Кассель, Германия
Две плоские алгебраические кривые пересекаются в действительных точках пересечения графиков данных кривых. Кроме действительных точек пересечения алгебраические кривые могут иметь и мнимые точки пересечения. Примеры решения ряда актуальных задач, применяя мнимые геометрические образы, представлены в работах [4; 6–9; 15]. Общее число точек пересечения кривых равно произведению их порядков . Число мнимых точек пересечения может быть равно числу mn или быть его частью. Положение действительных точек пересечения определяется графиками кривых, но мнимые точки пересечения не лежат на графиках данных кривых и их положение на плоскости остается неясным. Данная работа ставит своей задачей определить геометрию мнимых точек пересечения, вводит в рассмотрение понятие мнимого дополнения данных алгебраических кривых в операции пересечения, определяет форму мнимых дополнений, которые и пересекаются в мнимых точках. Визуализация мнимых дополнений проясняет картину пересечения кривых и положение мнимых точек пересечения становится ожидаемым.
действительная кривая, коника, кубика, квартика, мнимое дополнение, комплексная плоскость, комплексная кубика, мнимая составляющая
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии [Текст] / П.С. Александров - М.: Наука., 1968. - 382 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: ACT: Астрель, 2006. - 991 с.
3. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. - 216 с.
4. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш. // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - №. 2. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: ООО ИПЦ «Маска», 2008. - 216 с.
6. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи по конструктивной геометрии с решениями. Часть II - 3D [Текст] / А.Г. Гирш. - Кассель, 2014 - 113 с. Электронный ресурс. На правах рукописи: ISBN 978-5-6041815-1-5.
7. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I - 2D. [Текст] / А.Г. Гирш. - Кассель, 2012. - 191 с. Электронный ресурс. На правах рукописи: ISBN 978-5-6041815-0-8.
8. Гирш А.Г. Обобщение «сечений Вилларсо» на поверхности вращения с образующей коникой [Текст] / А.Г. Гирш. // Электронный журнал по прикладной геометрии. 2003. http://www.mai.ru/~apg/ Volume 5_n11. htm.
9. Гирш А.Г. Окружности на комплексной плоскости [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - C. 3-12. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-3-12.
10. Гирш А.Г. О пользе мнимостей в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - C. 33-40. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-40.
11. Гирш А. Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 3. - C. 4-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/14415.
12. [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 3. - С. 28-35. DOI: 10.12737/ article_5dce651d80b827.49830821.
13. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. DOI:https://doi.org/10.12737/12163.
14. Понтрягин Л.С. Кубическая парабола [Текст] / Л.С. Понтрягин // Квант. - 1984. - № 3.
15. Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка [Текст] / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. - М.: ФМ, 1961. - 261 с.
16. Hirsсн А.: Ехtепsion оf thе 'Villarceau-Sektion' tо Surfaces of Revolution with а Generating Соniс. Jurnal for Сеоmetrу and Graphics, 6(2000/2). р. 121-132.
