Solnechno-Zemnaya Fizika Solnechno-Zemnaya Fizika Солнечно-земная физика 2712-9640 58059 10.12737/szf-94202311 Результаты исследований Results of current research Результаты исследований HF radio channel modeling by a waveguide approach Моделирование КВ-радиоканала на основе волноводного подхода https://orcid.org/0000-0001-5120-1150 Куркин Владимир Иванович Kurkin Vladimir Ivanovich kurkin@iszf.irk.ru

доктор физико-математических наук;

doctor of physical and mathematical sciences;

 Ильин Николай Викторович Ilyin Nikolay Viktorovich ilyin@iszf.irk.ru

кандидат физико-математических наук;

candidate of physical and mathematical sciences;

 Пензин Максим Сергеевич Penzin Maksim Sergeevich penzin.maksim@gmail.com https://orcid.org/0000-0002-1371-6855 Пономарчук Сергей Николаевич Ponomarchuk Sergey Nikolaevich spon@iszf.irk.ru

кандидат физико-математических наук;

candidate of physical and mathematical sciences;

 Хахинов Виталий Викторович Khakhinov Vitaliy Viktorovich khakhin@iszf.irk.ru

кандидат физико-математических наук;

candidate of physical and mathematical sciences;

 Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation 20 12 2023 20 12 2023 9 4 91 103 30 03 2023 15 09 2023 https://naukaru.ru/en/nauka/article/58059/view

Изложен модифицированный метод моделирования КВ-радиоканала на основе волноводного подхода, в рамках которого электромагнитное поле излучения внутри волновода Земля—ионосфера представляется в виде ряда по собственным функциям радиальной краевой задачи с импедансными условиями на земной поверхности и условиями излучения на бесконечности. Приведено представление передаточной функции радиоканала в виде ряда произведений функций Грина углового оператора, коэффициентов возбуждения, коэффициентов приема отдельных нормальных волн. Получено решение краевой задачи определения собственных функций и собственных значений радиального оператора, применимое для частотного диапазона ниже критической частоты F-слоя ионосферы. Рассмотрены алгоритмы расчета дистанционно-частотных, частотно-угловых и амплитудных характеристик сигналов на основе анализа и численного суммирования ряда с учетом сильно затухающих нормальных волн.

We present a modified method of HF radio channel modeling based on a waveguide approach. The waveguide approach represents the electromagnetic field of radiation inside the Earth—ionosphere waveguide as an eigenfunction series of a radial boundary problem with impedance conditions on the Earth surface and radiation conditions at infinity. The transfer function of the radio channel is represented as a series of products of angular-operator Green functions, excitation coefficients, and coefficients for receiving individual normal modes. We have obtained a solution of the boundary value problem of determining the eigenfunctions and eigenvalues of the radial operator. The solution can be applied to the frequency range below the ionospheric F-layer critical frequency. We examine algorithms for calculating distance-frequency, frequency-angular, and amplitude characteristics of signals by analyzing and numerically summarizing the series in terms of strongly damped normal modes.

 распространение радиоволн радиоканал волноводный подход моделирование зондирование ионосферы radio wave propagation radio channel waveguide approach simulation ionosphere sounding Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки (субсидия № 075-ГЗ/Ц3569/278) The work was financially supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Subsidy No. 075-GZ/Ts3569/278)

Авдеев В.Б., Демин А.В., Кравцов Ю.А. и др. Метод интерференционных интегралов (Обзор). Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 11. С. 1279-1294. Ahluwalia D.S., Keller J.B. Exact and asymptotic representations of the sound field in a stratified ocean. Wave Propagation and Underwater Acoustics. Springer, Berlin, Heidelberg. 1977, pp. 14-85. DOI: 10.1007/3-540-08527-0_2. Айзенберг Г.З., Белоусов С.П., Журбенко Э.М. Коротковолновые антенны. М.: Радио и связь, 1985. 536 с. Aizenberg G.Z., Belousov S.P., Zhurbenko E.M. Short-wave antennas. Moscow, Radio and communication Publ., 1985, 536 p. (In Russian). Алтынцева В.И., Ильин Н.В., Куркин В.И. и др. Моделирование декаметрового радиоканала на основе метода нормальных волн. Техника средств связи. Серия СС. 1987. Вып. 5. С. 28-34. Altyntseva V.I., Ilyin N.V., Kurkin V.I. Simulation of a decameter radio channel based on the method of normal waves. Technique of communication facilities. SS ser. Moscow: Ekos Publ., 1987, iss. 5, pp. 28-34. (In Russian). Алувэлья Д.С., Келлер Д.Б. Точные и асимптотические представления звукового поля в стратифицированном океане. Распространение волн и подводная акустика. М: Мир, 1980. С. 20-75. Anderson S. Cognitive HF radar. J. Eng. 2019, vol. 2019, iss. 20, pp. 6772-6776. DOI: 10.1049/joe.2019.0537. Барабашов Б.Г., Вертоградов Г.Г. Динамическая адаптивная структурно-физическая модель ионосферного радиоканала. Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 2. С. 3-18. Avdeev V.B., Demin A.V., Kravtsov Yu.A., Tinin M.V., Yarygin A.P. The interferential integral method (review) Radiophys Quantum Electron. 1988, vol. 31, pp.907-921. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 683 с. Ayliffe J.K., Durbridge L.J., Frazer J.F., Gardiner-Garden R.S., Heitmann A.J., Praschifka J., et al. The DST Group High-Fidelity, Multichannel Oblique Incidence Ionosonde. Radio Sci. 2019, vol. 54, no. 1, pp. 104-114. DOI: 10.1029/2018RS006681. Гуревич А.В., Цедилина Е.Е. Сверхдальнее распространение коротких радиоволн. М.: Наука, 1979. 246 с. Barabashov B.G., Vertogradov G.G. Dinamic adaptive physically-structural model of ionospheric sky-wave channel. Mathematical Modeling. 1996, vol. 8, no. 2, pp. 3-18. https://www.mathnet.ru/php/agreement.phtml?option_lang=rus. (In Russian). Иванов В.А., Куркин В.И., Носов В.Е. и др. ЛЧМ-ионозонд и его применение в ионосферных исследованиях. Изв. вузов. Радиофизика. 2003. Т. 46, № 11. С. 919-952. Baranov V.A., Popov A.V. Generalization of the parabolic equation for EM waves in a dielectric layer of nonuniform thickness. Wave Motion. 1993, vol. 17, no. 4, pp. 337-347. DOI: 10.1016/0165-2125(93)90013-6. Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численная реализация метода канонического оператора Маслова в задачах распространения коротких радиоволн в ионосфере Земли. Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33, № 5. С. 562-573. Baranov V.A., Karpenko A.L., Popov A.V. Evolution of Gaussian beams in the nonuniform Earth-ionosphere waveguide. Radio Sci. 1992, vol. 27, no. 2, pp. 307-314. DOI: 10.1029/91RS02639. Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С. и др. Методы моделирования распространения электроманитных волн в ионосфере с учетом распределений электронной концентрации и магнитного поля земли. Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59, № 12. С. 1180-1187. DOI: 10.7868/ S0033849414120079. Bilitza D., Altadill D., Truhlik V., Shubin V., Galkin I., Reinisch B., Huang X. International Reference Ionosphere 2016: From ionospheric climate to real-time weather predictions. Space Weather. 2017, vol. 15, no.2, pp. 418-429. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1981. Т. I. 280 с. Bremmer H. Terrestrial Radio Waves. Theory of Propagation, Amsterdam, 1949, 343 p. Казанцев А.Н., Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Метод исследования распространения радиоволн в неоднородной магнитоактивной ионосфере. Космические исследования. 1967. Т. 5. Вып. 4. С.593-600. Cherkashin Yu.N. Application of parabolic equation method for calculation wavefields in inhomogeneous media Radio Engineering and Electronic Physics. 1971, vol. 16, no. 1, pp. 173-174. (In Russian). Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. 304 с. Chernov Yu.A. Backscatter sounding ionosphere. Moscow, Svyaz Publ.,1971, 204 p. (In Russian). Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к проблеме дальних радиосвязей. М.: Изд-во МГУ, 1947. 52 c. Davydenko M.A., Ilyin N.V., Khakhinov V.V. On the shape of measured spectra of the ionosphere sounding by an FMCW signal under dispersion case. J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 2002, Vol. 64, no. 17, pp. 1897-1902. DOI: 10.1016/S1364-6826(02)00196-7. Краснушкин П.Е., Яблочкин Н.А. Теория распространения сверхдлинных волн. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1963. 94 c. Fedoryuk M.V. Asymptotic methods for linear ordinary differential equations. Moscow, Nauka Publ., 1983, 352 p. (In Russian). Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. Волновые катастрофы - фокусировки в дифракции и распространении электромагнитных волн. Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51, № 10. С. 1155-1192. Fock V. A. Problems of diffraction and propagation of electromagnetic waves. Moscow, Sov. Radio Publ. 1970, 520 p. (In Russian). Куркин В.И., Хахинов В.В. О возбуждении сферического волновода Земля-ионосфера произвольным распределением тока. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1984. Вып. 69. С. 16-22. Ginzburg V.L. Propagation of Electromagnetic Waves in Plasmas. New York: Pergamon Press. 1964. Куркин В.И., Орлов И.И., Попов В.Н. Метод нормальных волн в проблеме коротковолновой радиосвязи. М.: Наука, 1981. 124 с. Gurevich A.V., Tsedilina E.E. Long distance propagation of HF radio waves. Berlin: Springer-Verlag, 1985. Куркин В.И., Орлов А.И., Орлов И.И. и др. Исследование огибающих импульсного КВ-сигнала в окрестности каустики на основе метода нормальных волн. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1982. Вып. 60. С. 198-205. Heading D. Introduction to the method of phase integrals (WKB method). Moscow, Mir Publ., 1965, 240 p. (In Russian). Куркин В.И., Орлов А.И., Орлов И.И. Схема расчета характеристик импульсного декаметрового радиосигнала на основе численного суммирования нормальных волн. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1986. Вып. 75. С. 159-164. Ipatov E.B., Lukin D.S., Palkin E.A. Numerical realization of the Maslov canonical operator method for problems of shortwave radio propagation in the ionosphere of the earth. Radiophysics and Quantum Electronics. 1990, vol. 33, no. 5, pp. 411-420. DOI: 10.1007/BF01045406. Леонтович М.А., Фок В.А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения. ЖЭТФ. 1946. Т. 16, № 7. С. 557-573. Ipatov E.B., Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Palkin E.A., Rastyagaev D.V. Methods of simulation of electromagnetic wave propagation in the ionosphere with allowance for the distributions of the electron concentration and the Earth’s magnetic field. J. Commun. Technol. Electron. 2014, vol. 59, no. 12, pp. 1341-1348. DOI: 10.1134/S1064226914120079. Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Применение метода характеристик для численного решения задач распространения радиоволн в неоднородной и нелинейной среде. Радиотехника и электроника. 1969. Т. 14, № 9. С. 1673-1677. Ishimaru A. Wave propagation and scattering in random media. Academic press, New York, 1978, 250 p. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля - ионосфера и в ионосфере. М.: Наука, 1993. 148 с. Ivanov D.V., Ivanov V.A., Ovchinnikov V.V., Elsukov A.A., Ryabova M.I. Adaptive wideband equalization for frequency dispersion correction in HF band considering variations in interference characteristics and ionosphere parameters. ITM Web Conf. 2019a, vol. 30, no. 15021, pp. 1-6. DOI: 10.1051/itmconf/20193015021. Подлесный А.В., Брынько И.Г., Куркин В.И. и др. Многофункциональный ЛЧМ-ионозонд для мониторинга ионосферы. Гелиогеофизические исследования. 2013. Вып. 4. С. 24-31. Ivanov V.A., Ivanov D.V., Ryabova N.V., Ryabova M.I., Chernov A.A., Ovchinnikov V.V. Studying the parameters of frequency dispersion for radio links of different length using software-defined radio based sounding system. Radio Sci. 2019b, vol. 54, no. 1, pp. 34-43. DOI: 10.1029/2018RS006636. Подлесный А.В., Лебедев В.П., Ильин Н.В., Хахинов В.В. Реализация метода восстановления передаточной функции ионосферного радиоканала по результатам зондирования ионосферы непрерывным ЛЧМ-сигналом. Электромагнитные волны и электронные системы. 2014. Т. 19, № 1. P. 63-70. Ivanov V.A., Kurkin V.I., Nosov V.E., Uryadov V.P., Shumaev V.V. Chirp ionosonde and its application in the ionospheric research. Radiophysics and Quantum Electronics. 2003, vol. 46, iss. 11, pp. 821-851. Пономарчук С.Н. Модель электрических свойств земной поверхности в КВ-диапазоне. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1984. Вып. 69. С. 42-47. Kamel A., Felsen L. B. On the ray equivalent of a group of modes. The Journal of the Acoustical Society of America. 1982, vol. 71, no. 6, pp. 1445-1452. DOI: 10.1121/1.387841. Пономарчук С.Н., Ильин Н.В., Пензин М.С. Модель распространения радиоволн в диапазоне частот 1-10 МГц на основе метода нормальных волн. Солнечно-земная физика. 2014. Вып. 25. С. 33-39. Kazantsev A.N., Lukin D.S., Spiridonov Yu.G. A method for studying the propagation of radio waves in an inhomogeneous magnetoactive ionosphere. Space Res. 1967, vol. 5, no. 4, pp. 593-600. (In Russian). Пономарчук С.Н., Грозов В.П., Ильин Н.В. и др. Возвратно-наклонное зондирование ионосферы непрерывным сигналом с линейной частотной модуляцией. Изв. вузов. Радиофизика. 2021. Т. 64, № 8-9. С. 665-671. DOI: 10.52452/ 00213462_2021_64_08_655. Khakhinov V.V. Receiving antenna electrodynamic model in terms of waveguide representation of HF field. Solar-Terr. Phys. 2018, vol. 4, iss. 3, pp. 92-95. DOI: 10.12737/stp-43201812. Попов В.Н., Потехин А.П. О распространении декаметровых радилволн в азимутально-симметричном волноводе Земля-ионосфера. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1984. Вып. 69. С. 9-15. Khakhinov V.V., Kurkin V.I. Waveguide approach to modeling of the ionosphere radiochannel. Proc. of the 11-th Inter. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET-2006, IEEE: 06EX1428. Kharkiv, Ukraine. 2006, pp. 284-286. DOI: 10.1109/MMET.2006.1689693. Потехин А.П., Орлов И.И. Приближенная формула суммирования ряда нормальных волн. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1981. Вып. 57. С. 135-137. Krasnushkin P.E. The method of normal waves as applied to the problem of long-distance radio communications. Moscow: Publishing House of Moscow State University. 1947, 52 p. (In Russian). Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с. Krasnushkin P.E., Yablochkin N.A. Theory of propagation of superlong waves. Moscow, Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR Publ., 1963, 94 p. (In Russian). Фок В.А. Проблемы диффракции и распространения электромагнитных волн. Советское радио, 1970. 520 с. Kravtsov Yu.A., Orlov Yu.I. Geometrical Optics of Inhomogeneous Media. Springer, Berlin. 1990. Хахинов В.В. Электродинамическая модель приемной антенны в рамках волноводного представления КВ-поля. Солнечно-земная физика. 2018. Т. 4, № 3. С. 114-118. DOI: 10.12737/szf-43201812. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Palkin E.A., Rastyagaev D.V Wave catastrophes: Types of focusing in diffraction and propagation of electromagnetic waves. J. Commun. Technol. Electron. 2006, vol. 51, no. 10, pp. 1087-1125. DOI: 10.1134/S1064226906100019. Хединг Д. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М: Мир,1965. 240 с. Kurkin V.I., Khahinov V.V. On the excitation of a spherical waveguide Earth-ionosphere by an arbitrary current distribution. Research on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics. Moscow, Nauka Publ., 1984, iss. 69, pp. 16-22. (In Russian). Черкашин Ю.Н. Применение метода параболического уравнения для расчета волновых полей в неоднородных средах. Радиотехника и электроника. 1971. Т. 16, № 1. С. 173-174. Kurkin V.I., Orlov I.I., Popov V.N. Normal Wave Technique in HF Radio Communication Problem. Moscow, Nauka Publ., 1981. (In Russian). Чернов Ю.А. Возвратно-наклонное зондирование ионосферы. М: Связь, 1971. 204 с. Kurkin V.I., Orlov A.I., Orlov I.I, Popov V.N., Potekhin A.P. Investigation of the envelopes of a pulsed HF signal in the vicinity of a caustic based on the method of normal waves. Research on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics. Moscow: Nauka Publ., 1982, iss. 60, pp. 198-205. (In Russian). Anderson S. Cognitive HF radar. J. Eng. 2019. Vol. 2019, iss. 20. P. 6772-6776. DOI: 10.1049/joe.2019.0537. Kurkin V.I., Orlov A.I., Orlov I.I. Scheme for calculating the characteristics of a pulsed decameter radio signal based on the numerical summation of normal waves. Research on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics. M.: Nauka Publ., 1986, iss. 75, pp. 159-164. (In Russian). Ayliffe J.K., Durbridge L.J., Frazer J.F., et al. The DST Group High-Fidelity, Multichannel Oblique Incidence Ionosonde. Radio Sci. 2019. Vol. 54, no. 1. P. 104-114. DOI: 10.1029/ 2018RS006681. Leontovich M.A., Fok V.A. Solving the problem of propagation of electromagnetic waves along the surface of the Earth using the parabolic equation method. J. Experimental and Theoretical Physics. 1946, vol. 16, no. 7, pp. 557-573. (In Russian). Baranov V.A., Popov A.V. Generalization of the parabolic equation for EM waves in a dielectric layer of nonuniform thickness. Wave Motion. 1993. Vol. 17, no. 4. P. 337-347. DOI: 10.1016/0165-2125(93)90013-6. Lukin D.S., Spiridonov Yu.G. Application of the method of characteristics for the numerical solution of problems of radio wave propagation in an inhomogeneous and nonlinear medium. J. Communications Technology and Electronics. 1969, vol. 14, no. 9, pp. 1673-1677. (In Russian). Baranov V.A., Karpenko A.L., Popov A.V. Evolution of Gaussian beams in the nonuniform Earth-ionosphere waveguide. Radio Sci. 1992. Vol. 27, no. 2. P. 307-314. DOI: 10.1029/ 91RS02639. Makarov G.I., Novikov V.V., Rybachek S.T. Propagation of Radio Waves in the Earth-Ionosphere Waveguide Channel and in the Ionosphere. Moscow, Nauka Publ., 1993, 148 p. (In Russian). Bilitza D., Altadill D., Truhlik V., et al. International Reference Ionosphere 2016: From ionospheric climate to real-time weather predictions. Space Weather. 2017. Vol. 15, no.2. P. 418-429. DOI: 10.1002/2016SW001593. Podlesnyi A.V., Brynko I.G., Kurkin V.I., et al. Multifunctional chirp ionosonde for monitoring the ionosphere. Heliogeophys. Res. 2013, no. 4, pp. 24-31. (In Russian). Bremmer H. Terrestrial Radio Waves. Theory of Propagation. Amsterdam, 1949. 343 p. Podlesnyi A.V., Lebedev V.P., Ilyin N.V., Khahinov V.V. Implementation of the method for restoring the transfer function of the ionospheric radio channel based on the results of sounding the ionosphere with a continuous chirp signal. Electromagnetic waves and electronic systems. 2014, vol. 19, no. 1, pp. 63-70. (In Russian). Davydenko M.A., Ilyin N.V., Khakhinov V.V. On the shape of measured spectra of the ionosphere sounding by an FMCW signal under dispersion case. J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 2002. Vol. 64, no. 17. Р. 1897-1902. DOI: 10.1016/ S1364-6826(02)00196-7. Ponomarchuk S.N. Model of the electrical properties of the earth's surface in the HF range. Research on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics. Moscow, Nauka Publ., 1984, iss. 69, pp. 42-47. (In Russian). Ivanov D.V., Ivanov V.A., Ovchinnikov V.V., et al. Adaptive wideband equalization for frequency dispersion correction in HF band considering variations in interference characteristics and ionosphere parameters. ITM Web Conf. 2019a. Vol. 30, article number 15021. P. 1-6. DOI: 10.1051/itmconf/20193015021. Ponomarchuk S.N., Ilyin N.V., Penzin M.S. The model of radio wave propagation in frequency range 1-10 MHz on the base of normal wave technique. Solar-Terr. Phys. 2014, iss. 25, pp. 33-39. (In Russian). Ivanov, V.A., Ivanov D.V., Ryabova N.V., et al. Studying the Parameters of Frequency Dispersion for Radio Links of Different Length Using Software-Defined Radio Based Sounding System. Radio Sci. 2019b. Vol. 54, no. 1. P. 34-43. DOI: 10.1029/2018RS006636. Ponomarchuk S.N., Grozov V.P., Ilyin N.V., Kurkin V.I., Oinats A.V., Penzin M.S., et al. Backscatter Ionospheric Sounding by a Continuous Chirp Signal. Radiophysics and Quantum Electronics. 2022, vol. 64, iss. 8-9, pp. 591-604. DOI: 10.1007/s11141-022-10162-7. Kamel A., Felsen L.B. On the ray equivalent of a group of modes. The Journal of the Acoustical Society of America. 1982. Vol. 71, no. 6. С. 1445-1452. DOI: 10.1121/1.387841. Popov V.N., Potekhin A.P. On the propagation of decameter radio waves in the azimuth-symmetric “Earth-ionosphere” waveguide. Research on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics. Moscow, Nauka Publ., 1984, iss. 69, pp. 9-15. (In Russian). Khakhinov V.V., Kurkin V.I. Waveguide approach to modeling of the ionosphere radiochannel. Proc. of the 11-th Inter. conf. on mathematical methods in electromagnetic theory MMET-2006, IEEE: 06EX1428. Kharkiv, Ukraine. 2006. P. 284-286. DOI: 10.1109/MMET.2006.1689693. Potekhin A.P., Orlov I.I. Approximate summation formula for a series of normal waves. Research on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics. Moscow, Nauka Publ., 1981, iss. 57, pp. 135-137. (In Russian). Zernov N.N., Gherm V.E., Zaalov N.Yu., Nikitin A.V. The generalization of Rytov's method to the case of inhomogeneous media and HF propagation and scattering in the ionosphere. Radio Sci. 1992. Vol. 27, no. 2. P. 235-244. DOI: 10.1029/91rs02920. Zernov N.N., Gherm V.E., Zaalov N.Yu., Nikitin A.V. The generalization of Rytov's method to the case of inhomogeneous media and HF propagation and scattering in the ionosphere. Radio Sci. 1992, vol. 27, no. 2, pp. 235-244. DOI: 10.1029/91rs02920. URL: http://ckp-rf.ru/ckp/3056/ (дата обращения 2 июня 2023 г.). URL: http://ckp-rf.ru/ckp/3056/ (accessed June 2, 2023).