employee from 01.10.2008 until now
Russian Federation
In 2016, the publishing house INFRA-M released the monograph "Cyclide Dupin and its application", which explores the surface generated by two families of circles and named Cichlide Dupin in honor of that who discovered it - the great French scientist Pierre Charles françois Dupin, a student of Gaspard Monge. The monograph discusses the properties of cyclide Dupin, its application to various geometric constructions, as well as the possibility of practical application in engineering, architecture and learning process.
cyclide Dupin, conic, the task of Apollonius, the task Ferma, geometric construction, architectural shell
В учебном курсе начертательной геометрии для студентов вузов изучается класс поверхностей, образованный окружностями и названный «Циклические поверхности» [3; 6; 9; 10]. Внутри этого класса поверхностей есть так называемые каналовые поверхности. Циклиды Дюпена принадлежат к каналовым поверхностям, более того - они являются частным случаем [1; 2; 7; 8] этих поверхностей, но в курсе начертательной геометрии их формирование не рассматривается. В учебном курсе инженерной графики изучается ряд сопряжений, но опять-таки не упоминается о циклидах Дюпена [4; 13, 14], хотя, прочитав данную книгу, можно убедиться, что все построения сопряжений основаны на свойствах циклиды Дюпена.
Циклиды Дюпена были открыты Пьером Шарлем Франсуа Дюпеном [5; 11] в начале XIX в. и названы в его честь. Сам Дюпен был учеником Гаспара Монжа, как и многие великие ученые Франции того времени.
Циклиды Дюпена обычно представляются как огибающие семейства сфер, касающихся трех заданных [5; 7; 8]. Общеизвестная поверхность тор - это частный случай циклид Дюпена. Еще более частные случаи - конусы и цилиндры вращения [5].
О фокальной поверхности. Если к некоторой поверхности провести нормаль, то центры окружностей главных кривизн на этой нормали дадут две точки. Два множества этих точек при перемещении нормали по поверхности создают две фокальные поверхности. Циклиды - это единственные поверхности, у которых фокальные поверхности вырождаются в линии, а все линии кривизны являются окружностями.
Монография состоит из двух разделов. В первом разделе описываются свойства циклид Дюпена, во втором - их приложение.
К основным свойствам циклид Дюпена относятся следующие:
- Задание трех сфер определяет в пространстве положение четырех циклид Дюпена.
- Сечение циклиды Дюпена и данных трех сфер их общей плоскостью симметрии представляет собой два из восьми возможных решений задачи Аполлония.
- Множество центров касательных сфер (вырожденная фокальная поверхность) расположены в плоскости, являющейся плоскостью симметрии циклиды Дюпена, и представляют собой в общем случае кривую второго порядка.
- Линия касания циклиды с вписанной в нее сферой представляет окружность (одну из линий кривизны), плоскость которой перпендикулярна их общей плоскости симметрии.
- Три конуса вращения, вершинами которых являются центры трех заданных сфер, а направляющими - окружности касания, принадлежащие этим сферам, имеют одну общую плоскую линию пересечения - кривую второго порядка, которой принадлежат центры всего множества сфер, касательных к трем данным сферам. Эту кривую можно рассматривать как результат сечения любого из отмеченных выше трех конусов основной плоскостью симметрии Δо (Рис. 1) циклиды Дюпена, огибающей данные сферы.
Рис. 1. Две проекции циклиды Дюпена
6. Плоскость, которой принадлежит линия центров множества сфер, касательных трем данным сферам, и плоскости трех окружностей касания, принадлежащих данным сферам, пересекаются по одной прямой - по оси циклиды Дюпена. См. уравнения (1), (2). Следовательно, все плоскости окружностей касания любых вписанных в циклиду Дюпена сфер будут пересекаться по оси циклиды.
Другими словами, если даны три сферы, то плоскость линии центров множества касательных к ним сфер и плоскости окружностей касания являются пучком плоскостей.
7. Если провести две плоскости, каждая из которых касается циклиды Дюпена по окружности, то центры этих двух окружностей касания определяют положение оси циклиды Дюпена.
8. Если даны две произвольные сферы, то оси всего множества циклид Дюпена, огибающих эти сферы, будут принадлежать плоскости, перпендикулярной оси конуса, касательного к этим сферам и проходящей через середину расстояния между плоскостями окружностей касания.
9. Если даны две произвольные сферы, то ось огибающей их произвольной циклиды Дюпена будет принадлежать плоскости, перпендикулярной линии центров этих сфер и пересекающей эту линию в точке, удаленной от центра первой сферы на расстояние, равное сумме половины расстояния между центрами сфер и отношения разности величин радиусов первой и второй сферы к удвоенному расстоянию между центрами - формула (3).
Далее показывается, что фокальными линиями являются кривые второго порядка (коники). Показывается, что, если имеем софокусные коники, то имеется множество конусов вращения, вершины которых принадлежат одной конике, а линия их пересечения - софокусная коника.
Приводится новое конструирование гиперболических поверхностей.
Во втором разделе показываются новые классические решения (с помощью циркуля и линейки) знаменитой задачи Аполлония о касании трех заданных окружностей четвертой.
Далее рассматриваются все случаи решения задач на сопряжение прямых и окружностей [11; 14], применяемых в архитектуре и других областях. При этом доказывается, что все известные приемы - это, по сути, частные случаи применения свойств циклид Дюпена.
Классическая задача Ферма о касании четырех сфер пятой также рассматривается с точки зрения применения свойств циклид Дюпена. Эта задача может быть применена при решении проблем плотной укладки.
Затем рассматриваются все возможные способы построения кривых второго порядка. Эти способы могут быть применены в компьютерных технологиях для пока что незаложенного способа построения гипербол и парабол в графические системы.
Кроме самих коник [11; 12] могут быть построены касательные и нормали [11; 15] к ним, а также эквидистантные кривые.
Далее рассматриваются переходные элементы трубопроводов, а также применение отсеков циклид Дюпена для архитектурных сооружений.
В конце монографии [11] приводятся примеры использования частных случаев циклид Дюпена в учебном процессе на факультете «Архитектура» Московского государственного академического художественного института имени В.И. Сурикова.
1. Berzhe M. Geometriya. T.1 [Tekst] / M. Berzhe. - M.: Mir, 1984. - 500 s.
2. Berzhe M. Geometriya. T.2 [Tekst] / M. Berzhe. - M.: Mir, 1984. - 368 s.
3. Bubennikov A.V. Nachertatel´naya geometriya [Tekst] / A.V. Bubennikov, M.Ya. Gromov. - M.: Vysshaya shkola, 1973.
4. Vyshnepol´skiy V.I., Sal´kov N.A. Tseli i metody obucheniya graficheskim distsiplinam [Tekst] / V.I. Vyshnepol´skiy, N.A. Sal´kov. Geometriya i grafika. - 2013. - T. 1. - № 2. - S. 8-9. - DOI:https://doi.org/10.12737/777.
5. Gil´bert D. Naglyadnaya geometriya [Tekst] / D. Gil´bert, S. Kon-Fossen. - M.-L.: Ob´´edinennoe nauchno-tekhnicheskoe izdatel´stvo NKTP SSSR, Glavnaya redaktsiya obshchetekhnicheskoy literatury i nomografii, 1936. - 302 s.
6. Ivanov G.S. Nachertatel´naya geometriya: uchebnik [Tekst] / G.S. Ivanov. - M.: FGBOU VPO MGUL, 2012. - 340 s.
7. Kleyn F. Vysshaya geometriya [Tekst] / F. Kleyn. - M.-L.: GONTI, 1939. - 400 s.
8. Krivoshapko S.N. Entsiklopediya analiticheskikh poverkhnostey [Tekst] / S.N. Krivoshapko, V.N. Ivanov. - M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2010. - 560 s.
9. Sal´kov N.A. Nachertatel´naya geometriya: bazovyy kurs: ucheb. posobie [Tekst] / N.A. Sal´kov. - M.: INFRA-M, 2013. - 184 s.
10. Ryzhov N.N. Nachertatel´naya geometriya: ponyatiya, ikh opredeleniya i poyasneniya [Tekst] / N.N. Ryzhov. - M.: MADI, 1993. - 60 s.
11. Sal´kov N.A. Tsiklida Dyupena i ee prilozhenie [Tekst] / N.A. Sal´kov. - M.: INFRA -M, 2016. - 145 s.
12. Sal´kov N.A. Tsiklida Dyupena i krivye vtorogo poryadka. Chast´ 1 [Tekst] / N.A. Sal´kov. Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 2. - S. 19-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/.
13. Sal´kov N.A. Problemy sovremennogo geometricheskogo obrazovaniya [Tekst] / N.A. Sal´kov. Problemy kachestva graficheskoy podgotovki studentov v tekhnicheskom vuze: traditsii i innovatsii. - 2014. - T. 1. - S. 38-46.
14. Sal´kov N.A. Cherchenie dlya slushateley podgotovitel´nykh kursov [Tekst] / N.A. Sal´kov. - M.: INFRA-M, 2016. - 128 s.
15. Sal´kov N.A. Ellips: kasatel´naya i normal´ [Tekst] / N.A. Sal´kov. Geometriya i grafika. - 2013. - T. 1. - № 1. - S. 35-37. - DOI:https://doi.org/10.12737/2084.
