A method of problem solution of the eigenvalues and eigenfunc-tions for the Helmholtz equation in the domains with arbitrary configuration is worked out. In developing the approach of the numerical solution of problems, the point-source method (PSM) is used. The proposed method is based on the analysis of the condition number of the PSM system or error of the problem numerical solution. The concept of “eigenvalues criterion” is introduced. The research result is a developed effective method — an algorithm for solving problems of eigenvalues and eigen-functions for the Helmholtz equation. It is shown that at the ap-proach of the Helmholtz parameter to the problem eigenvalue, the condition number of the PSM system and the error of the numerical solution rise sharply. Therefore, the dependence of the condition number of the PSM system or the error of the problem numerical solution can be calculated from the Helmholtz parameter. Then, according to the position of the maximum of the obtained dependences, the eigenvalues of the Helmholtz equation in a given domain are found. It allows searching the eigenvalues. After finding the eigenvalues, it is possible to proceed to the determination of the eigenfunctions. At that, if the eigenvalue appears degenerate, that is some eigenfunctions correspond to it, then it is possible to find all the eigenfunctions taking into account the symmetry of the solution domain. The two-dimensional and three-dimensional test problems are solved. Upon the results obtained, the conclusion about the efficiency of the proposed method is made.
point source method, eigenvalues, eigenfunctions, Helmholtz equation, fundamental solution, method of fundamental solutions.
Важное прикладное значение при разработке электромеханических, оптоэлектронных и радиотехнических устройств имеют задачи математической физики. Ряд таких задач приводит к решению однородного уравнения Гельмгольца с положительным значением параметра Гельмгольца λ>0. Это широкий класс задач, связанных с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, тепловыми, электромагнитными и др.). Численное решение задач массой теплопереноса также приводит к уравнению Гельмгольца, уже с отрицательным значением параметра λ<0.
Важность решения уравнения Гельмгольца обусловлена также тем, что любые уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводятся к уравнению этого вида.
При решении ряда прикладных задач требуется нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с различной конфигурацией. Аналитическое решение таких задач, а также численное решение с использованием традиционных численных методов, может вызвать значительные трудности и не всегда целесообразно, особенно если область решения имеет сложную конфигурацию, а граничные условия содержат производную по нормали.
Одним из эффективных методов численного решения граничных задач для ряда уравнений эллиптического типа является метод точечных источников поля (МТИ) [1–7]. Этот метод применяется при моделировании электрических, магнитных, тепловых, концентрационных, упругих напряжений и других физических полей [8–17]. Преимуществом МТИ является его простота и значительно меньший объем вычислений в сравнении с традиционными численными методами решения граничных задач, такими, например, как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МТИ может быть оправдано также при решении задач на собственные значения для уравнений эллиптического типа, например, уравнения Гельмгольца [18, 19].
1. Fairweather, G., Karageorghis, A. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems. Ad. Vol. Comput. Math., 1998, vol. 9, pp. 69-95.
2. Alves, C.J.S., Chen, C.S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems. Advances in Computational Mathematics, 2005, vol. 23, pp. 125-142.
3. Knyazev S.Y. Ustoychivost´ i skhodimost´ metoda tochechnykh istochnikov polya pri chislennom reshenii kraevykh zadach dlya uravneniya Laplasa. [Stability and Convergence of Point-Source Field Method at Numerical Solution to Boundary Value Problems for Laplace Equation]. Russian Electromechanics, 2010, no. 1, pp. 3-12 (in Russian).
4. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Yengibaryan, A.A. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya uravneniya Puassona metodom tochechnykh istochnikov polya. [Numerical solution of the boundary problems with Poisson equation by point-source method.] Vestnik of DSTU, 2014. Vol. 14. No. 2(77). pp. 15-20 (in Russian).
5. Knyazev S.Y., Shcherbakova E.E. Reshenie trekhmernykh kraevykh zadach dlya uravneniy Laplasa s pomoshch´yu metoda diskretnykh istochnikov polya. [The Decision of the Three-Dimensional Boundary Value Problems for the Laplace Equation Using the Method of Discrete Sources of the Field.] Russian Electromechanics, 2015, no. 5, pp. 25-30 (in Russian).
6. Bakhvalov, Y.A., Knyazev, S.Y., Shcherbakov, A.A., Shcherbakova, E.E. Pogreshnost´ metoda tochechnykh isto-chnikov pri modelirovanii potentsial´nykh poley v oblastyakh s razlichnoy konfiguratsiey. [Errors of Point Source Method under Simulation of Potential Fields in Areas with Different Shape Configuration.] Russian Electromechanics, 2012, no. 5, pp. 17-21 (in Russian).
7. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Zaichenko, A.N. Sravnitel´nyy analiz dvukh variantov metoda kollokatsiy pri chislennom modelirovanii potentsial´nykh poley. [A Comparative Analysis of the Two Variants of the Collocation in Numeri-cal Modeling of Potential Fields.] Russian Electromechanics, 2014, no. 1, pp. 17-19 (in Russian).
8. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Reshenie zadach teplo i massoperenosa s pomoshch´yu metoda tochechnykh istochnikov polya. [Solving problems of heat and mass transfer by the point source method.]University News. North-Caucasian region. Technical Sciences Series, 2006, no. 4, pp. 43-47 (in Russian).
9. Knyazev, S.Y., Pustovoyt, V.N., Shcherbakova, E.E. Modelirovanie poley uprugikh deformatsiy s primeneniem metoda tochechnykh istochnikov. [Modeling the elastic strain fields by point-source method.] Vestnik of DSTU, 2015, vol. 15, no. 1(80), pp. 29- 38 (in Russian).
10. Knyazev, S.Y., Pustovoyt, V.N., Shcherbakova, E.E. Modelirovanie trekhmernykh poley uprugikh deformatsiy s pomoshch´yu metoda tochechnykh istochnikov. [Modeling of three-dimensional elastic strain fields by point-source method.] Vestnik of DSTU, 2015, vol. 15, no. 4 (83), pp. 13-23 (in Russian).
11. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Sravnitel´nyy analiz razlichnykh variantov ispol´zovaniya metoda tochechnykh istochnikov polya pri modelirovanii temperaturnykh poley. [A comparative analysis of various variants of the point source method application in the temperature field simulation.] Physical and mathematical system modeling: Proc. XII Int. Workshop. Voronezh, 2014, pp. 52-56 (in Russian).
12. Lunin, L.S., Knyazev, S.Y., Seredin, B.M., Polukhin, A.S., Shcherbakova, E.E. Issledovanie stabil´nosti termomi-gratsii ansamblya lineynykh zon s pomo-shch´yu trekhmernoy komp´yuternoy modeli, postroennoy na osnove metoda to-chechnykh istochnikov polya. [The study of stability of thermomigration of an ensemble of linear zones using a three-dimensional computer model constructed on the basis of the field point sources method.] Vestnik SSC RAS, 2015, vol. 11, number 4, pp. 9-15 (in Russian).
13. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoe modelirovanie poley uprugikh defor-matsiy metodom tochechnykh istochnikov polya. [Mathematical modeling of elastic deformation fields by the point source method.] Mathematical Methods in Engineering and Technologies, 2015, no. 5 (75), pp. 21-23 (in Russian).
14. Knyazev S.Y., Shcherbakova E.E., Shcherbakov A.A. Komp´yuternoe modelirovanie potentsial´nykh poley metodom tochechnykh istochnikov. [Computer modeling of potential fields by the point source method.] Rostov-on-Don: DSTU Publ. Centre, 2012, 156 p. (in Russian).
15. Knyazev, S.Y. Metod tochechnykh istochnikov dlya komp´yuternogo modelirovaniya fizicheskikh poley v zadachakh s podvizhnymi granitsami: dis. …doktora tekhn. nauk. [Point source method for computer modeling of physical fields in moving boundary problems: Dr.Sci. (Eng.) diss.] Novocherkassk, 2011, 342 p. (in Russian)
16. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Chislennoe issledovanie stabil´nosti termomigratsii ploskikh zon. [Numerical study of thermomigration stability of flat bands.] Russian Electromechanics, 2007, no. 1, pp. 14-19 (in Russian).
17. Bakhvalov, Y.A., Knyazev, S.Y., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh poley metodom tochechnykh istochnikov. [Mathematical modeling of physical fields by a method of dot sources.] Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 2008, vol. 72, no. 9, pp. 1259-1261 (in Russian).
18. Knyazev, S.Y. Chislennoe reshenie uravneniy Puassona i Gel´mgol´tsa s pomoshch´yu metoda tochechnykh isto-chnikov. [Numerical solution of Poisson and Helmholtz equations using the point source method.] Russian Electromechanics, 2007, no. 2, pp. 77-78 (in Russian).
19. Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Zaichenko, A.N. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya neodnorodnykh uravneniy Gel´mgol´tsa metodom tochechnykh istochnikov polya. [Numerical solution for inhomogeneous Helmholtz equation by the point source method.] Russian Electromechanics, 2014, no. 4, pp. 14-19 (in Russian).
20. Abramowitz, A., Stegun, L. Spravochnik po spetsial´nym funktsiyam. [Handbook of Mathematical Functions.]. Moscow, Nauka, 1979, 832 p. (in Russian).
21. Polyanin, A.D. Spravochnik po lineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki. [Handbook of linear equations in mathematical physics.] Moscow, Fizmatlit, 2001, 576 p. (in Russian).
