Введение. Технологические процессы в промышленности строительных материалов продолжают совершенствоваться [1, 2], формируют задачи для удовлетворения требований к энергоэффективности промышленного оборудования. В свою очередь, современные достижения строительного материаловедения требуют адаптации применяемого технологического оборудования к выпуску новых конкурентоспособных материалов, способствуют развитию гибких и универсальных технологических комбинаций для малотоннажных линий с различным технологическим оснащением [3]. Многообразие механических способов дезинтеграции сырьевых материалов позволяет получать дисперсные порошки с заданным гранулометрическим составом, определяет конструктивно-технологические принципы работы измельчителей и формирует подход к реализации энергоэффективности процесса измельчения в промышленности. Множество используемых принципов механического воздействия на измельчаемый материал одновременно могут быть использованы в конструктивном исполнении современного помольного оборудования [4].В настоящее время технологии получения дисперсных материалов активно развиваются. Значимые практические результаты в промышленном использовании получили дезинтеграторные (роторно-центробежные) мельницы. Их конструктивное исполнение может сочетать в себе различные технологические возможности: измельчение, смешение, классификацию и микрогрануляцию [5]. В малотоннажных производствах строительных материалов для тонкого и сверхтонкого помола среднепрочных горных пород (твердость по шкале Мооса не более 7 единиц) широко используются дезинтеграторы [6, 7]. Многообразие существующих конструкций дезинтеграторов имеет ряд конструктивных и технологических недостатков: неравномерность гранулометрического состава готового продукта, отсутствие возможности классификации частиц внутри помольной камеры мельницы, повышенный износ рабочих элементов роторов, сложность организации эффективной работы дезинтеграторов с различными сырьевыми материалами и др. [8–10].Следует отметить, что в различных зонах помольной камеры дезинтеграторной мельницы материал подвергается разрушению при неодинаковых условиях: величина энергии удара, необходимая для эффективного разрушения кусков (частиц) материала, возрастает при динамике двухфазного потока от центра помольной камеры к периферии. Под действием радиального движения двухфазного потока во встречных направлениях вращения роторов мельницы возникает сопротивление этому потоку со стороны концентрично расположенных на роторах ударных элементов. Во время этого процесса частицы материала диспергируются за счет различных механических воздействий: удара, истирания, сдвига, иного сложного напряженного состояния в сочетании с указанными выше [11].Организация эффективного процесса измельчения материалов внутри помольной камеры дезинтегратора позволяет получать конечный продукт с узким гранулометрическим составом. За счет специально подобранных режимов работы агрегата при измельчении различных материалов достигается рациональная эксплуатация дезинтегратора, повышается надежность его использования и увеличивается межремонтный период [12]. Для полноценной оценки эффективной работы помольной камеры дезинтегратора необходимо учесть всевозможные условия динамики частиц в воздушно-материальном потоке, а также определить его рациональные скоростные параметры. Потому что именно скоростной режим двухфазного потока будет определять качество конечного продукта, износ ударных элементов роторов мельницы, производительность и энергоэффективность агрегата.В работах ряда авторов [13, 14] устанавливается влияние конструктивных параметров мельниц на величину скоростного режима двухфазного потока. Существующие методы расчета скоростей частиц в потоке воздуха внутри мельницы показывают, что не являются универсальными в виду их конструктивных особенностей. Следовательно, для оригинальных конструкций мельниц дезинтеграторного типа целесообразно разрабатывать новые математические модели процесса динамики двухфазного потока, которые позволят более полно представить сущность процесса измельчения материалов и выявить принципы процессного управления. Целью научного исследования является математическое описание динамики двухфазного потока внутри помольной камеры дезинтегратора оригинальной конструкции [15], которое позволит определить рациональные режимы его работы для материалов с различными физико-механическими характеристиками.  Методы и оборудование. Математическое моделирование динамики двухфазного потока внутри помольной камеры производилось для дезинтегратора [15], показанного на рисунке 1а. Устройство и принцип действия дезинтегратора представлен на рисунке 1б.  Рис. 1. Дезинтегратор: а) – опытно-экспериментальный образец; б) – устройство: 1 – корпус; 2 – загрузочное устройство; 3 – наружный ротор; 4 – внутренний ротор; 5 – ударные элементы;  6 – тангенциальный разгрузочный патрубок для готового продукта; 7 – вентиляторные лопасти;  8 – дугообразный направляющий конус;9 – гравитационный сепаратор; 10 – соединительный трубопровод;  11 – вентиляторное колесо; 12 –камерагомогенизации дисперсных материалов; 13 – воронка загрузочная для добавок; 14 – разгрузочное устройство  Дезинтеграторная мельница [15] функционирует как сложный агрегат в следующей последовательности. Материал для помола через загрузочное устройство 2, смонтированное на корпусе 1 мельницы, подается в помольную камеру, которая, в свою очередь, состоит из наружного 3 и внутреннего 4 роторов. Посредством многократных высоконагруженных ударов от элементов 5, вращающихся в противоположные стороны, материал интенсивно измельчается. В верхней части помольной камеры материал подвергается центробежному диспергированию и перемещается затем в нижнюю ее часть. После этого в нижней части помольной камеры -  на пути от периферии к центру - под действием разряжения, которое создают вентиляторные лопасти 7, материал диспергируется и попадает в пространство между корпусом и помольной камерой. После чего воздушно-материальный поток через дугообразный направляющий конус 8 поступает в гравитационный сепаратор 9. В сепараторе под действием силы тяжести материал разделяется на крупку, которая возвращается на доизмельчение в помольную камеру, и готовый продукт, выводящийся из агрегата с помощью тангенциального разгрузочного патрубка 6 в осадительную камеру или рукавный фильтр (на рисунке 1 не показаны). Наряду с вышеуказанной схемой работы агрегата существует технологическая возможность вывода готового продукта через тангенциальный разгрузочный патрубок 6, соединенный с трубопроводом 10, посредством разряжения. Этот перепад давлений создается вентиляторным колесом 11, соединенным с  камерой гомогенизации дисперсных материалов 12. В камеру гомогенизации 12, где, например, происходит смешение активированного вяжущего с наполнителем, через загрузочную воронку 13 подаются дополнительные компоненты – необходимые добавки. Затем готовый гомогенный продукт в виде дисперсной смеси разгружается через устройство 14.С помощью математического метода крупных частиц [16] для дезинтегратора [15] оригинальной конструкции моделировались скоростные параметры движения несущей фазы и твердых (измельчаемых) частиц. Данный численный метод разработки математических моделей аэродинамики основан на последовательном использовании эйлерового и лагранжевого подходов и максимально адаптирован к получению достоверной информации. Исследование с помощью математического моделирования движения двухфазного потока в помольной камере мельницы характеризуется представлениями о полях скоростей частицы и несущей фазы – воздуха. Воздушно-материальная смесь, подвергаемая измельчению, представляет собой неразрывный континуум частиц, определенным образом распределенный в объеме воздуха. Определение каждой составляющей движения двухфазного потока в дезинтеграторе позволяет оценить максимально возможную производительность агрегата при его минимальной потребляемой мощности.Основная часть. С учетом вышеизложенного представим плоскую модель движения двухфазного потока в помольной камере дезинтегратора [15]. При разработке модели сделаем допущение, что радиальная и тангенциальная скорости движения несущей фазы  (воздуха) и твердой фазы (частиц измельчаемого материала) определяются лишь расстоянием от оси вращения роторов мельницы. Это допущение связано с тем, что в поле центробежных сил помольной камеры энергия разрушения частиц на определенных конструкцией мельницы радиусах установки ударных элементов различна. Величина энергии, необходимая для разрушения материала, увеличивается от оси к периферии камеры в виду уменьшения его средневзвешенного размера частиц (кусков). Для удобства математического описания процесса движения двухфазного потока внутри помольной камеры введем полярную систему координат (ρ, φ). Полярная система координат имеет центр на оси вращения роторов дезинтегратора. Тогда начало математического описания будет представлять собой систему дифференциальных уравнений, которая описывает скоростные характеристики двухфазного потока. Для нашей математической модели процесса динамики двухфазного потока система уравнений примет вид:VrdVrdr1-Vφ2r1=1τUr-Vr,VrdVφdr1-Vρ∙Vφr1=1τUφ-Vφ.             (1)Для этой системы Ur , Vr  – радиальные составляющие скоростей, соответственно, несущей фазы (воздуха) и твердой фазы (частиц измельчаемого материала), м/с; Uφ , Vφ  – тангенциальные  составляющие скоростей, соответственно, несущей фазы (воздуха) и твердой фазы (частиц измельчаемого материала), м/с; r (ri) – относительный радиальный размер, отсчитываемый от оси вращения роторов и характеризующий положение частицы измельчаемого материала на роторе, м; τ – время релаксации частицы, с, определяется на основании [17] по формуле:τ=2ρr∙rr29μ ,                              (2)здесь ρr  – плотность измельчаемого материала, кг/м3; rr  – радиус частицы (куска) измельчаемого материала, м; µ – коэффициент динамической вязкости запыленного воздуха внутри помольной камеры дезинтегратора, определяемы в соответствии с методикой [18], Па·с.Отметим здесь, что скоростные параметры воздушного и материального потоков являются постоянными величинами. Для нашей математической модели сумма радиальных и тангенциальных скоростей частиц измельчаемого материала, движущегося в воздушном потоке, будет определять значение абсолютной скорости динамики частиц измельчаемого материала внутри этого потока.Воздух в потоке с частицами обтекает цилиндрические поверхности ударных элементов и сходит с них, значит, выражение для определения радиальной составляющей скорости схода несущей фазы в первом выражении системы (1) из выражения [19] будет иметь вид: Ur=Ωi∙Ri2-dу24Ri2 ,                   (3)где Ωi  – угловая характеристика скорости ударного элемента роторов дезинтегратора для каждого i-ого ряда, рад/с (c-1); Ri  – текущий радиус помольной камеры, м; dу  – диаметр ударного элемента круглой формы, м. Соотношение dуRi  определим как величину первого порядка малости. Примем, что согласно результатам исследований [20, 21] величина радиальной составляющей скорости схода несущей фазы с частицами с рабочей поверхности круглого ударного элемента определяется из выражения: Vr=Ωi∙Ri∙cos⁡(ξ)1+sin⁡(ξ) ,                          (4)где ξ  – угол трения, с помощью этого угла учитывается характер скольжения частицы измельчаемого материала по поверхности круглого ударного элемента, град.Для удобства последующей математической записи модели представим выражение (4) в виде:Vr=Ωi∙Ri∙X ,                          (5)здесь X – коэффициент, устанавливающий взаимосвязь процесса трения частицы измельчаемого материала с поверхностью круглого ударного элемента. Его числовое значение можно определить так:X=cos⁡(ξ)1+sin⁡(ξ) .                            (6)Выражая значение тангенциальной скорости частицы из первого уравнения системы (1), определяем:Vφ2=(Vr2∙τ-2Ri(Ur-Vr))2τ∙ln(Ri) .                    (7)Раскрывая далее систему (1), в аналитическое выражение (7) подставляем (5) и (6):Vφ2=Ωi2∙Ri2∙τ∙cos2(ξ)(1+sin⁡(ξ))2-2RiΩi∙Ri2-dу24Ri2-Ωi∙Ricos⁡(ξ)(1+sin⁡(ξ))22τ∙ln(Ri) . (8)Полученное выражение (8) после алгебраического преобразования примет вид: Vφ2=Ri2Ωi(Ωi∙τ∙cosξ+2+2sin⁡(ξ)∙cosξ-2-dу24Ri2∙(1+sin⁡(ξ))2τ∙ln(Ri)∙(1+sin⁡(ξ))2 .                                  (9) На основании выражения (9) величина тангенциальной составляющей скорости частицы измельчаемого материала  при сходе с поверхности круглого ударного элемента роторов агрегата будет определяться из окончательного выражения так: Vφ=RiΩi2τ∙ln(Ri)∙cosξ1+sin⁡(ξ) cosξ1+sin⁡(ξ)∙τ∙Ωi+2-22-dу24Ri2 .                        (10) Тогда из второго уравнения системы (1) с учетом (6) определяем, что тангенциальная скорость воздушного потока в момент схода с рабочего элемента будет представлять собой следующую зависимость: Uφ=RiΩ12τ∙ln(Ri)XX∙τ∙Ω1+2-22-dу24Ri2∙Ω1∙τ∙X∙1-lnRi+1 .             (11) Окончательно после математических преобразований с учетом подстановок (6) в уравнение (11) получим: Uφ=RiΩ12τ∙ln(Ri)cos⁡(ξ)1+sin⁡(ξ)cos⁡(ξ)1+sin⁡(ξ)∙τ∙Ω1+2-22-dу24Ri2 ∙Ω1∙τ∙cosξ1+sinξ1-ln(Ri+1) . (12) Установленные в ходе математического описания значения скоростных параметров двухфазного потока внутри помольной камеры дезинтегратора позволяют рассчитать рациональные режимы работы агрегата для различных материалов. Выражение (12) устанавливает зависимость тангенциальной скорости несущей фазы от технологических и конструктивных параметров дезинтегратора. Результаты численного расчета по полученной математической модели представлены на рисунке 2.  Рис. 2. Распределение скоростей двухфазного потока в зависимости от текущего радиуса помольной камеры:1 – радиальная составляющая скорости несущей фазы (воздуха) в динамическом двухфазном потоке;2 – радиальная составляющая скорости частицы измельчаемого материала в динамическом двухфазном потоке; 3 – тангенциальная составляющая скорости несущей фазы (воздуха) в динамическом двухфазном потоке;4 – тангенциальная составляющая скорости частицы измельчаемого материала в динамическом двухфазном потоке  Из графика видно, что максимальные значения скоростей для тангенциальной составляющей находятся в пределе по Ri  между 0,1-0,15 м и составляет для воздушной среды 131 м/с, а для средневзвешенной частицы с dср =  40 мкм – 127,5 м/с. Здесь нужно отметить, что в диапазоне Ri = 0,15 – 0,3 м прирост радиальной составляющей скоростей воздушной несущей среды и средневзвешенного потока частиц составляет около 14,5 % (радиальная скорость несущей среды (воздуха) при Ri = 0,15 м составляет Ur = 136,3 м/с, при Ri = 0,3 м - Ur = 148,1 м/с; радиальная скорость   средневзвешенных частиц при   Ri = 0,15 м    Vr = 129,2 м/с,  при Ri = 0,3 м Vr = 140,1 м/с). Значит, кинетическая энергия измельчаемых частиц пропорционально квадрату радиальной скорости увеличивается и, тем самым, обеспечивается повышение интенсивности процесса измельчения.Для тангенциальной составляющей скоростей двухфазного потока наблюдается следующая картина.    Из графика видно, что после прохождения порогового значения Ri = 0,15 м тангенциальная   скорость и несущей фазы, и движущихся   частиц начинает снижаться. При Ri = 0,3 м это снижение происходит до значений  Uφ  = 114,3 м/с и Vφ  = 109,2 м/с, соответственно. Данный графический характер изменений в тангенциальной составляющей скоростей несущей фазы и частиц связан, прежде всего, с ростом радиальной скорости двухфазного потока и увеличением вентиляционного эффекта работы дезинтегратора, что объясняется исследованиями в работах [22–25]. В этих работах было установлено, что на радиальную скорость двухфазного потока в меньшей степени влияет аэродинамическое сопротивление помольной камеры, так как оно практически полностью компенсируется подпором измельчаемого материала. Также здесь необходимо учесть, что при увеличении Ri растет величина угловой скорости Ωi  ударных элементов, что тоже, в свою очередь, снижает тангенциальную скорость двухфазного потока и увеличивает радиальную составляющую.Не смотря на то, что значения всех составляющих скоростей двухфазного потока находятся в прямой зависимости от угловой скорости Ωi  ударных элементов, по анализу выражений (10) и (12) видно, что закон зависимости этих параметров друг от друга на некоторых участках графика функций принимает квадратичный характер, что соответствующим образом отражается на характере кривых, показанных на рисунке 2.Из исследований [26–30] можно заметить, что с увеличением пылевидных частиц в увеличивающемся объеме помольной камеры (на ее периферии концентрация тонкого продукта в объеме воздуха увеличивается) также происходит снижение величины тангенциальной составляющей скорости динамического двухфазного потока по отношению к максимальным параметрам при Ri = 0,15 м в среднем на 15,5 % (тангенциальная скорость воздушной несущей среды при Ri = 0,15 м составляет Uφ = 132,3 м/с, при Ri = 0,3 м - Uφ = 114,3  м/с; тангенциальная скорость средневзвешенных частиц при Ri = 0,15 м Vφ = 127,4 м/с, при Ri = 0,3 м   Vφ = 109,2 м/с).При фиксированных значениях угловых скоростей Ωi  ударных элементов, расположенных на концентрических рядах роторов дезинтегратора, произведена оценка влияния Ri  на характер движения двухфазного потока. В процессе моделирования принималось, что роторы дезинтегратора вращаются с постоянной частотой вращения n1,2 = 10000 об/мин. В результате такого анализа данных в ходе исследований подтвердилось, что скоростные параметры двухфазного потока в центробежном поле помольной камеры при фиксированных параметрах вращения роторов, главным образом, зависят от радиального размера помольной камеры. Именно при различном значении Ri после Ri = 0,15 м продолжается рост радиальных скоростей несущего потока и частиц, а также начинается снижение тангенциальной скорости и несущей фазы, и частиц измельчаемого материала.Выводы. Сформулировано и представлено математическое описание для динамики двухфазного потока внутри помольной камеры дезинтегратора, которое позволяет определять скоростные характеристики режимов его работы для материалов с различными физико-механическими свойствами.  Установлено, что при различном значении текущего радиуса помольной камеры Ri после экстремума при Ri = 0,15 м для тангенциальных составляющих двухфазного потока продолжается рост радиальных составляющих скоростей несущего потока и частиц измельчаемого материала. Подтверждено, что с ростом концентрации пылевидных частиц в увеличивающемся объеме помольной камеры (на ее периферии концентрация тонкого продукта в объеме воздуха увеличивается) происходит снижение значения тангенциальной составляющей скорости динамического двухфазного потока по отношению к максимальным параметрам при Ri = 0,15 м в среднем на 15,5 %. Определено, что максимальные значения скоростей для тангенциальной составляющей находятся в пределе по Ri  между 0,1-0,15 м и составляет для воздушной среды 131 м/с, а для средневзвешенной частицы с dср =  40 мкм – 127,5 м/с.С помощью математического описания установлено, что в диапазоне от Ri = 0,15 м до Ri = 0,3 м прирост радиальных составляющих скоростей воздушной несущей среды и средневзвешенного потока частиц составляет около 14,5 %, что свидетельствует о росте кинетической энергии измельчаемых частиц при движении динамического двухфазного потока от центра к периферии помольной камеры дезинтегратора.