кандидат технических наук;
candidate of technical sciences;
В статье рассмотрены геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер. Во всех вариантах взаимного положения сфер геометрическими местами точек являются две поверхности. Когда центры сфер совпадают геометрическим местом точек, равноудалённых от сфер, будут сферы равные полу сумме и полу разности диаметров исходных сфер. В трех вариантах взаимного положения исходных сфер одна из двух поверхностей геометрических мест точек – двуполостный гиперболоид вращения. Он получается, когда: 1) сферы пересекаются, 2) сферы касаются, 3) наружные поверхности сфер удалены друг от друга. В случае равных сфер двуполостный гиперболоид вращения вырождается в двулистную плоскость, точнее — это вырожденная поверхность второго порядка, имеющая вторую бесконечно удаленную ветвь. Сферы пересекаются - вторым геометрическим местом точек будет эллипсоид вращения. Сферы касаются – второе геометрическое место точек - эллипсоид вращения, выродившийся в прямую, точнее в нуль-квадрику второго порядка – цилиндрическую поверхность с нулевым радиусом. Наружные поверхности сфер удалены друг от друга – вторым геометрическим местом точек будет двуполостный гиперболоид вращения. Малая сфера находится внутри большой– два соосных софокусных эллипсоида вращения. Во всех вариантах взаимного положения сфер одинаковых диаметров общим геометрическим местом равноудалённых точек является плоскость (вырожденная поверхность второго порядка), проходящая через середину перпендикулярного ей отрезка, соединяющего центры исходных сфер. Вторым геометрическим местом точек равноудалённых от двух сфер одинакового диаметра может быть либо эллипсоид вращения (если исходные сферы пересекаются), либо прямая (цилиндрическая поверхность с нулевым радиусом), соединяющая центры исходных сфер, когда исходные сферы коснуться друг друга, либо двуполостный гиперболоид вращения (если продолжать увеличивать расстояние между центрами исходных сфер).
The article deals with the geometric locations of points equidistant from two spheres. In all variants of the mutual position of the spheres, the geometric places of the points are two surfaces. When the centers of the spheres coincide with the locus of points equidistant from the spheres, there will be spheres equal to the half-sum and half-difference of the diameters of the original spheres. In three variants of the relative position of the initial spheres, one of the two surfaces of the geometric places of the points is a two-sheet hyperboloid of revolution. It is obtained when: 1) the spheres intersect, 2) the spheres touch, 3) the outer surfaces of the spheres are removed from each other. In the case of equal spheres, a two-sheeted hyperboloid of revolution degenerates into a two-sheeted plane, more precisely, it is a second-order degenerate surface with a second infinitely distant branch. The spheres intersect - the second locus of the points will be the ellipsoid of revolution. Spheres touch - the second locus of points - an ellipsoid of revolution, degenerated into a straight line, more precisely into a zero-quadric of the second order - a cylindrical surface with zero radius. The outer surfaces of the spheres are distant from each other - the second locus of points will be a two-sheet hyperboloid of revolution. The small sphere is located inside the large one - two coaxial confocal ellipsoids of revolution. In all variants of the mutual position of spheres of the same diameters, the common geometrical place of equidistant points is a plane (degenerate surface of the second order) passing through the middle of the segment perpendicular to it, connecting the centers of the original spheres. The second locus of points equidistant from two spheres of the same diameter can be either an ellipsoid of revolution (if the original spheres intersect), or a straight (cylindrical surface with zero radius) connecting the centers of the original spheres when the original spheres touch each other, or a two-sheet hyperboloid of revolution (if continue to increase the distance between the centers of the original spheres).