Введение В настоящее время САУ технологических объектов управления чаще всего строятся на основе ПИ- и ПИД-регуляторов [1, 2]. Существует ряд сравнительно простых методик настройки таких регуляторов, применение которых позволяет добиться приемлемого качества управления, и которыми владеет персонал служб автоматизации предприятий. Кроме того, в большинстве контроллеров, используемых при построении САУ, имеются программы, реализующие ПИД-регуляторы.Эффективность функционирования многих промышленных объектов существенно зависит от точности поддержания заданного технологического режима в условиях действия не измеряемых возмущений, что предъявляет повышенные требования к качеству функционирования САУ. Однако САУ на основе ПИД-регуляторов не всегда способны обеспечить и высокое качество отработки изменения задания и эффективно подавлять действие возмущения. Одним из альтернативных вариантов САУ технологическими объектами являются системы, в которых используются регуляторы состояния [3]. Такая система использует наблюдатель, который оценивает координаты состояния и низкочастотную составляющую не измеряемого возмущения. Рассмотрим подробнее процесс разработки такой САУ на примере системы, неизменяемая часть которой представлена на рис. 1.    Рис. 1. Структурная схема неизменяемой части системы управленияFig. 1. Block diagram of the immutable part of the control system Сигнал управления v(t), сформированный регулятором, перед подачей на исполнительное устройство ограничивается. На вход объекта подается управляющее воздействие u(t) и не измеряемое возмущение f(t). Выход объекта y(t) измеряется с помехой η(t), имеющей нулевое математическое ожидание. Математическая модель объекта описывается последовательным соединением апериодического звена второго порядка и звена запаздывания. Разработка САУ на основе регулятора состояния неизменяемой части Неизменяемая часть системы включает два динамических звена:– объект управления, математическая модель которого включает последовательное соединение апериодического звена второго порядка и звена запаздывания;– исполнительное устройство описывается апериодическим звеном первого порядка, выход которого – положение исполнительного устройства измеряется.Структурная схема разрабатываемой САУ приведена на рис. 2.В управляющей части системы используется наблюдатель, оценивающий координаты состояния объекта и возмущение f(t) [4 – 6], а также регулятор состояния [7].  Рис. 2. Структурная схема системы управленияFig. 2. Block diagram of the control system Выход объекта y(t) измеряется с погрешностью h(t), и результат измерения yи(t), а также измеряемый выход исполнительного устройства u(t) используются наблюдателем для оценки координат состояния объекта и возмущения f(t).Заменим передаточную функцию e–2p в объекте при помощи аппроксимации Паде для экспоненциальных функций [8, 9]: Запишем дифференциальное уравнение объекта в операторной форме:32p3+44p2+13p+1yt=5-5put,                                        (1)где p – оператор дифференцирования.Первую координату состояния объекта х1(t) выберем, разделив обе части (1) на произведение операторов      : Остальные координаты выберем следующим образом: ; ; . Символом «'» здесь и далее обозначена производная по времени.Объект управления является фильтром низкой частоты, который достаточно эффективно подавляет высокочастотные составляющие возмущения f(t). Только низкочастотные составляющие f(t) будет оценивать наблюдатель и подавлять регулятор. Поэтому в модели объекта и наблюдателя будем предполагать, что f(t) = const.Уравнения, описывающие движение объекта в пространстве выбранных координат состояния, имеет вид системы нормальных уравнений: Уравнение, связывающее выход объекта y(t) с координатами состояния, имеет вид: В матричной форме уравнения, описывающие движение объекта и связь выхода с координатами состояния, можно представить следующим образом [10]: где   – вектор текущих значений координат состояния объекта;   – собственная матрица модели объекта управления;    – вектор влияния управляющего воздействия на координаты состояния;    – вектор связи измеряемого выхода y(t) с координатами состояния.Математическая модель, описывающая изменение оценок, формируемых наблюдателем, имеет вид следующей системы нормальных уравнений:&x1наб'(t)=x2наб(t)+k1Δy(t);&x2наб'(t)=x3наб(t)+k2Δy(t);&x3наб'(t)=132(-44x3наб(t)-13x2наб(t)-x1наб(t)+u(t)+x4наб(t))+k3Δy(t);&x4наб'(t)=k4Δy(t). где xiнаб(t) и xiнаб'(t) – оценки соответственно i-й координаты состояния и её производной наблюдателем; ki – коэффициенты, вносящие коррекцию в движение xiнаб(t) в наблюдателе по результатам измерения выхода объекта yи(t); Δy(t)=yи(t)-yнаб(t)  – отклонение оценки yнаб(t) наблюдателем выхода объекта от результата измерения yи(t).Оценка выхода объекта наблюдателем состояния имеет следующее значение:yнабt=5x1набt-5x2набt, Матрица коррекции  влияет на скорость сходимости оценок xiнаб(t) к истинным значениям xi(t) координат состояния объекта и на чувствительность оценок к погрешностям h(t) измерения выхода.  Необходимым условием сходимости оценок xiнаб(t) к значениям xi(t) является отрицательность вещественных частей всех четырех собственных чисел li матрицы A – KC движения оценок наблюдателя. Значения li (i=1,…,4) являются решениями характеристического уравнения наблюдателя:det(A-KC-λI)=0; det-λ-5k15k1+100-5k2-λ+5k210-5k3-1325k3-1332-λ-118132-5k45k40-λ=0. где det – определитель квадратной матрицы; I – единичная 4х4 матрица. Вычислим определитель и сгруппируем уравнение по степеням λ :λ4+λ3(5k1-5k2+118)+λ2(558k1-118k2-5k3+1332)+λ(3516k1+558k2+5k3-532k4+132)+532k4=0. Выберем все собственные числа li, равными -2. Уравнение, в котором полином четвертого порядка относительно λ имеет все корни, равные -2, запишем следующим образом:(λ+2)4=λ4+8λ3+24λ2+32λ+16. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях λ и решим систему уравнений: Получаем значения коэффициентов коррекции наблюдателя: При выборе собственных чисел li, влияющих на коэффициенты коррекции ki, необходимо учитывать, что уменьшение li ускоряет процесс наблюдения и повышает чувствительность оценок наблюдателя к погрешностям h(t) измерения выхода объекта.Регулятор состояния получает информацию о текущих значениях следующих сигналов:– задающее воздействие (уставка) y*(t);– оценка (x1наб(t), x2наб(t), x3наб(t), x4наб(t)T наблюдателем вектора (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t))T координат состояния объекта, где T – символ транспонирования;– x5(t) = u(t) – измеренное значение выхода исполнительного устройства системы. Определим желаемые значения координат состояния в установившемся режиме. Пусть заданное значение выхода объекта управления (уставка) САУ равно у*(t). Коэффициент усиления объекта управления КОБ равен 5. То есть в установившемся режиме выполняется соотношение:y*(t)=KОБ(u*(t)+f(t))=5(u*(t)+f(t)). Отсюда: u*(t)=V*(t)=0,2y*(t)-x4(t). где u*(t) и V*(t) – желаемые значения сигналов u(t) и V(t) в установившемся режиме соответственно.Возмущение f(t) – медленно изменяющаяся величина, которая оценивается наблюдателем в виде координаты х4(t). В установившемся режиме координаты состояния объекта и исполнительного механизма должны иметь следующие значения: ; ; ; .Управляющее воздействие V(t), формируемое регулятором состояния, включает две составляющие V*(t) и VПЕР(t). V*(t) обеспечивает поддержание выхода  в установившемся режиме. VПЕР(t) формирует реакцию регулятора на отклонение координат состояния х1(t), х2(t), х3(t) и х5(t) от их значений х1*(t), х2*(t), х3*(t) и х5*(t) в желаемом установившемся режиме: где R1, R2, R3, R4 – параметры настройки регулятора состояния.Тогда текущее значение сигнала управления V(t), формируемого регулятором состояния, можно вычислить по формуле:  Моделирование переходных процессов САУ с регулятором состояния и альтернативной САУ на основе ПИД-регулятора Коэффициенты R1, R2, R3, R4 определялись в результате многократного моделирования переходных процессов в MATLAB SIMULINK [11] в режиме отработки ступенчатого задания y*=100, f(t)=0. Получены следующие значения: R1 = 20; R2 = 65; R3 = 20; R4 = 6. Для сравнения качества работы регулятора состояния и альтернативного ПИД-регулятора параметры последнего настраивались в таком же режиме. При этом получена следующая передаточная функция регулятора: В настраиваемом режиме показатели качества переходных процессов практически совпадают: время переходного процесса tр равно 15 минутам, перерегулирование σ равно нулю.Для сравнения свойств САУ проведено исследование работы систем в различных режимах, представленных в табл. 1. Таблица 1Используемые режимы работыTable 1Operating modes usedРежим работыЗадание y*Возмущение f(t)1100020103100с момента t = 25 мин. f(t) = 0,5(t-25)4010sin(0,05t)На рисунке 3 представлены графики переходных процессов в различных режимах. Во всех режимах работа САУ начинается из нулевых начальных условий. Настройка параметров альтернативных регуляторов выполнялась в режиме 1 отработки ступенчатого изменения задания y*=100. При этом желаемый переходный процесс – монотонный выход на задание за минимальное время.В режиме 2 представлена отработка ступенчатого возмущающего воздействия f(t) = 10 при неизменном задании y*= 0.В режиме 3 САУ отрабатывали выход на задание y*=100. При этом с момента t = 25 мин. на вход объекта действует линейно нарастающее возмущение f(t) = 0,5(t-25).В режиме 4 представлена отработка альтернативными САУ гармонического возмущающего воздействия f(t) = 10sin(0,05t) при неизменном задании y*= 0.  Рис. 3. Графики переходных процессовFig. 3. Graphs of transients В табл. 2 приведено сравнение качества работы систем управления с ПИД-регулятором и регулятором состояния (РС).Таблица 2Сравнение качества работы систем управленияTable 2Comparison of the quality of control systemsРежим работыВремя переходного процесса, мин.Перерегулирование, %Статическая ошибка, ед.Максимальное отклонение выхода объекта от задания, ед.Амплитуда колебаний выхода, ед.ПИДРСПИДРСПИДРСПИДРСПИДРС115150000----26018--00218--3351000213----4--------18,53Заключение Результаты работы САУ с регулятором состояния и ПИД-регулятором в различных режимах, представленные на рис. 3 и в табл. 2 позволяют сделать следующие выводы:– в режиме отработки ступенчатого изменения уставки у*(t) при отсутствии возмущения f(t), в котором выполнялись настройки параметров регуляторов каждой из рассматриваемых САУ, инженерные показатели качества регулирования практически совпадают;– в режимах, требующих подавления различных вариантов не измеряемых возмущающих воздействий f(t), разработанная САУ с регулятором состояния обеспечивала гораздо более высокие показатели качества регулирования.