash. M.-1987. Dep.v NIIEinformenergomashe 13.05.87g. № 391-em87.
2. Koeler J. Imperfection in Nearly Perfect Crustals/ J/ Koeler // John Wiley and Sons. 1952. P. 197.
3. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M.: Nauka, 1971. 512 s.
