кандидат технических наук;
candidate of technical sciences;
В данной статье приводятся результаты исследования геометрических свойств конхоиды Никомеда и косой конхоиды. Косая конхоида в данной работе моделируется новым способом, а именно квазисимметрией относительно эллиптической оси. Используемый способ является преобразованием четвёртого порядка плоскости относительно кривой второго порядка. То есть, прямая при квазисимметрии отображается в кривую четвёртого порядка. Образ прямой в данном случае состоит из двух ветвей, которые стремятся к двум асимптотам. Квазисимметрия позволяет получать косую конхоиду, как частный случай при определённых условиях, а в общем случае – множество других конхоидальных кривых. Применение данного способа позволило обнаружить новые геометрические свойства конхоидальных кривых, в частности найти неописанное ранее конструктивное соответствие между точками, принадлежащими разным ветвям косой конхоиды. В работе сформулированы и доказаны три утверждения, а именно: 1) Образ прямой при её квазисимметрии относительно окружности есть конхоида Никомеда, 2) образ окружности при её квазисимметрии относительно окружности есть кривая шестого порядка, 3) образ прямой параллельной большой полуоси эллипса при её квазисимметрии относительно данного эллипса есть две симметричных относительно малой полуоси эллипса косых конхоиды. Также, выведены уравнения рассматриваемых кривых и их асимптот в общем случае. Результаты выполненных в данной работе исследований расширяют возможности применения конхоидальных кривых при решении задач инженерной геометрии. Например, при моделировании различных физических явлений и процессов, а также при инженерном и архитектурном проектировании.
. This article presents the results of a study of the geometric properties of the Nicomed conchoid and the oblique conchoid. In this paper, the oblique conchoid is modeled in a new way, namely by quasi-symmetry with respect to the elliptic axis. The method used is a fourth-order transformation of the plane relative to the second-order curve. That is, a straight line with quasi-symmetry is mapped into a fourth-order curve. The image of a straight line in this case consists of two branches that tend to two asymptotes. Quasi–symmetry makes it possible to obtain an oblique conchoid, as a special case under certain conditions, and in the general case, many other conchoidal curves. The use of this method made it possible to discover new geometric properties of conchoidal curves, in particular, to find a previously undescribed constructive correspondence between points belonging to different branches of the oblique conchoid. The paper formulates and proves three statements, namely: 1) The image of a straight line with its quasi-symmetry with respect to a circle is a Nicomedes conchoid, 2) the image of a circle with its quasi-symmetry with respect to a circle is a curve of the sixth order, 3) the image of a straight parallel major semiaxis of an ellipse with its quasi-symmetry with respect to a given ellipse is two symmetrical oblique conchoids with respect to the minor semiaxis of an ellipse. Also, the equations of the curves under consideration and their asymptotes in the general case are derived. The results of the research carried out in this paper expand the possibilities of using conchoidal curves in solving problems of engineering geometry. For example, when modeling various physical phenomena and processes, as well as in engineering and architectural design.