Kemerovo, Kemerovo, Russian Federation
Kemerovo, Russian Federation
Kemerovo, Kemerovo, Russian Federation
The modeling method of membrane concentration processes of liquid food media based on transfer functions is proposed. Structural and parametric identification of the model of the concentration process in the membrane apparatus with the effect of border-membrane layer removing has been done. The model goodness of fit is proved by experiment.
Modeling, mathematical model, transfer function, membrane concentration.
Введение
Исследование характеристик любой системы математическими методами сводится к ее фор-мализации, т.е. к построению математической моде-ли. Вид математической модели зависит от природы реального объекта, от задач исследования объекта, от требуемой достоверности и точности решения задачи.
Для аналитического моделирования характерно то, что моделируется только функциональный аспект системы. При этом уравнения системы, описываю-щие закон (алгоритм) ее функционирования, запи-сываются в виде некоторых аналитических соотно-шений или логических условий.
При имитационном моделировании воспроиз-водится алгоритм функционирования системы во времени – поведение системы, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последо-вательности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возмож-ность оценить характеристики системы.
Информационное (кибернетическое) моделирова-ние связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию, рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между вы-ходами и входами. Таким образом, в основе инфор-мационных (кибернетических) моделей лежит отра-жение некоторых информационных процессов, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо вы-делить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выхо-дом и воспроизвести данную функцию на ими-тационной модели.
Информационное моделирование, хотя и не отражает физические закономерности описываемых процессов, является наиболее простой методикой моделирования. Подобные математические модели достаточно точно описывают поведение технических систем и легко могут быть реализованы в большинстве существующих программ.
Целью данной статьи является разработка общей методики информационного моделирования про-цесса мембранного концентрирования жидких пи-щевых сред, структурная и параметрическая идеен-тификация математической модели процесса кон-центрирования, проверка ее адекватности.
Объекты и методы исследований
Объектом моделирования является процесс мембранного концентрирования жидких пищевых сред в мембранном аппарате с отводом примембран-ного пограничного слоя.
Методами исследования являются методы информационного (кибернетического) моделирования, рассматривающие реальный объект как систему, состоящую из взаимосвязанных и взаимодействующих между собой и с внешней средой элементов [1]. В общем случае математическое описание исследуемой системы может быть выражено зависимостью:
, (1)
где {Y} = (Y1, Y2,…, Yl) – вектор выходных переменных системы; {Х} = (Х1, Х2,…, Хm) – вектор входных контролируемых управляемых независимых переменных (факторов); {Z} = (Z1, Z2,…, Zk) – вектор входных контролируемых, но неуправляемых независимых переменных; {V} = (V1, V2,…, Vn) – вектор неконтролируемых возмущающих воздействий; Ф – оператор системы, определяющий связь между указанными переменными.
Информация в системе передается в виде сигна-лов, представляющих собой какое-либо проявление движения субстанции: механическое движение, рас-пространение тепла, вещества, электрического тока, звуков, света, радиоволн и т.д.
Характер прохождения сигнала через элемент системы отражает его передаточные свойства. Наи-более распространенной формой описания переда-точных свойств элемента является обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение динамики объекта, которое может быть трансформировано с помощью преобразования Лапласа в передаточную функцию элемента. Передаточная функция представ-ляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через систему.
Результаты и их обсуждение
Предложена методика, содержащая анализ объек-та моделирования.
Анализ процесса мембранного концентрирования и выявление основных входных и выходных параметров. На данном этапе исходя из описания мембранного аппарата в соответствии с принципом «черного ящика» необходимо выделить основные входные X и выходные Y параметры объекта моделирования, а также определить каналы передачи сигналов с входов на выходы системы. Множество входных контролируемых неуправляемых независи-мых переменных и неконтролируемых возмущаю-щих воздействий не рассматривается.
Входным воздействием, как правило, является концентрация задерживаемых веществ в исходном растворе Х1, % масс. Кроме того, на процесс концентрирования влияют конструктивные парамет-ры аппарата и технологические режимы процесса. Первые обозначим подмножеством α множества Х, вторые – подмножеством β множества Х. То есть множество входных контролируемых управляемых независимых переменных в данном случае может быть отражено выражением:
(2)
где m – количество технологических параметров, влияющих на процесс концентрирования; n – количест-во конструктивных параметров аппарата, оказывающих влияние на процесс концентрирования.
Основные технологические режимы процесса: рабочее давление (β1, МПа), температура концент-рируемого раствора (β2, ºС) и гидродинамическая обстановка в канале аппарата (скорость движения среды β3, м/с). Количество конструктивных парамет-ров n зависит от мембранного аппарата.
К выходным параметрам относятся: содержание растворенных веществ в отводимом примембранном пограничном слое Y1, % масс.; концентрация раство-ренных веществ в основном потоке Y2, % масс.; удельная производительность по фильтрату Y3, .
Структурную схему процесса мембранного концентрирования можно представить в виде рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема процесса мембранного концентрирования
Передаточные свойства каждого канала системы определяются соответствующей передаточной функ-цией (см. рис. 1), обозначения которой имеют двойной индекс: первый отражает входной параметр, второй – наименование выхода системы.
Основные каналы типа «вход – выход»:
– «исходная концентрация раствора X1 – содержание растворенных веществ в отводимом примембранном пограничном слое Y1» ( );
– «исходная концентрация раствора X1 – содержание растворенных веществ в обедненном потоке Y2» ( );
– «исходная концентрация раствора X1 – удельная производительность Y3» ( );
– «конструктивный параметр αi – содержание растворенных веществ в отводимом примембранном пограничном слое Y1» ( ),
;
– «конструктивный параметр αi – содержание растворенных веществ в обедненном потоке Y2» ( ),
;
– «конструктивный параметр αi – удельная производительность Y3» ( ),
;
– «технологический параметр βi – содержание растворенных веществ в отводимом примембранном пограничном слое Y1» ( ),
;
– «технологический параметр βi – содержание растворенных веществ в обедненным потоке Y2» ( ),
;
– «технологический параметр βi – удельная производительность Y3» ( ),
.
Определение диапазонов изменения входных воздействий. На основе экспериментальных и литературных данных установлены следующие диапазоны:
– концентрация исходного раствора молочной (творожной) сыворотки 3,7÷6,8 % масс.;
– температура сыворотки 20÷60 °С. Нижний предел диапазона обусловлен средней температурой производственных помещений, верхний – термолабильностью белков молочной сыворотки;
– давление процесса ультрафильтрации 0,1÷0,25 МПа. Нижний предел обусловлен тем, что для осуществления процесса концентрирования необходима разность давлений – внутри и снаружи (атмосферного) мембраны – как основная движущая сила процесса. Верхний предел выбран в соответствии с максимальным рабочим давлением для данного типа мембран (керамическая мембрана третьего поколения из оксида алюминия);
– режим течения жидкости внутри мембраны определяется критерием Рейнольдса 0÷2300, или при внутреннем диаметре мембраны
На данном этапе моделирования выбор диапа-зонов изменения конструктивных параметров не рассматривается.
Выбор вида и величины входных воздействий. При экспериментальных и теоретических исследова-ниях объектов и их элементов используют ряд стандартных сигналов – типовых воздействий. Эти воздействия описываются простыми математически-ми функциями и легко воспроизводятся при испытании систем. Использование типовых («эта-лонных») воздействий позволяет унифицировать расчеты различных систем и облегчает сравнение передаточных свойств систем. Поскольку на процесс концентрирования оказывает значительное влияние накопление частиц растворенных веществ на поверхности мембраны, что в свою очередь является длительным процессом, из типовых воздействий рекомендуется выбрать ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным. Такому воздействию соответствует функция:
(3)
Значение величины ступенчатого воздействия а0 необходимо выбрать, учитывая диапазон изменения входных воздействий.
Наносить воздействия необходимо в момент, когда система находится в статическом режиме, при котором выходная величина не изменяется во времени. Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия постоянны во времени.
Образование примембранного пограничного слоя и его отрыв от поверхности мембраны происходят циклически в течение некоторого времени. Поэтому в данном случае для определения реакции системы на то или иное воздействие необходимо совместное нанесение соответствующего входного воздействия по каналам «конструктивный параметр – выход» или «технологический параметр – выход» с входным воздействием по каналу «концентрация исходного раствора – выход». Далее исходя из принципа суперпозиции аналитически возможно определить реакцию системы на чистое возмущение.
Структурная идентификация объекта моде-лирования состоит в выборе структуры модели по результатам изучения имеющихся априорных све-дений об объекте и выборе критерия близости (подобия) модели и объекта.
Изменение концентрации растворенных веществ в примембранном пограничном слое носит коле-бательный характер, объясняющийся периодич-ностью накопления белкового слоя определенной толщины и его удаления потоком среды. Поэтому для описания процесса в качестве модели последнего выбрано колебательное звено с передаточной функцией:
, (4)
где k – коэффициент передачи звена; Т – постоянная времени объекта; ξ – относительный коэффициент демпфирования (1 > ξ > 0).
Определение передаточных функций по каналам воздействия конструктивного параметра на выходы системы предполагает одновременное внесение в систему воздействий по входам X1 и αi (рис. 2).
В соответствии с рис. 2 можно записать:
, (5)
(6)
Рис. 2. Определение передаточных функций по каналам воздействия конструктивного параметра на выходы системы
Определение передаточных функций по каналам воздействия технологического параметра на выходы системы предполагает одновременное внесение в систему воздействий по входам X1 и βi (рис. 3).
В соответствии с рис. 3 можно записать:
, (7)
(8)
Рис. 3. Определение передаточных функций по каналам воздействия технологического параметра на выходы системы
Итоговую модель объекта можно записать в виде:
(9)
Уравнение (9) определяет состояние выходов объекта моделирования во времени при известной концентрации растворенных веществ в исходном растворе X1(S), а также при определенных значениях конструктивных α и технологических β параметров процесса концентрирования.
Выбор критерия близости. Критерий близости (функция невязки) должен удовлетворять следующим требованиям: не должен принимать отрицательных значений; минимум критерия близости должен соответствовать решению поставленной задачи; этот минимум должен быть близок к нулю (в идеале равен нулю) при совпадении экспериментальных результатов с результатами, полученными с помощью модели.
Наиболее часто используется квадратичная запись критерия:
(10)
где – значение выходной переменной объекта в i-й момент времени;
– значение выходной переменной модели в i-й момент времени; n – размерность массива экспериментальных данных.
Определение параметров модели. Данный этап можно трактовать как задачу нахождения экстремума функции многих переменных, имеющих определенные ограничения. Здесь в качестве функции невязки выступает выражение (10), а переменными величинами являются параметры передаточных функций (коэффициенты передачи, постоянные времени и т.д.). Таким образом, на этом этапе по экспериментальным данным определяются значения параметров передаточных функций каналов системы.
Проверка адекватности модели. На данном этапе необходимо установить, насколько хорошо модель описывает реальные процессы, происходящие в системе, насколько качественно она будет прогнозировать развитие технологических процессов. Проверку адекватности проводят на основании некоторой экспериментальной информации, полученной при функционировании системы или при проведении специального эксперимента. Кроме того, необходимо провести проверку непротиворечивости, чувствительности и реалистичности полученной модели. Модель, отвечающая требованиям непротиворечивости, чувствительности и реалистичности, может считаться адекватной и использоваться при прогнозировании описываемых процессов.
На основе экспериментальных зависимостей (разгонных характеристик), полученных при внесении в систему выбранных воздействий (3), проведена параметрическая идентификация модели процесса мембранного концентрирования в аппарате с отводом примембранного пограничного слоя [2].
Для оценки адекватности модели процесса мембранного концентрирования экспериментальным данным предложена ее реализация в системе MATLAB при помощи стандартных средств приложения Simulink. Проверка адекватности по описанию и прогнозированию реального процесса концентрирования показала, что расхождение экспериментальных данных и данных, полученных на основании модели, не превышает 5,5 % в соответствии с квадратичной оценкой. Небольшие расхождения расчет-
ных и экспериментальных данных говорят о достаточно высокой степени адекватности полученной математической модели.
Проверка непротиворечивости модели при варьировании конструктивных параметров позволяет говорить о достаточной степени адекватности при различных комбинациях значений конструктивных параметров, соответствующих нижней и верхней границе выбранных диапазонов. Расхождение эксперимен-тальных и теоретических данных не превышает 2 %.
Таким образом, модель процесса мембранного концентрирования в мембранном аппарате с отводом примембранного пограничного слоя, разработанная на основе теории передаточных функций, с достаточной степенью адекватна экспериментальным
1. Kafarov, V.V. Metody kibernetiki v himii i himicheskoy tehnologii. - M.: Himiya, 1985.
2. Pat. 2285556 Rossiyskaya Federaciya, MPK7 VO1D63/06. Apparat dlya membrannogo koncentrirovaniya / Lobasenko B.A., Kotlyarov R.V., Istratova E.E.; zayavitel' i patentoobladatel' Kemerovskiy tehnologicheskiy institut pischevoy promyshlennosti. - № 2005108765/15; zayavl. 28.03.05; opubl. 20.10.06.
