Geometry & Graphics Geometry & Graphics Геометрия и графика 2308-4898 49715 10.12737/2308-4898-2022-9-4-35-45 Научные проблемы геометрии Scientific problems of geometry Научные проблемы геометрии Content of the “Geometric Modeling” Course for the “Mathematics and Computer Science” Training Program Содержание курса «Геометрическое моделирование» для направления подготовки «Математика и компьютерные науки» Захаров А. А. Zaharov A. A. azaharov@bmstu.ru

кандидат физико-математических наук;

candidate of physical and mathematical sciences;

 Захарова Ю. В. Zakharova Y. V.

кандидат технических наук;

candidate of technical sciences;

 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Bauman Moscow State Technical University 14 04 2022 14 04 2022 9 4 35 45 08 04 2022 https://naukaru.ru/en/nauka/article/49715/view

В работе рассмотрено основное содержание и отличительные особенности учебного курса «Геометрическое моделирование» для направления подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» (профиль «Математическое и компьютерное моделирование»). Целью изучения дисциплины является освоение математических методов построения геометрических объектов сложной криволинейной формы, а также способов их визуализации на компьютере с помощью полигонов кривых и поверхностей. Рассматриваются методы построения криволинейных форм конструкций с помощью сплайновых представлений, способы построения поверхностей и объемных геометрий с помощью операций движения и базовых логических операций над геометрическими объектами. Сплайновые представления включают в себя линейные и билинейные сплайны, Эрмитовы кубические сплайны и Эрмитовы поверхности, естественные кубические и бикубические интерполяционные сплайны, кривые и поверхности Безье, рациональные сплайны Безье, B-сплайны и B-сплайновые поверхности, NURBS кривые и NURBS поверхности, методы трансфинитной интерполяции и сплайны поверхностей треугольной формы. Рассматриваются логические операции пересечения двух сплайновых кривых и пересечения двух параметрических поверхностей. Также в курсе рассматриваются принципы научной визуализации и компьютерной анимации. Показаны примеры визуализации исходных данных и результатов построений кривых и поверхностей в двухмерном и трехмерном пространствах с помощью разработанной авторами программной оболочки, используемой студентами при выполнении контрольных заданий. Программная оболочка имеет веб-интерфейс с графической поддержкой библиотеки WebGL. Приводятся задания для четырех практических занятий в компьютерном классе, а также некоторые варианты домашних заданий. Обсуждается проблемы, возникающие при подготовке материалов для некоторых разделов курса, а также практическая значимость получаемых знаний в дальнейшем развитии студентов. Статья может быть интересна преподавателям дисциплин «Геометрическое моделирование» и «Компьютерная графика» для студентов математических и информационных специальностей, а также тем, кто самостоятельно разрабатывает программные интерфейсы для алгоритмов геометрического моделирования.

In this paper has been considered the main content and distinctive features of the “Geometric Modeling” training course for the “Mathematics and Computer Science” training program 02.03.01 (“Mathematical and Computer Modeling” specialization). The goal of the “Geometric Modeling” course study is the assimilation of mathematical methods for construction of geometric objects with complex curved shapes, and techniques for their computer visualization by using polygons of curves and surfaces. Methods for construction of structures’ curved shapes using spline representations, as well as techniques for construction of surfaces and volumetric geometries using motion operations and basic logical operations on geometric objects are considered. The spline representations include linear and bilinear splines, Hermite cubic splines and Hermite surfaces, natural cubic and bicubic interpolation splines, Bezier curves and surfaces, rational Bezier splines, B-splines and B-spline surfaces, NURBS-curves and NURBS-surfaces, transfinite interpolation methods, and splines of surfaces with triangular form. Logical operations for intersection of two spline curves, and intersection of two parametric surfaces are considered. The principles of scientific visualization and computer animation are considered in this course as well. Some examples for visualization of initial data and results of curves and surfaces construction in two- and three-dimensional spaces through the software shell developed by authors and used by students while doing tests have been demonstrated. The software shell has a web interface with the WebGL library graphic support. Tasks for four practical studies in a computer classroom, as well as several variations of homework are represented. The problems occurring in preparation materials for some course sections are discussed, as well as the practical importance of acquired knowledge for the further progress of students. The paper may be interesting for teachers of “Geometric Modeling” and “Computer Graphics” courses aimed to students with a specialization in mathematics and information, as well as to those who independently develop software interfaces for algorithms of geometric modeling.

 геометрическое моделирование; математическое и компьютерное моделирование; компьютерная графика; теория сплайнов; научная визуализация geometric modeling; mathematical and computer modeling; computer graphics; spline theory; scientific visualization

Алексюк А.А. Лабораторный практикум по компьютерной графике [Текст] / А.А. Алексюк // Геометрия и графика. -- 2017. -- Т. 5. -- № 3. -- С. 78-85. -- DOI: 10.12737/article_59bfa72b151052.53229281. Aleksyuk A.A. Laboratornyy praktikum po komp'yuternoy grafike [Tekst] / A.A. Aleksyuk // Geometriya i grafika. -- 2017. -- T. 5. -- № 3. -- S. 78-85. -- DOI: 10.12737/article_59bfa72b151052.53229281. Брылкин Ю.В. Моделирование микро- и наноструктуры поверхности для решения задач газовой динамики и тепломассообмена [Текст] / Ю.В. Брылкин // Геометрия и графика. -- 2018. -- Т. 6. -- № 2. -- С. 95-100. -- DOI: 10.12737/article_5b55a695093294.45142608. Brylkin Yu.V. Modelirovanie mikro- i nanostruktury poverhnosti dlya resheniya zadach gazovoy dinamiki i teplomassoobmena [Tekst] / Yu.V. Brylkin // Geometriya i grafika. -- 2018. -- T. 6. -- № 2. -- S. 95-100. -- DOI: 10.12737/article_5b55a695093294.45142608. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. - М.: Физматлит, 2002. - 472 с. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Tekst] / N.N. Golovanov. - M.: Fizmatlit, 2002. - 472 s. Голованов Н.Н. Компьютерная геометрия [Текст]: учеб. пособие для студ. вузов / Н.Н. Голованов [и др.]. - М.: Академия, 2006. - 512 с. Golovanov N.N. Komp'yuternaya geometriya [Tekst]: ucheb. posobie dlya stud. vuzov / N.N. Golovanov [i dr.]. - M.: Akademiya, 2006. - 512 s. Димитриенко Ю.И. Метод ленточных адаптивных сеток для численного моделирования в газовой динамике [Текст] / Ю.И. Димитриенко, В.П. Котенев, А.А. Захаров. - М.: Физматлит, 2011. - 280 с. Dimitrienko Yu.I. Metod lentochnyh adaptivnyh setok dlya chislennogo modelirovaniya v gazovoy dinamike [Tekst] / Yu.I. Dimitrienko, V.P. Kotenev, A.A. Zaharov. - M.: Fizmatlit, 2011. - 280 s. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций [Текст] / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. - М.: Наука, 1980. - 352 c. Zav'yalov Yu.S. Metody splayn-funkciy [Tekst] / Yu.S. Zav'yalov, B.I. Kvasov, V.L. Miroshnichenko. - M.: Nauka, 1980. - 352 c. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами [Текст] / Б.И. Квасов. - М.: Физматлит, 2006. - 360 с. Kvasov B.I. Metody izogeometricheskoy approksimacii splaynami [Tekst] / B.I. Kvasov. - M.: Fizmatlit, 2006. - 360 s. Конопацкий Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности [Текст] / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. -- 2019. -- Т. 7. -- № 2. -- С. 39-46. -- DOI: 10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357. Konopackiy E.V. Modelirovanie approksimiruyuschego 16-tochechnogo otseka poverhnosti otklika primenitel'no k resheniyu neodnorodnogo uravneniya teploprovodnosti [Tekst] / E.V. Konopackiy // Geometriya i grafika. -- 2019. -- T. 7. -- № 2. -- S. 39-46. -- DOI: 10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий, И.Г. Витовтов // Геометрия и графика. - 2021. -- Т. 9. -- № 1. -- С. 3-19. -- DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19. Korotkiy V.A. Approksimaciya fizicheskogo splayna s bol'shimi progibami [Tekst] / V.A. Korotkiy, I.G. Vitovtov // Geometriya i grafika. - 2021. -- T. 9. -- № 1. -- S. 3-19. -- DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19. Короткий В.А. Конструирование G2-гладкой составной кривой на основе кубических сегментов Безье [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. -- 2021. -- Т. 9. -- № 2. -- С. 12-28. -- DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-2-12-28. Korotkiy V.A. Konstruirovanie G2-gladkoy sostavnoy krivoy na osnove kubicheskih segmentov Bez'e [Tekst] / V.A. Korotkiy // Geometriya i grafika. -- 2021. -- T. 9. -- № 2. -- S. 12-28. -- DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-2-12-28. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. -- 2020. -- Т. 8. -- № 3. -- С. 3-24. --DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-24 Korotkiy V.A. Kubicheskie krivye v inzhenernoy geometrii [Tekst] / V.A. Korotkiy // Geometriya i grafika. -- 2020. -- T. 8. -- № 3. -- S. 3-24. --DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-24 Ли К. Основы САПР (CAD/CAM/CAE) [Текст]: пер. с англ. / К. Ли. - СПб.: Питер, 2004. - 560 с. Li K. Osnovy SAPR (CAD/CAM/CAE) [Tekst]: per. s angl. / K. Li. - SPb.: Piter, 2004. - 560 s. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики [Текст] / Е.А. Никулин. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с. Nikulin E.A. Komp'yuternaya geometriya i algoritmy mashinnoy grafiki [Tekst] / E.A. Nikulin. - SPb.: BHV-Peterburg, 2003. - 560 s. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений [Текст]: пер. с англ. / Т. Павлидис. -- М.: Радио и связь, 1986. - 398 с. Pavlidis T. Algoritmy mashinnoy grafiki i obrabotki izobrazheniy [Tekst]: per. s angl. / T. Pavlidis. -- M.: Radio i svyaz', 1986. - 398 s. Плаксин А.М. Геометрическое моделирование тепловых характеристик объектов функционально-воксельным методом [Текст] / А.М. Плаксин, С.А. Пушкарев // Геометрия и графика. -- 2020. -- Т. 8. -- № 1. -- С. 25-32. --DOI: 10.12737/2308-4898-2020-25-32. Plaksin A.M. Geometricheskoe modelirovanie teplovyh harakteristik ob'ektov funkcional'no-voksel'nym metodom [Tekst] / A.M. Plaksin, S.A. Pushkarev // Geometriya i grafika. -- 2020. -- T. 8. -- № 1. -- S. 25-32. --DOI: 10.12737/2308-4898-2020-25-32. Поляков А.Ю. Методы и алгоритмы компьютерной графики в примерах на Visual C++ [Текст] / А.Ю. Поляков, В.А. Брусенцев. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с. Polyakov A.Yu. Metody i algoritmy komp'yuternoy grafiki v primerah na Visual C++ [Tekst] / A.Yu. Polyakov, V.A. Brusencev. - 2-e izd., pererab. i dop. - SPb.: BHV-Peterburg, 2003. - 560 s. Роджерс П. Математические основы машинной графики [Текст]: пер. с англ. / Д. Роджерс, Дж. Адамс. - М.: Мир, 2001. - 604 с. Rodzhers P. Matematicheskie osnovy mashinnoy grafiki [Tekst]: per. s angl. / D. Rodzhers, Dzh. Adams. - M.: Mir, 2001. - 604 s. Романова В.А. Визуализация правильных многогранников в процессе их образования [Текст] / В.А. Романова // Геометрия и графика. -- 2019. -- Т. 7. -- № 1. -- С. 55-67. -- DOI: 10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357. Romanova V.A. Vizualizaciya pravil'nyh mnogogrannikov v processe ih obrazovaniya [Tekst] / V.A. Romanova // Geometriya i grafika. -- 2019. -- T. 7. -- № 1. -- S. 55-67. -- DOI: 10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. -- 2018. -- Т. 6. -- № 2. -- С. 85-93. -- DOI: 10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109. Sal'kov N.A. Geometricheskaya sostavlyayuschaya tehnicheskih innovaciy [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. -- 2018. -- T. 6. -- № 2. -- S. 85-93. -- DOI: 10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109. Самарский А.А. Численные методы [Текст]: учеб. пособие для вузов / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Наука, 1989. - 432 с. Samarskiy A.A. Chislennye metody [Tekst]: ucheb. posobie dlya vuzov / A.A. Samarskiy, A.V. Gulin. - M.: Nauka, 1989. - 432 s. Херн Д. Компьютерная графика и стандарт OpenGL [Текст]: пер. с англ. / Д. Херн, М.П. Бейкер. - 3 изд. - М.: Вильямс, 2005. - 1168 с. Hern D. Komp'yuternaya grafika i standart OpenGL [Tekst]: per. s angl. / D. Hern, M.P. Beyker. - 3 izd. - M.: Vil'yams, 2005. - 1168 s. Хилл Ф. OpenGL. Программирование компьютерной графики. Для профессионалов [Текст]: пер. с англ. / Ф. Хилл. - СПб.: Питер, 2002. - 1088 с. Hill F. OpenGL. Programmirovanie komp'yuternoy grafiki. Dlya professionalov [Tekst]: per. s angl. / F. Hill. - SPb.: Piter, 2002. - 1088 s. Шевелев Ю.Д. Математические основы задач проектирования [Текст]: учеб. пособие / Ю.Д. Шевелев. - М.: Компания Спутник+, 2005. - 198 с. Shevelev Yu.D. Matematicheskie osnovy zadach proektirovaniya [Tekst]: ucheb. posobie / Yu.D. Shevelev. - M.: Kompaniya Sputnik+, 2005. - 198 s. Шикин Е.В. Начала компьютерной графики [Текст] / Е.В. Шикин, А.В. Боресков, А.А. Зайцев. - М.: Диалог-МИФИ, 1993. - 138 с. Shikin E.V. Nachala komp'yuternoy grafiki [Tekst] / E.V. Shikin, A.V. Boreskov, A.A. Zaycev. - M.: Dialog-MIFI, 1993. - 138 s. Angel E., Shreiner D. Interactive computer graphics. A top-down approach with WebGL. 7th ed. Pearson, 2015. 702p. Angel E., Shreiner D. Interactive computer graphics. A top-down approach with WebGL. 7th ed. Pearson, 2015. 702p. Buss S.R. 3-D Computer Graphics. A Mathematical Introduction with OpenGL Cambridge University Press, 2003. 397 p. Buss S.R. 3-D Computer Graphics. A Mathematical Introduction with OpenGL Cambridge University Press, 2003. 397 p. Farin G. Curves and Surfaces for CAGD. 5th ed. Academic Press, 2002. 520 p. Farin G. Curves and Surfaces for CAGD. 5th ed. Academic Press, 2002. 520 p. Guha S. Computer graphics through OpenGL. From Theory to Experiments. 2nd ed. CRC Press, 2015. Guha S. Computer graphics through OpenGL. From Theory to Experiments. 2nd ed. CRC Press, 2015. McReynolds T., Blythe D. Advanced Graphics Programming Using OpenGL. Elsevier, 2005. 672 p. McReynolds T., Blythe D. Advanced Graphics Programming Using OpenGL. Elsevier, 2005. 672 p. Piegl L., Tiller W. The NURBS Book. 2nd ed. Springer, 1996. 646 p. Piegl L., Tiller W. The NURBS Book. 2nd ed. Springer, 1996. 646 p. Silver D., Post F.H., Sadarjoen I.A. Flow Visualization. Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 1999. DOI: 10.1002/047134608X.W7512. Silver D., Post F.H., Sadarjoen I.A. Flow Visualization. Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 1999. DOI: 10.1002/047134608X.W7512. Solid Propellant Combustion Modeling [Электронный ресурс] // URL: https://www.flow3d.com/solid-propellant-combustion-modeling (дата обращения 31.08.2019). Solid Propellant Combustion Modeling [Elektronnyy resurs] // URL: https://www.flow3d.com/solid-propellant-combustion-modeling (data obrascheniya 31.08.2019).