Введение. Положение манипулятора относительно траектории рабочего органа определяет его энергопотребление, максимальную мощность, производительность, а также точность, и поэтому является актуальной задачей при разработке планировки роботизированной ячейки или алгоритма работы автономного мобильного робота с манипулятором. В последнее десятилетие вопросам оптимизации положения робота по критериям минимизации энергопотребления и мощности уделялось значительное внимание, а на практике проектировщики по-прежнему ориентируются на СНИП и обеспечение лишь необходимой ширины проходов для эвакуации и обслуживания оборудования.Проблемам повышения эффективности использования роботов посвящено множество публикаций, которые целесообразно классифицировать по четырем группам. Первая группа работ посвящена проблемам автоматизации проектирования рабочих траекторий роботов. В [1] авторы предложили шестьдесят способов обеспечения полного набора комбинаций обобщенных координат ангулярного робота для заданной ориентации рабочего органа. В [2, 3] разработаны алгоритмы разработки траектории с учетом ограничений подвижности кинематических пар, исключения сингулярности и коллизий, а также положения робота в производственной ячейке. Вторая группа работ посвящена вопросам повышения быстродействия роботов, которое часто определяет производительность производственной ячейки. В [4] предложен генетический алгоритм синтеза траекторий в сочетании с их кубической интерполяцией и учетом ориентаций, определяемых кватернионами. В [5] и [6] установлено, что оптимальное размещение конкретных моделей роботов относительно траекторий позволяет повысить производительность на 25% и 26% соответственно.Третья группа работ посвящена проблемам минимизации объема движений в сочленениях звеньев робота при реализации заданной траектории. Объем движений является комплексной оценкой эффективности работы робота, так как он определяет его быстродействие и энергопотребление. В [7] представлены алгоритмы обеспечения минимизации объема движений путем оптимизации положения робота относительно траектории его исполнительного устройства применительно к автоматизации лазерной резки. В [8] авторы предложили для описания пространства поиска оптимального положения робота в виде направленного графа.  В четвертой группе публикаций исследуются проблемы повышения энергоэффективности применения роботов. В [9] и [10] показано, что существенное снижение энергопотребления роботов можно обеспечить путем выбора более эффективного закона движения рабочего органа или его синтеза. Способ снижения энергопотребления манипулятора путем замедления операций типа «захват и перенос объекта» [11] при действии инерционных, гравитационных и диссипативных потерь не всегда дает положительный результат. Методика расчета энергопотребления роботов на основе их структурной декомпозиции, учитывающей механизмы генерации траекторий и вычислительную сложность задачи на примере лазерной обработки детали разработана в [12]. В [13] продемонстрировано применение двурукого робота duAro и настройки регуляторов с использованием метаэвристических алгоритмов дает наилучший результат. В работе [14] решается задача оптимизации положения аддитивных роботов на основе трехмерных карт энергопотребления и качества печати. Примененный подход позволил снизить энергозатраты на 39,96-56,99% и повысить точность печати на 9,09-23,8%. В [15] экспериментально установлено, что рабочие параметры робота существенно влияют на его энергетику и динамику. Проблемы адекватности упрощенных моделей приводных двигателей и инверторов рассмотрены на примере робота KUKA KR 210 исследованы в [16]. Метод построения оптимальной по энергоэффективности траектории робота, аппроксимированной кусочно-линейной функцией, в сферической области с препятствием рассмотрен в [17]. Оптимизация траектории также рассмотрена в работе [18]: предложенный метод позволил снизить энергозатраты на 13–44% за счет минимизации квадрата крутящего момента. В работе [19] проанализировано энергопотребление 6-осевых промышленных роботов ABB. Результаты показали, что при размещении робота на расстоянии 50% от максимального рабочего диапазона энергопотребление снижается на 30-40%. В [20] для оптимизации энергопотребления робота при отсутствии информации о его конструктивных характеристиках предложен метод на основе применения нейронной сети и адаптивного генетического алгоритма. Валидация соответствующей модели на примере робота KUKA KR60-3 продемонстрировала снижение энергопотребления на 22 %, а ошибка метода составила менее 5%. Оптимальное размещение замкнутых прямоугольных траекторий робота относительно его основания по критерию минимума потребления энергии с учетом электромеханических характеристик приводов описано в [21]. В [22] представлен метод оптимизации компоновочного решения ячейки с тремя роботами по критерию минимума потребления энергии с использованием встроенных возможностей Modelica/Dymola. После формулировки задач для каждого робота по перемещению рабочего органа по множеству рабочих точек определялась оптимальная компоновка производственной ячейки с использованием соответствующих численных методов. Результаты оптимизации проиллюстрированы цветными картами уровней, которые отображают потребление энергии и время, потребное на выполнение задачи для различных положений робота в ячейке. В заключении в среде Delmia Robotics выполнено моделирование двух ячеек с целью оценки потенциала энергосбережения на заданных множествах точек. Установлено существование возможности экономии до 20% энергии по сравнению существующей производственной системой.Принимая во внимание вышеизложенное, можно утверждать, что данное исследование актуально. В заключении анализа необходимо отметить ряд не решенных проблем. Во-первых, даже для простейшего случая плоской зоны обслуживания робота отсутствует единый подход к формальному описанию области возможных положений робота, которая является необходимой основой для исследования оптимизации размещения робота. Одни авторы траекторию перемещают относительно робота, которая задается четырьмя линейными координатами или парой линейных и одной угловой координатами. Другие перемещают робот относительно заданной траектории и его положение определяется только двумя линейными координатами, что конечно же предпочтительно. Как итог, в настоящее время отсутствует вразумительное определение и описание этой зоны. Во-вторых, рассмотренные работы посвящены решению достаточно сложных задач оптимизации, когда рассматриваются криволинейные траектории или позиционирование рабочего устройства в большом количестве точек. В результате установленный эффект оптимизации размещения робота является интегральным и справедлив только для рассмотренной задачи. В-третьих, даже для простейшего случая, прямолинейного перемещения центра рабочего органа между двумя точками, отсутствует методика определения зависимости энергозатрат от величины перемещения, которое при наличии весомых аргументов может учитываться при планировке роботизированной ячейки.Целью представленной работы является создание универсальных математической модели и методики оптимизации размещения робота относительно заданного вектора перемещения по критерию минимумов потребленной за цикл энергии и максимальной мощности, оценка их эффективности и реализуемости. Предложенные методика и модели должны иметь потенциал дальнейшего развития применительно, к другим критериями, такими как быстродействие, точность и грузоподъемность, а также многокритериальной оптимизации на их основе.Методы исследования. Поставленная цель достигается путем аналитического и компьютерного моделирования работы манипулятора по критериям минимизации энергозатрат и максимальной потребляемой мощности. Модель основана на уравнении Лагранжа второго рода и законах теоретической механики. Моделирование выполнено в средах MathCad 15 и MatLAB 2019.Постановка задачи. Рассматривается двухзвенный манипулятор ангулярного типа с вертикально ориентированными осями и работающий в горизонтальной плоскости. Суть технологической операции сводится к перемещению объекта манипулирования массой m3=2 кг по прямолинейной траектории из точки А в точку В на расстояние s за время Т (рисунок 2а). Основные технические параметры звеньев манипулятора представлены в таблице 1.  Таблица 1Параметры манипулятораПараметрПервое звеноВторое звеноНоминальная скорость вращения вала моторов, рад/сω=526 Номинальный момент моторов, НмMном=0,084 Момент инерции якоря моторов, кг‧м2J0=135‧10-7 Передаточное число редукторовi=150,286Масса звена, кгm1=4,65 m2=3,56 Длина звена, мl1=0,522 l2=0,4 Расстояние от шарнира звена до его центра масс, мa1=0,261 a2=0,2 Момент инерции звена, кг‧м2J1=0,106 J2=0,048   Закон движения рабочего органа определяется технологической операцией. Для примера рассмотрен наиболее распространенный трапецеидальный закон движения, состоящий из равноускоренного разгона, равномерного движения и равнозамедленного торможения. Зависимости перемещения l(t), скорости и ускорения центра захватного устройства от времени t при времени цикла Т и временах разгона и торможения τ = Т/3 представлены в выражениях (1), (2) и (3). Графики этих функций приведены на рисунке 1.Разгон (при   0 ≤ 𝑡 ≤ τ):   (1)Равномерное движение (при τ< 𝑡 ≤𝑇−τ):      (2)Торможение (при 𝑇−τ < 𝑡 ≤ 𝑇):  (3)По результатам анализа необходимо установить зависимость энергозатрат и пиковой мощности от координат [x, y] размещения манипулятора относительно траектории рабочего органа, а также определить оптимальное по этим критериям размещение манипулятора. Рис. 1. График закона движения рабочего органа манипулятора (s = 0,8м, T = 1c, τ = 1/3T)Область возможных размещений манипулятора. Область возможных размещений манипулятора является новым понятием и отличается от зоны обслуживания. Область возможных размещений манипулятора является областью допустимых значений координат размещения манипулятора, построенной относительно заданной траектории перемещения рабочего органа с учетом кинематики манипулятора. Область возможных размещений рассматриваемого манипулятора при s=0,8 показана на рисунке 2а.Область возможных размещений манипулятора относительно вектора перемещения s определяется системой неравенств (4). Первые два неравенства определяют наружную границу области возможных размещений манипулятора, а последние три неравенства – внутреннюю границу, обусловленную соотношением длин звеньев:,    (4)где l0 = l1 + l2 и Δl = l1 - l2 - сумма и разница длин звеньев манипулятора соответственно.Для анализа достаточно рассмотреть половину области возможных размещений, так как она симметрична относительно оси X.  Рис. 2. Область возможных размещений манипулятора: а – в графическом представлении; б – в матричном представлении  Габаритные размеры области возможных размещений манипулятора:                (5)Прямоугольник, описывающий область возможных размещений, разбивается на (n+1)×(m+1) прямоугольников координатной сетки.  После этого формируется матрица Z размерностью m×n с номерами строк i = 0…n и столбцов j = 0…m, которые соответствуют координатам центров прямоугольников сетки. Элементам матрицы, соответствующим координатам, доступным для размещения манипулятора, присваивается значение «1», а недоступным – «0» (рис. 2б). Аналогично будет выполнена запись значений в матрицы энергопотребления и пиковой мощности. Элемент матрицы с индексами i, j содержит значение, соответствующее расположению манипулятора в координатах x, y: ,      (6)где ∆i и ∆j - шаги координатной сетки по осям Х и У:                        (7)Понятие “область возможных размещений манипулятора” относительно заданных траекторий перемещения рабочего органа и принцип заполнения матриц являются основой метода определения оптимального размещения манипулятора. Такое представление качественных характеристик размещения манипулятора позволит осуществить многокритериальный анализ путем суммирования матриц с заданными весовыми коэффициентами.Вычисление показателей энергоэффективности манипулятора. На первом этапе исследования необходимо определить потребляемые мощность и энергию для заданного места размещения манипулятора. Метод вычисления этих показателей основан на материалах, представленных нашим коллективом в рамках конференции «Современное машиностроение: Наука и образование MMESE-2025».Рис. 3. Расчетная схемаФункции скорости, координаты и ускорения рабочего органа описаны выражениями (1), (2), (3). Расчетная схема для определения углов поворота звеньев, которые являются обобщенными координатами, приведена на рисунке 3. По расчетной схеме исходя из геометрических соотношений определены функции обобщённых координат φ1(t) и φ2(t) (10) через функции L(t) (расстояние от шарнира O до центра захватного устройства) и β0(t) (угол между отрезком ОА и осью X):                         (8)        (9)                                      (10)  Для записи уравнений Лагранжа второго рода применительно к двум звеньям манипулятора необходимо выразить кинетическую энергию через линейные скорости центров масс [23]. Скорость центра масс первого звена зависит исключительно от угловой скорости первой обобщенной координаты φ1 и определяется выражением (11). Здесь и далее аргумент функций t не указан с целью упрощения записи формул.                            (11)Скорость центра масс второго звена зависит от угловых скоростей двух обобщенных координат φ1 и φ2 и определяется как векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих линейной скорости V2:                   (12) Линейная скорость центра масс захватного устройства определяется аналогично, но с заменой расстояния a2 на длину второго звена l2:                                           (13) Полная кинетическая энергия подвижных частей манипулятора может быть представлена в следующем виде (14). После выражения линейных скоростей через угловые скорости (11), (12), (13) и группировки слагаемых выражение для кинетической энергии может быть приведено к виду (15).  (14) ,             (15)где JΣ1 и JΣ2 – приведенные моменты инерции первого и второго звена соответственно, определяемые выражениями:                       (16)                                                               (17)                                  (18) Следует уточнить, что массы моторов учтены в значениях m1 и m2, а момент инерции ротора первого звена учитывается в виде слагаемого J0i2 в выражении (16). При этом кинетическая энергия вращения ротора мотора второго звена содержит квадраты угловых обоих угловых скоростей и их произведение (19). В связи с этим, инерционность ротора второго мотора должна учитываться в выражениях (16), (17) и (18) в виде слагаемых J0, J0i2 и J0i  соответственно.                                      (19) Уравнения Лагранжа для рассматриваемого манипулятора при отсутствии преобразований потенциальной энергии (манипулятор работает в горизонтальной плоскости) имеют вид:                                     (20) где M1 и M2 – движущие моменты приводов манипулятора.После подстановки в (20) выражения кинетической энергии (15) с учетом скоростей (11), (12), (13) и соответствующих преобразований получены выражения для расчета моментов приводов манипулятора систему уравнений динамики для двух звеньев манипулятора:                                        (21)                                            (22) Здесь обобщенные моменты и моменты инерции являются функциями обобщенных координат, которые, в свою очередь, являются функциями времени t, координат точки размещения шарнира первого звена манипулятора О(x, y), величины перемещения захватного устройства s, длительности разгона (торможения) захватного устройства с полезным грузом τ и времени цикла движения Т.Механическая мощность получена путем умножения обобщенных моментов (21), (22) на угловые скорости звеньев:            (23) В случае отсутствия системы рекуперации общая потребляемая механическая мощность N0 определяется как сумма величин NП1 и NП2, являющихся положительными участками мощностей N1 и N2:  (24) (25)  (26)Энергопотребление рассчитывается путем интегрирования суммарной мощности:               (27)Как говорилось ранее, оптимизация размещения манипулятора выполняется по критериям максимальной за цикл мощности, потребляемой приводами – Nmax и энергии U, затрачиваемой на один цикл работы.Анализ зависимости энергоэффективности манипулятора от его размещения. Для каждого возможного положения манипулятора в матрице, приведенной на рисунке 2б, значения «1» заменяются на значения Nmax или U, вычисленные для соответствующих положений шарнира О [x; y]. Значения «0» заменяются на значения, равные максимальным величинам Nmax и U, чтобы эти элементы матрицы не учитывались при поиске минимальных значений мощности и энергозатрат. Визуализации функций энергопотребления и максимальной за цикл мощности представлены на рисунке 4. Наиболее наглядным инструментом представления результатов исследования являются карты. Основными особенностями проиллюстрированных функций является отсутствие симметрии и наличие нескольких локальных минимумов. В связи с этим появляются ограничения в использовании методов оптимизации, основанных на поиске локального минимума.Анализ матриц и графиков показывает, что произвольное размещение манипулятора в области возможных размещений может привести к увеличению потребляемой за цикл энергии на 500%, а максимальной мощности на 2150%. Такое увеличение затрат имеет место на границе области возможного размещения манипулятора. Если исключить точки размещения манипулятора, лежащие в крайних элементах сетки разбиения области его возможных положений то приведенные показатели, снизятся до 200% и 821% соответственно.По полученным матрицам определены приблизительные места нахождения локальных минимумов, которые впоследствии были уточнены функциями поиска локального минимума. Точки, соответствующие оптимальным размещениям по критериям энергопотребления и пиковой мощности, условно обозначены как U и N. Сравнение показателей энергоэффективности приведено в таблице 2. Размещение манипулятора в точке с минимальным энергопотреблением, приводит к увеличению максимальной за цикл мощности на 43% в сравнении с минимально достижимым значением, а перенос его в точку, обеспечивающую минимум пиковой мощности, сопровождается ростом энергопотребления на 21%. Этот результат получен для величины вектора перемещения 0,8 м при геометрически допустимой – 1,8 м. Таблица 2Показатели энергоэффективности в оптимальных местах размещенияТочкаКоординаты экстремумов, мЭнергия, затрачиваемая на цикл, ДжОтносительное увеличение затрачиваемой энергии, %Пиковая потребляемая мощность, ВтОтносительное увеличение пиковой мощности, %U[0,11; 0,672]5,45019,6643N[0,285; 0,51]6,612113,780  Рис. 4. Эффективность оптимизации размещения манипулятора относительно вектора перемещения захватного устройства: а и б – матрицы энергий и максимальных за цикл мощностей; в и г – карты энергий и максимальных за цикл мощностей  Рис. 5. Графики зависимости относительного приращения энергопотребления и максимальной потребляемой мощности: a – от координаты х; б – от координаты y  Для повышения наглядности двумерных функций энергии и мощности целесообразно перейти к относительным величинам δU и δN. Каждая из предложенных величин представляет собой приращение энергии или максимальной мощности в процентах для точки с координатами х, у в сравнении с минимально возможными значениями. На рисунке 5 представлены сечения двухмерных графиков δU и δN, выполненные через точки абсолютных минимумов U(0,11; 0,672) и N(0,285; 0,51) параллельно осям X и Y. Анализ графиков позволяет утверждать следующее. Потребляемая энергия и максимальная мощность изменяются на десятки процентов при даже при малых изменениях места размещения манипулятора.На рисунке 6 приведены зависимости потребляемых приводами степеней подвижности мощностей N1 и N2, а также суммарной потребляемой мощности N0 от времени для оптимального размещения манипулятора. Видно, что в случае размещения манипулятора в точке N на участках разгона и равномерного движения пиковые мощности равны (рисунок 6б). При смещении манипулятора в какую-либо из сторон величина N0 увеличится либо на этапе разгона, либо на этапе прямолинейного движения. Но при этом площадь под графиком N0 может уменьшаться, что подтверждается графиком на рисунке 6а. Рис. 6. Графики потребляемых мощностей N1 и N2 , а также суммарной потребляемой мощности N0: а – при размещении манипулятора в точке U; б – при размещении манипулятора в точке N  Минимизация мощности или потребляемой энергии в итоге обеспечивается законами изменения во времени обобщенных координат и, следовательно, угловых скоростей и ускорений звеньев манипулятора. На рисунке 7 приведены зависимости углов поворота звеньев (обобщенных координат) и их угловых скоростей от времени. Индексы «1» и «2» обозначают номер звена, «u» – размещение манипулятора, соответствующее минимальным энергозатратам цикла, «n» - размещение манипулятора, соответствующее минимальной за цикл потребляемой мощности.  Рис. 7. Графики движения манипулятора, расположенного в оптимальных точках: а – графики изменения углов поворота звеньев; б – графики изменения угловых скоростей  Полученные графики свидетельствуют о том, что закон движения рабочего органа при размещении манипулятора в выбранных точках, является реализуемым: на графиках отсутствуют разрывы функций, а значения угловых скоростей умещаются в допустимый диапазон. Кроме того, характер функций обобщенных координат отличается незначительно при изменении места размещения манипулятора.Таким образом, метод оптимизации размещения манипулятора состоит из следующих этапов:- формирование математической модели, позволяющей рассчитать критерии оптимальности для заданных координат размещения манипулятора;- определение области возможных размещений манипулятора и выбор шага сетки, соизмеримого с возможной точностью установки манипулятора при монтаже;- формирование бинарной матрицы, соответствующей области возможных размещений, с количеством элементов, соответствующим выбранному шагу сетки;- заполнение элементов матриц значениями критериев оптимальности и замена “нулевых” элементов матрицы максимальными величинами;- построение трехмерных графиков и карт на основе полученных матриц для приблизительного определения мест расположения локальных минимумов критериальных функций (либо автоматическое определение приблизительных мест расположения локальных минимумов путем перебора элементов матриц);- уточнение положения локальных минимумов и определение глобального минимума;- построение графиков изменения критериев оптимальности в сечениях, проходящих через точки локальных минимумов, для оценки допустимых отклонений координат размещения манипулятора и возможных потерь эффективности;- построение графиков изменения углов и угловых скоростей звеньев манипулятора для проверки реализуемости закона движения в выбранном месте размещения.ЗаключениеВ работе предложено понятие “область возможных размещений манипулятора” относительно его рабочих траекторий, которое является основой для решения задач оптимизации размещения манипулятора.Предложен метод оптимизации размещения робота относительно заданного вектора перемещения. Анализ результатов его применения позволяет утверждать следующее. Взаимное расположение манипулятора и вектора перемещения рабочего органа значительно влияет на потребляемую энергию и максимальную за цикл мощность. Оптимальные места размещения манипулятора относительно вектора перемещения центра рабочего органа по критериям минимумов потребляемой энергии и мощности не совпадают. Показано, что функции энергопотребления и максимальной потребляемой мощности имеют несколько локальных минимумов.Полезный эффект от оптимального размещения манипулятора относительно вектора перемещения зависит от его конструкции, закона движения рабочего органа, расстояний перемещения, количества точек позиционирования, а также от типа управления (позиционное и контурное). Оценка влияния перечисленных факторов на энергоэффективность требует отдельного анализа.Примененный в работе подход может быть использован для оптимизации размещения манипулятора по другим критериям, таким как быстродействие, точность и грузоподъемность, а также для многокритериальной оптимизации на их основе. Представленные материалы являются основой для формирования системного подхода к оптимизации планировки роботизированного участка.