Belgorod, Russian Federation
Belgorod, Russian Federation
Belgorod, Russian Federation
Belgorod, Russian Federation
GRNTI 67.11 Строительные конструкции
BBK 385 Строительные конструкции
Efficient method structure determination of metal truss has variational basis. Variational statement of problem is a fundamental approach of intention realization. From it follows universal criterion of optimization, connecting with minimum of potential energy of the system in function space expanded at the expense of function fields of configuration and (or) material moduls. Under the condition of homogeneous linear elastic material optimal truss represents as uniresistant virtual system with internal forces N/ⱷi (ⱷi – decrease coefficient of designed resistance of material). As numerical example was considered the determination of optimal structure of the truss with the consoles. Of the four variants, the minimum amount of material obtained for the truss with downward diagonals and the horizontal fragment of the upper belt. At the stage of optimal geometry determination of a truss at a given geometry the problem is solved strictly by variational methods of structural synthesis, and at stage of the topology optimization – by comparison of admissible variants. However, in both cases is present a single criterion of optimality, carrying into minimum of material expense
truss structure, variational statement of problem, optimization criterion
Введение. Рационализация структуры ферм наблюдается на всем пути их практического применения. Металлические фермы нашли использование прежде всего в мостостроении. В связи с этим следует упомянуть имена российских инженеров и ученых: Д.К. Журавского, С.В. Кербедза, Н.А. Белелюбского, Л.Д. Проскурякова и др.
Задачи оптимизации конструкций ферм за счет рационального расположения их элементов впервые рассмотрел В.Г. Шухов [1]. В сущности, это касалось оптимальной топологии, если под последней понимать расположение узлов и способ их соединения между собой для образования геометрически неизменяемой системы.
Теоретические исследования фактора топологии стержневых систем получили определенное развитие во второй половине ХХ века. Выделяется работа К. Мажида [2], в которой содержатся формулировки и доказательства теорем о влиянии структурных изменений на функционирование стержневых систем. Уделено внимание главным факторам в оптимальном проектировании.
Главенствующее значение имеет критерий оптимизации. Исторически складывалась ситуация, когда для конструкции из однородного материала считалось правомерным ориентироваться на минимум его объема (массы, стоимости). Критерий, таким образом, получал экономическую форму. Его внедрение в задачи механики деформирования твердого тела создавало определенные неудобства с соблюдением основополагающих вариационных принципов. В итоге это приводило к проблематичности поиска глобального экстремума функции (функционала) цели [3–5].
Решение этой проблемы стало возможным после установления вариационных принципов структурного синтеза [6], из которых вытекает формулировка универсального критерия оптимальности.
Основная часть. Вариационная постановка оптимизационной задачи может быть представлена в форме интегрального тождества или приводится к требованию стационарности соответствующего функционала.
При проектировании дискретных систем из линейно-упругого материала (с модулем Е) используем функционал Кастильяно. Рассмотрим виртуальную систему с внутренними силами Ni/ⱷi. Коэффициент ⱷi для растянутых стержней равен единице, а для сжатых принимается исходя из ограничения элементов пояса и решетки [7]. Искомые площади поперечных сечений сжатых стержней должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции.
В этом случае при решении изопериметрической задачи для фермы функционал Кастильяно имеет следующий вид:
(1)
где n – число стержней длиной li, имеющих площадь поперечного сечения Ai и продольное усилие Ni, λ – множитель Лагранжа, имеющий постоянную величину.
Следствием стационарности функционала (1) являются m уравнений совместности деформаций (m – число лишних связей):
(2)
уравнение объема (V0 – заданный объем):
(3)
и n уравнений структурообразования:
(4)
или
(5)
Так как выражает напряжение σi в i-м стержне виртуальной фермы с внутренними силами Ni/ⱷi, то уравнения (5) принимает вид
(λ=const) (6)
свидетельствующий о равнонапряженности виртуальной фермы. Тем самым определяется критерий оптимальности проектируемой фермы. Он распространяется на любую структуру (конфигурацию).
Для металлических ферм, согласно существующим нормам, вводится расчетное сопротивление R материала. Его наличие во всей конфигурации является дополнительным условием в оптимизационной задаче. Оно вводится в функционал без множителя Лагранжа.
Поскольку
(7)
выражение потенциальной энергии деформации принимает вид:
(8)
а выражение объема с учетом (7) и (8) представляется в виде
(9)
Следовательно, в случае глобального минимума функционала (8) объем материала фермы также принимает минимальное значение.
Решение вариационной задачи по определению геометрии фермы приведено в [8]. В качестве варьируемых параметров приняты высоты стоек hi, кроме заданных изначально.
Сложность анализа зависимости усилий в ферме от изменения геометрии состоит в непостоянстве знака усилий. При переходе растянутого стержня в разряд сжатых, кроме прочности, необходимо обеспечить устойчивость его равновесия. «Перемещение» коэффициента уменьшения расчетного сопротивления ⱷi для сжатых стержней изменяет вид выражения J при итерационном расчете.
Минимум функционала (8) при варьировании длин t стержней соответствуют условию:
(i=1,2,…t) (10)
Решение задачи оптимизации конфигурации фермы предусматривает следующие операции: 1) задание директивных параметров (пролета, высоты и др.), коэффициентов ⱷ и выбор переменных hi; 2) определение выражений внутренних усилий в стержнях; 3) выделение стержней с переменным знаком усилий и назначение знаков в начальном приближении; 4) запись выражения потенциальной энергии деформации J; 5) удовлетворение критерию оптимальной конфигурации: (i=1, 2, …, t) 6) решение системы алгебраических уравнений; 7) проверка удовлетворения принятым знакам внутренних усилий; положительный результат означает окончание решения, в случае отрицательного результата необходимо возвратиться к п. 3.
Вслед за проблемой оптимизации геометрии фермы следует самый высокий уровень ее проектирования – оптимизация ее топологии, под которой понимают предопределение узлов и способ их соединения между собой для образования геометрически неизменяемой системы. Здесь в первую очередь имеется в виду оптимальная решетка, то есть рациональное расположение раскосов и стоек [9–16].
Рассмотрим, например, два варианта однопролетной фермы (рис. 1): первый (I) – с восходящими раскосами, второй (II) – с нисходящими раскосами (показаны штрихами).
В табл. 1 представлены длины стержней li и усилий в них Ni для первого и второго вариантов раскосов соответственно.
Потенциальная энергия деформации, вычисленная по формуле (8), составляет: для первого варианта 414,96 Дж, для второго варианта 379,77Дж, а соответствующие объемы материала, вычисленные по формуле (9) – 0,294 м3 и 0,269 м3. Следовательно, преимущество имеет ферма с нисходящими раскосами.
Рис. 1. Ферма с консолями при двух вариантах раскосов
Таблица 1
Длины стержней и усилия в них для двух вариантов фермы (рис. 1)
|
№ стержня |
ℓi, м |
Ni, кН |
№ стержня |
ℓi, м |
Ni, кН |
||
|
I |
II |
I |
II |
||||
|
1 |
2 |
-6,667 |
-6,667 |
10 |
4,92 |
10,943 |
10,943 |
|
2 |
2 |
2,222 |
-6,667 |
11 |
3 |
-10 |
-23,333 |
|
3 |
2 |
4,444 |
2,222 |
12 |
3 |
3,333 |
-13,333 |
|
4 |
2 |
-4,444 |
4,444 |
13 |
3 |
-10 |
6,667 |
|
5 |
2 |
-4,444 |
-4,444 |
14 |
4,5 |
-36,667 |
-23,333 |
|
6 |
3,6 |
12,419 |
12,019 |
15 |
3,6 |
-16,025 |
16,025 |
|
7 |
2 |
6,667 |
-2,222 |
16 |
3,6 |
-4,006 |
4,006 |
|
8 |
2 |
-2,222 |
-4,444 |
17 |
4,92/3,6 |
21,886 |
-16,025 |
|
9 |
2,5 |
-5,556 |
5,556 |
|
|
|
|
Рассмотрим влияние трансформации верхнего пояса фермы (рис. 2) на изменение показателей оптимальности. В табл. 2 представлены длины стержней li и усилий в них Ni для первого и второго вариантов раскосов соответственно.
Потенциальная энергия деформации, вычисленная по формуле (8), составляет: для первого варианта 400 Дж, для второго варианта 387,495 Дж, а соответствующие объемы материала, вычисленные по формуле (9), 0,283 м3 и 0,274 м3. Преимущество опять-таки имеет ферма с нисходящими раскосами.
Рис. 2. Ферма с консолями и полигональным верхним поясом при двух вариантах раскосов
(номера стержней на рис. 1)
Таблица 2
Длина стержней и усилия в них для первого варианта фермы (рис. 2)
|
№ стержня |
ℓi, м |
Ni, кН |
№ стержня |
ℓi, м |
Ni, кН |
||
|
I |
II |
I |
II |
||||
|
1 |
2 |
-6,667 |
-6,667 |
10 |
4,92 |
10,943 |
10,943 |
|
2 |
2 |
2,051 |
-6,667 |
11 |
3 |
-9,167 |
-23,333 |
|
3 |
2 |
3,333 |
2,051 |
12 |
3,25 |
2,564 |
-13,077 |
|
4 |
2 |
-4,444 |
3,333 |
13 |
4 |
-7,5 |
7,917 |
|
5 |
2 |
-4,444 |
-4,444 |
14 |
4,5 |
-36,667 |
-21,111 |
|
6 |
3,6 |
12,019 |
12,019 |
15 |
3,816/3,6 |
-16,634 |
15,717 |
|
7 |
2,016 |
6,719 |
-2,067 |
16 |
4,472/3,816 |
-2,867 |
2,446 |
|
8 |
2,136 |
-2,191 |
-3,56 |
17 |
4,92/4,472 |
19,151 |
-17,392 |
|
9 |
2,062 |
-3,436 |
4,581 |
|
|
|
|
Из четырех рассмотренных вариантов преимущественные показатели имеет ферма, представленная на рис. 1 с нисходящими раскосами. Объем ее материала на 1,9 % меньше чем у аналогичной фермы с полигональным верхним поясом.
Выводы. В заключение можно сказать, что на этапе определения оптимальной геометрии фермы при заданной ее топологии задача решается строго вариационными методами структурного синтеза, а на этапе оптимизации топологии – сравнением определенных вариантов. Однако и в том, и в другом случае единым остается критерий оптимальности, вытекающий из вариационной постановки проектной задачи и приводящий в итоге к минимуму расхода материала.
1. Shuhov V.G. Stroitel'naya mehanika. Izbrannye trudy. M.: Nauka, 1977. 193 s.
2. Majid K.I. Optimum design of structures. London: Newnes-Butterworths, 1979. 238 p.
3. Michell A.G.M. The limits of economy of materials in framestructures // Philosophical magazine and jornal of science. 1904. V. 8. № 47.
4. Prager V. Osnovy teorii optimal'nogo proektirovaniya konstrukciy. M: Mir, 1977. 111 s.
5. Sergeev N. D., Bogatyrev A.I. Problemy optimal'nogo proektirovaniya konstrukciy. L.: Stroyizdat, 1971. 130 s.
6. Yur'ev A.G. Stroitel'naya mehanika: strukturnyy sintez. M.: MISI, 1982. 100s.
7. Stal'nye konstrukcii. Aktualizirovannaya redakciya SNiP II-23-81 *: SP 16.13330.2011. M.: OAO «CPP», 2011. 171 s.
8. Zin'kova V.A., Yur'ev A.G., Tolbatov A.A. Variacionnaya postanovka optimizacionnoy zadachi dlya ploskih ferm [Elektronnyy resurs] // Vestnik nauki i obrazovaniya Severo-Zapada Rossii: sb. dokl. 1-y Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. «Innovacii v nauke, proizvodstve i obrazovanii», 2015. T. 1. № 4. Rezhim dostupa: http://vestnik-nauki.ru.
9. Bends"ϕ" e M.P., Sigmund O. Topology optimization: theory, methods, and applications. Berlin: Springer, 2003. 376 p.
10. Zin'kova V.A. Metodika eksperimental'nyh issledovaniy uzlovyh soedineniy trubchatyh elementov fermy // Vestnik BGTU im. V.G. Shuhova. 2012. № 1. S. 50-52.
11. Yur'ev A.G., Nuzhnyy S.N. Optimizaciya topologii odnoproletnyh odnoetazhnyh ram // Fundamental'nye issledovaniya. 2013. № 10. S 742-746.
12. Zin'kova V.A. Optimizaciya topologii metallicheskih ferm // Vestnik BGTU im. V.G. Shuhova. 2015. № 2. S.37-40.
13. Marutyan A.S. Legkie metallokonstrukcii iz gnutosvarnyh profiley, vklyuchaya perekrestnye fermy tipa «Pyatigorsk» i perspektiva ih razvitiya // Sb. dokl. Mezhdunar. nauch.-prakt. konf., posvyaschennoy 60-letiyu BGTU im. V.G. Shuhova «Naukoemkie tehnologii i innovacii», Belgorod. 2014. S. 53-57.
14. Zinkova V.A., Yuriev A.G., Peshkova E.V. Designing of Tube Trusses without Gusset Plate with Joint Connections // International Journal of Applied Engineering Research. 2015. № 5. Vol. 10. R. 12391-12398.
15. Marutyan A.S., Orobinskaya V.N. Optimizaciya konstrukciy s reshetkami iz kruglyh i oval'nyh trub // Vestnik MGSU. 2016. № 10. S. 45-57.
16. Marutyan A.S., Orobinskaya V.N. Trehgrannye fermy pokrytiy (perekrytiy) i optimizaciya ih vysot // Vestnik MGSU. 2017. T. 12. № 2 (101). S. 172-183.
