Belgorod, Russian Federation
BBK 303 Сырье. Материалы. Материаловедение
BBK 345 Общая технология машиностроения. Обработка металлов
BBK 347 Технология производства оборудования отраслевого назначения
BBK 35 Химическая технология. Химические производства
BBK 383 Строительные материалы и изделия
BBK 385 Строительные конструкции
BBK 386 Технология строительного производства
BBK 387 Отдельные виды строительства
BBK 389 Благоустройства населенных мест
BBK 6529 Экономика предприятия (фирмы)
BBK 6530 Экономика промышленности
BBK 6531 Экономика строительства
Pri obrabotke krupnogabaritnyh tel voznikaet zadacha upravleniya rezaniem, kotoraya trebuet dlya svoey realizacii integrirovanie uravneniya dinamiki kol'ca v real'nom masshtabe vremeni. Slozhnost' resheniya etoy sistemy uravneniy obuslovlena neobhodimost'yu ucheta neopredelennyh mnozhiteley Lagranzha, obuslovlennyh usloviem nerastyazhimosti sredney linii i nalichiem opor. Aktual'noy problemoy yavlyaetsya kvadratichnyy rost vremeni rascheta pri uvelichenii chisla garmonik. Dannaya stat'ya posvyaschena analizu vozmozhnosti ispol'zovaniya parallel'noy obrabotki dannyh v issledovaniyah po dinamike vraschayuschegosya na oporah kol'ca s nerastyazhimoy sredney liniey na etape isklyucheniya mnozhiteley Lagranzha. V hode analiza byli provedeny testirovanie i zamery dlya raznogo kolichestva garmonik. Vyyavleno znachitel'noe umen'shenie vremeni raboty programmy na izmeryaemom uchastke neposredstvennogo preobrazovaniya sistemy.
parallel'nye vychisleniya, dinamika vraschayuschegosya na oporah kol'ca, matrichnye preobrazovaniya.
В настоящее время большое распространение получили многоядерные компьютеры. Основными их преимуществами перед одноядерными является возможность осуществлять распараллеливание процессов при проведении большого объема вычислений. Это позволяет использовать более сложные, а, следовательно, более точные алгоритмы для управления различными техническими системами в реальном масштабе времени.
Рассмотрим возможность распараллеливания в исследованиях по динамике вращающегося кольца [1–5]. Получение решения системы уравнений динамики вращающегося на опорах кольца с нерастяжимой средней линией связано с большим количеством вычислений системы уравнений, вследствие необходимости учета нерастяжимой средней линии и нулевых перемещений в точках опор [6].
При обработке крупногабаритных тел возникает задача управления резанием, которая требует для своей реализации интегрирование уравнения динамики кольца в реальном масштабе времени.
Сложность решения этой системы уравнений обусловлена необходимостью учета неопределенных множителей Лагранжа, обусловленных условием нерастяжимости средней линии и наличием опор.
Систему уравнений динамики кольца в общем виде можно записать так:
(1)
Здесь W – вектор неизвестных функций времени, которые надо определить, размером 4N, где N – количество гармоник;
А2, А1, А0 – матрицы коэффициентов, размером 4N×4N;
MH – матрица частных производных условий связи вследствие нерастяжимости средней линии по вектору W, размером 4N×2N;
M0 – матрица частных производных условий связи, обусловленных наличием опор по вектору W, размером 4N×2;
λH. λ0 – векторы неопределенных множителей Лагранжа, размерами 2N и 2, соответственно:
Q – вектор внешних сил, размером 4N.
Для преобразования системы (1) к виду, пригодному для численного интегрирования, необходимо исключить неопределенные множители Лагранжа и учесть условия связей на переменные. Осуществляется это путем использования матричных преобразований системы (1).
Для дальнейших вычислений будем использовать преобразованную систему с общим вектором:
(2)
Тогда система (1) примет вид:
(3)
Получить окончательные формулы для элементов системы уравнений (3) с исключенными множителями Лагранжа проблематично, поэтому используются матричные преобразования. Необходимо исключить из системы (3) вектор λ. Для этого представим каждую матрицу системы (3) в виде двух матриц:
(4)
Размеры матриц: A21, A11, A01 (2N+2)×4N; A22, A12, A02 (2N-2)×4N; Mλ1 (2N+2)×(2N+2); Mλ2 (2N-2)×(2N+2); векторов: Q1 (2N+2); Q2 (2N-2).
Вычисления по формуле (4) можно распараллелить. Стоит отметить, что на тестовом компьютере четыре ядра и вычисления будут распараллеливаться не более чем на четыре потока.
Так же стоит заметить, что вычисления матриц из формулы (4) можно распараллелить и на 10 потоков, но стоит соблюдать баланс между временем выполнения и количеством потоков.
|
Заполнение A2, A1, A0, Mλ, Q. |
|
Параллельные вычисления: |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
Рис. 1. Параллельные вычисления по формуле (3)
На рис. 1 числами обозначены параллельные области выполнения, разделенные на четыре потока. В четвертом обрабатываются вместе Mλ1, Mλ2 и Q1, Q2, так как количество операций обращения к Mλ и Q суммарно меньше, чем к любой из Ai (i = 0, 2).
Таким образом можно распараллелить механизм получения матриц B2, B1, B0 и BQ из [6] (стр. 44), рис. 2.
|
Параллельные вычисления: |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
Рис. 2. Участок блок-схемы параллельных вычислений
Для упрощения понимания и не загромождения статьи изобразим схематично в виде упрощенной блок-схемы участки кода, которые можно распараллелить на рис. 3.
Таким образом в итоге получаем систему:
(5)
В системе (5) неизвестные функции P получены вследствие преобразования неизвестных функций W, после получения решения системы уравнения (3) относительно неизвестных avi и bvi после получения условий связи, обусловленных нерастяжимостью средней линии, в которой фигурируют только обобщенные координаты, исключения неопределенных множителей Лагранжа и учета условий связи в точках опор, получим:
(6)
|
Вычисл. D22, D12 |
|
Вычисл. D21, D11 |
|
Вычисл. D23, D13 |
|
Вычисл. D24, D14 |
|
Вычисл. T2a, T2b |
|
Вычисл. T1a, T1b |
|
Вычисл. T0a, T0b |
|
Вычисл. R, M |
|
Вычисление D1 |
|
Вычисление D2 |
|
Вычисление D1 |
|
Вычисление F |
|
Выч. T2a1, T2a2, T2b1 |
|
Выч. T2b2, T1b1, T1b2 |
|
Выч. T1a1, T1a2, T0a1 |
|
Выч. T0a2, T0b1, T0b2 |
|
Вычисление E2 |
|
Вычисление E1 |
|
Вычисление E0 |
Рис. 3. Упрощенная блок-схема с параллельными вычислениями
Дальнейшее решение системы уравнений (5) является итеративным процессом и плохо поддаётся методам распараллеливания.
Эксперимент проводился на компьютере с процессором AMD A10-5745M 2.10 Гц, ОЗУ 6 Гб, среда разработки Visual Studio 2015, язык C#. Результаты экспериментов представлены в таблице 1. Замеры времени проводились непосредственно в области распараллеливания – приведение системы к виду, пригодному для численного интегрирования.
Таблица 1
Замеры времени проведения эксперимента
|
Количество процессов, k |
Кол-во гармоник, N |
|||||
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
1 |
0,00886 |
0,01418 |
0,02752 |
0,04095 |
0,07178 |
0,10577 |
|
2 |
0,01781 |
0,01674 |
0,02018 |
0,02836 |
0,04746 |
0,06862 |
|
3 |
0,03350 |
0,02316 |
0,02190 |
0,02828 |
0,03864 |
0,05862 |
|
4 |
0,03583 |
0,02987 |
0,02660 |
0,02816 |
0,03795 |
0,05250 |
При анализе данных из таблицы 1 видно, что при малом количестве гармоник применение распараллеливания нецелесообразно и ведет к увеличению работы программы. Это объясняется затратой ресурсов на инициализацию дополнительных процессов и передачу данных. В распараллеливании при N = 6 наблюдается уменьшение времени на вычисления при k = 2. Время вычисления при k = 2 меньше, чем при k = 3 и k = 4, но время при k = 1 больше, чем при параллельном выполнении. При N ≥ 8 время при параллельном выполнении меньше, чем при последовательном и распараллеливание алгоритма можно считать эффективным. В таблице 2 представлены коэффициенты ускорения, рассчитанные по формуле K = t1 / tn.
Таблица 2
Коэффициенты ускорения
|
Количество процессов, k |
Кол-во гармоник, N |
|||||
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
0,49766 |
0,84722 |
1,36376 |
1,44375 |
1,51256 |
1,54127 |
|
3 |
0,26450 |
0,61233 |
1,25647 |
1,44830 |
1,85754 |
1,80438 |
|
4 |
0,24730 |
0,47466 |
1,03456 |
1,45438 |
1,89146 |
2,01455 |
Рис. 4. Графики коэффициентов ускорения
1. Polunin A. I. Dinamika precessionnogo dvizheniya stoyachih voln vo vraschayuschemsya kol'ce s oporami // Trudy VIII Mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii «Vibraciya-2008. Vibracionnye mashiny i tehnologii». Kursk: KGTU, 2008. S. 106-112.
2. Polunin A.I. O matematicheskom modelirovanii precessionnogo dvizheniya stoyachih voln vo vraschayuscheysya na oporah obolochke s nerastyazhimoy sredinnoy poverhnost'yu // Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. 2010. № 13(84). Vypusk 15/1. S. 93-98.
3. Polunin A.I. Matematicheskoe modelirovanie parametricheskogo rezonansa vo vraschayuscheysya na oporah obolochke // Informacionnye tehnologii v nauke, obrazovanii i proizvodstve. ITNOP-2010; materialy IV-y Mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii, g. Orel, 22-23 aprelya 2010g. V 5-ti t.T.3/ pod obsch. red. d-ra tehn. nauk prof. I.S. Konstantinova. Orel: OrelGTU, 2010. S. 226-231.
4. Polunin A.I. Smyshlyaeva L.G. Ob ocenke tochnosti identifikacii parametrov kol'ca po rezul'tatam izmereniya ego kolebaniy pri vraschenii na dvuh opornyh rolikah // Vestnik BGTU im. V.G. Shuhova. 2015. №5. S. 162-169.
5. Serov V.V., Duganov, V.Ya. Opredelenie sobstvennyh chastot kolebaniy massivnogo vraschayuschegosya kol'ca [Elektronnyy resurs]. URL: http://www.rusnauka.com/ONG_2006/Matemathics/17845.doc.htm (data obrascheniya 14.03.2017).
6. Polunin A.I. Teoreticheskie osnovy dinamiki kol'ca pri ego obrabotke po mobil'noy tehnologii. Belgorod: Izd-vo BGTU, 2015. 60 s.
