Solnechno-Zemnaya Fizika Solnechno-Zemnaya Fizika Солнечно-земная физика 2712-9640 38662 10.12737/szf-64202009 Результаты исследований Results of current research Результаты исследований Applying the method of maximum contributions to the magnetogram inversion technique ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИБОЛЬШИХ ВКЛАДОВ В ТЕХНИКЕ ИНВЕРСИИ МАГНИТОГРАММ Пенских Юрий Владимирович Penskikh Yury Vladimirovich penskikh@iszf.irk.ru Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation 6 4 67 76 https://naukaru.ru/en/nauka/article/38662/view

Основы созданного Гауссом сферического гармонического анализа (СГА) геомагнитного поля приобрели классическую форму Чепмена—Шмидта в первой половине ХХ в. В отечественной геомагнитологии метод СГА активно развивался в ИЗМИРАНе, а с началом космической эры — и в ИСЗФ СО РАН, где со временем СГА стал основой комплексного метода ТИМ (техники инверсии магнитограмм). СГА решает обратную задачу теории потенциала, в которой рассчитываются источники поля геомагнитных вариаций (ПГВ) — внутренние и внешние электрические токи. В алгоритме СГА формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), включающая 3K уравнений (три компоненты вариаций геомагнитного поля, K — число наземных магнитных станций). Малые изменения левой и/или правой частей такой СЛАУ могут привести к значительному изменению неизвестных переменных. Как следствие, два последовательных момента времени с практически одинаковыми значениями ПГВ аппроксимируются значительно отличающимися коэффициентами СГА, что противоречит и логике, и реальным наблюдениям геомагнитного поля. Неустранимая погрешность магнитометров, как и различные методики определения ПГВ на магнитных станциях мировой сети, приводят также к неустойчивости решения СЛАУ. Для оптимального решения этой задачи около полувека назад в ИСЗФ СО РАН был разработан метод наибольших вкладов (МНВ) (Method of maximum contribution, MMC). В данной работе изложены основы этого оригинального метода, а также предложен ряд его модификаций, повышающих точность и/или скорость решения СЛАУ. Показано преимущество МНВ перед другими популярными методами, особенно для Южного полушария Земли.

Fundamentals of the spherical harmonic analysis (SHA) of the geomagnetic field were created by Gauss. They acquired the classical Chapman — Schmidt form in the first half of the XXth century. The SHA method was actively developed for domestic geomagnetology by IZMIRAN, and then, since the start of the space age, by ISTP SB RAS, where SHA became the basis for a comprehensive method of MIT (magnetogram inversion technique). SHA solves the inverse problem of potential theory and calculates sources of geomagnetic field variations (GFV) - internal and external electric currents. The SHA algorithm forms a system of linear equations (SLE), which consists of 3K equations (three components of the geomagnetic field, K is the number of ground magnetic stations). Small changes in the left and (or) right side of such SLE can lead to a significant change in unknown variables. As a result, two consecutive instants of time with almost identical GFV are approximated by significantly different SHA coefficients. This contradicts both logic and real observations of the geomagnetic field. The inherent error of magnetometers, as well as the method for determining GFV, also entails the instability of SLE solution. To solve such SLEs optimally, the method of maximum contribution (MMC) was developed at ISTP SB RAS half a century ago. This paper presents basics of the original method and proposes a number of its modifications that increase the accuracy and (or) speed of solving the SLEs. The advantage of MMC over other popular methods is shown, especially for the Southern Hemisphere of Earth.

 эквивалентная токовая функция техника инверсии магнитограмм сферический гармонический анализ система линейных алгебраических уравнений equivalent current function magnetogram inversion technique spherical harmonic analysis system of linear equation

Базаржапов А.Д., Мишин В.М., Немцова Э.И., Платонов М.Л. Способ аналитического представления «мгновенных» полей магнитных вариаций // Геомагнитные исследования. 1966. № 8. С. 5-22. Akasofu S.-I. Physics of Magnetospheric Substorms. Dordrecht, Holland, Springer, 1977, 619 p. DOI: 10.1007/978-94-010-1164-8. Базаржапов А.Д., Матвеев М.И., Мишин В.М. Геомагнитные вариации и бури. Новосибирск: Наука, 1979. 248 с. Backus G., Parker R.L., Constable C. Foundations of Geomagnetism. Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1996, 369 p. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 7-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 320 с. Barraclough D.R. Spherical harmonic models of the geomagnetic field. Geomagn. Bull. Inst. Geol. Sci. 1978, vol. 8, pp. 1-68. Бенькова Н.П. Спокойные солнечно-суточные вариации земного магнетизма. Л.: Гидрометеоиздат, 1941. 76 с. Bazarzhapov A.D., Matveev M.I., Mishin V.M. Geomagnitnye variatsii i buri [Geomagnetic variations and storms]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1979, 248 p. (In Russian). Лунюшкин С.Б., Пенских Ю.В. Диагностика границ аврорального овала на основе техники инверсии магнитограмм // Солнечно-земная физика. 2019. Т. 5, № 2. С. 97-113. DOI: 10.12737/szf-52201913. Bazarzhapov A.D., Mishin V.M., Nemtsova E.I., Platonov M.L. The method of analytical presentation of “instant” fields of magnetic variations. Geomagnitnye issledovaniya [Geomagnetic Res.]. 1966, no. 8, pp. 5-22. (In Russian). Мишин В.М. Спокойные геомагнитные вариации и токи в магнитосфере. Новосибирск: Наука, 1976. 208 с. Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoi geometrii i lineinoi algebry [Course of Analytic Geometry and Linear Algebra]. Moscow, Vysshaya shkola, 1998, 320 p. (In Russian). Мишин В.М., Базаржапов А.Д. Выбор спектра полиномов Лежандра, аппроксимирующих наблюдаемое Sq-поле // Геомагнитные исследования. 1966. № 8. С. 23-30. Benkova N.P. Spokoinye solnechno-sutochnye variatsii zemnogo magnetizma [Quiet Solar Diurnal Variations of Terrestrial Magnetism]. Leningrad, Hydrometeoizdat, 1941. 76 p. (In Russian). Мишин В.М., Шпынев Г.Б., Базаржапов А.Д. Непрерывный расчет электрического поля и токов в земной магнитосфере по наземным геомагнитным измерениям // Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1982. № 58. С. 178-186. Chapman S., Bartels J. Geomagnetism, Vol. I-II. London, Great Britain, Oxford University Press, 1940, 1049 p. Мишин В.М., Базаржапов А.Д., Шпынев Г.Б. Математический анализ поля геомагнитных вариаций // Геомагнетизм и аэрономия. 1984. Т. 24, № 1. С. 160-162. Faddeev D.K., Faddeeva V.N. Vychislitel’nye medody lineinoi algebry [Computational methods of linear algebra]. 2nd Ed. Moskow, Fizmatgiz, 1963, 734 p. (In Russian). Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 284 с. Fougere P.F. Spherical harmonic analysis: 1. A new method and its verification. J. Geophys. Res. 1963, vol. 68, no. 4, pp. 1131-1139. DOI: 10.1029/JZ068i004p01131. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-е изд., доп. М.: Физматгиз, 1963. 734 с. Gauss J.C.F. Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus. Resultate aus den Beobachtungen des Magnetischen Verein im Jahre 1838. Ed. by V.B. Werke, Leipzig, Göttinger Magnetischer Verein, 1839, pp. 119-175. Ширапов Д.Ш., Мишин В.М. Моделирование глобальных электродинамических процессов в геомагнито-сфере. Улан-Удэ: ВСТГУ, 2009. 217 с. Gjerloev J.W. The SuperMAG data processing technique. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2012, vol. 117, no. A9, p. A09213. DOI: 10.1029/2012ja017683. Ширапов Д.Ш., Мишин В.М., Базаржапов А.Д., Сайфудинова Т.И. Улучшенный вариант техники инверсии магнитограмм и его применение к проблеме динамики открытого магнитного потока в хвосте гео-магнитосферы // Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 2000. № 111. С. 154-172. Goldberg D. What every computer scientist should know about floating-point arithmetic. ACM Computing Surveys. 1991, vol. 23, no. 1, pp. 5-48. DOI: 10.1145/103162.103163. Шпынев Г.Б., Базаржапов А.Д., Мишин В.М. Выбор оптимального спектра аппроксимирующих функций при аналитическом представлении экспериментальных данных // Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1974. № 32. С. 60-65. Haines G.V., Torta J.M. Determination of equivalent current sources from spherical cap harmonic models of geomagnetic field variations. Geophys. J. Intern. 1994, vol. 118, no. 3, pp. 499-514. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1994.tb03981.x. Яновский Б.М. Земной магнетизм. Л.: ЛГУ, 1978. 592 с. Jacobs R.A. Increased rates of convergence through learning rate adaptation. Neural Networks. 1988, vol. 1, no. 4, pp. 295-307. DOI: 10.1016/0893-6080(88)90003-2. Akasofu S.-I. Physics of Magnetospheric Substorms. Dordrecht, Holland, Springer, 1977. 619 p. DOI: 10.1007/978-94-010-1164-8. Kahan W. Further remarks on reducing truncation errors. Communications of the ACM. 1965, vol. 8, no. 1. DOI: 10.1145/ 363707.363723. Backus G., Parker R.L., Constable C. Foundations of Geomagnetism. Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1996. 369 p. Klein A. A Generalized Kahan-Babuška-Summation-Algorithm. Computing. 2006, vol. 76, pp. 279-293. DOI: 10.1007/ s00607-005-0139-x. Barraclough D.R. Spherical harmonic models of the geomagnetic field // Geomagn. Bull. Inst. Geol. Sci. 1978. V. 8. P. 1-68. Lunyushkin S.B., Mishin V.V., Karavaev Y.A., Penskikh Y.V., Kapustin V.E. Studying the dynamics of electric currents and polar caps in ionospheres of two hemispheres during the August 17, 2001 geomagnetic storm. Solar-Terr. Phys. 2019, vol. 5, no. 2, pp. 15-27. DOI: 10.12737/stp-52201903. Chapman S., Bartels J. Geomagnetism. V. I-II. London, Great Britain, Oxford University Press, 1940. 1049 p. Lunyushkin S.B., Penskikh Y.V. Diagnostics of the auroral oval boundaries on the basis of the magnetogram inversion technique. Solar-Terr. Phys. 2019, vol. 5, no. 2, pp. 88-100. DOI: 10.12737/stp-52201913. Fougere P.F. Spherical harmonic analysis: 1. A new method and its verification // J. Geophys. Res. 1963. V. 68, N 4. P. 1131-1139. DOI: 10.1029/JZ068i004p01131. Mandea M., Korte M. (Eds.). Geomagnetic Observations and Models, Dordrecht, Holland, Springer, 2010, 360 p. DOI: 10.1007/978-90-481-9858-0. Gauss J.C.F. Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus. Resultate aus den Beobachtungen des Magnetischen Verein im Jahre 1838. Leipzig, Göttinger Magnetischer Verein, 1839. P. 119-175. Mishin V.M. Spokoinye geomagnitnye variatsii i toki v magnitosfere [Quiet geomagnetic variations and currents in the magnetosphere]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1976, 208 p. (In Russian). Gjerloev J.W. The SuperMAG data processing technique // J. Geophys. Res.: Space Phys. 2012. V. 117, N A9. P. A09213. DOI: 10.1029/2012ja017683. Mishin V.M. The magnetogram inversion technique and some applications. Space Sci. Rev. 1990, vol. 53, no. 1-2, pp. 83-163. DOI: 10.1007/bf00217429. Goldberg D. What every computer scientist should know about floating-point arithmetic // ACM Computing Surveys. 1991. V. 23, N 1. P. 5-48. DOI: 10.1145/103162.103163. Mishin V.M., Bazarzhapov A.D. Selection of the spectrum of Legendre polynomials approximating the observed Sq-field. Geomagnitnye issledovaniya [Geomagnetic Res.]. 1966, no. 8, pp. 23-30. (In Russian). Haines G.V., Torta J.M. Determination of equivalent current sources from spherical cap harmonic models of geomagnetic field variations // Geophys. J. Intern. 1994. V. 118, N 3. P. 499-514. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1994.tb03981.x. Mishin V.M., Shpynev G.B., Bazarshapov A.D. Computation of electric field and currents in the Earth`s magnetosphere on a continuous basis by means of ground geomagnetic measurements. Issledovaniya po geomagnetizmu, aeronomii i fizike Solntsa [Res. on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Phys.]. 1982, no. 58, pp. 178-186. (In Russian). Jacobs R.A. Increased rates of convergence through learning rate adaptation // Neural Networks. 1988. V. 1, N 4. P. 295-307. DOI:10.1016/0893-6080(88)90003-2. Mishin V.M., Bazarzhapov A.D., Shpynev G.B. Mathematical analysis of the field of geomagnetic variations. Geomagnetizm i aeronomiya [Geomagnetism and Aeronomy]. 1984, vol. 24, no. 1, pp. 160-162. (In Russian). Kahan W. Further remarks on reducing truncation errors // Communications of the ACM. 1965. V. 8, N 1. DOI: 10.1145/ 363707.363723. Mishin V.M., Mishin V.V., Lunyushkin S.B., Wang J.Y., Moiseev A.V. 27 August 2001 substorm: Preonset phenomena, two main onsets, field-aligned current systems, and plasma flow channels in the ionosphere and in the magnetosphere. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2017, vol. 122, no. 5, pp. 4988-5007. DOI: 10.1002/2017ja023915. Klein A.A Generalized Kahan-Babuška-Summation-Algorithm // Computing. 2006. V. 76. P. 279-293. DOI: 10.1007/ s00607-005-0139-x. Olsen N., Glassmeier K.H., Jia X. Separation of the magnetic field into external and internal parts. Space Sci. Rev. 2010, vol. 152, no. 1-4, pp. 135-157. DOI: 10.1007/s11214-009-9563-0. Lunyushkin S.B., Mishin V.V., Karavaev Y.A., et al. Studying the dynamics of electric currents and polar caps in ionospheres of two hemispheres during the August 17, 2001 geomagnetic storm // Solar-Terr. Phys. 2019. V. 5, N 2. P. 15-27. DOI: 10.12737/stp-52201903. Pulkkinen A., Amm O., Viljanen A., BEAR working group. Separation of the geomagnetic variation field on the ground into external and internal parts using the spherical elementary current system method. Earth, Planets and Space. 2003, vol. 55, no. 3, pp. 117-129. DOI: 10.1186/BF03351739. Mandea M., Korte M. (Eds.). Geomagnetic Observations and Models. Dordrecht, Holland, Springer, 2010. 360 p. DOI: 10.1007/978-90-481-9858-0. Rangarajan G.K., Rao D.R.K. A Fortran computer programme for spherical harmonic analysis of geomagnetic field by numerical integration. Proc. Indian Acad. Sci. 1975, vol. 82, no. 6, pp. 236-244. DOI: 10.1007/bf03046733. Mishin V.M. The magnetogram inversion technique and some applications // Space Sci. Rev. 1990. V. 53, N 1-2. P. 83-163. DOI: 10.1007/bf00217429. Schmidt A. Tafeln der Normierten Kugelfunktionen. Gotha, Engelhard-Reyher, 1935. 52 p. Mishin V.M., Mishin V.V., Lunyushkin S.B., et al. 27 August 2001 substorm: Preonset phenomena, two main onsets, field-aligned current systems, and plasma flow channels in the ionosphere and in the magnetosphere // J. Geophys. Res.: Space Phys. 2017. V. 122, N 5. P. 4988-5007. DOI: 10.1002/ 2017ja023915. Schuster A., Lamb H. The diurnal variation of terrestrial magnetism. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1889, vol. 180, pp. 467-518. DOI: 10.1098/rsta.1889.0015. Olsen N., Glassmeier K.H., Jia X. Separation of the magnetic field into external and internal parts // Space Sci. Rev. 2010. V. 152, N 1-4. P. 135-157. DOI: 10.1007/s11214-009-9563-0. Shirapov D.S., Mishin V.M. Modeling of the global electrodynamic processes in the geomagnetosphere. Ulan-Ude, East Siberian State Technological University, 2009, 217 p. (In Russian). Pulkkinen A., Amm O., Viljanen A., BEAR working group. Separation of the geomagnetic variation field on the ground into external and internal parts using the spherical elementary current system method // Earth, Planets and Space. 2003. V. 55, N 3. P. 117-129. DOI: 10.1186/BF03351739. Shirapov D.S., Mishin V.M., Bazarshapov A.D., Saifudinova T.I. An improved version of the magnetogram inversion technique, and its application to the problem of the open magnetic flux dynamics in the geomagnetospheric tail. Issledovaniya po geomagnetizmu, aeronomii i fizike Solntsa [Res. on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Phys.]. 2000, no. 111, pp. 154-172. (In Russian). Rangarajan G.K., Rao D.R.K. A Fortran computer pro-gramme for spherical harmonic analysis of geomagnetic field by numerical integration // Proc. Indian Acad. Sci. 1975. V. 82, N 6. P. 236-244. DOI: 10.1007/bf03046733. Shpynev G.B., Bazarshapov A.D., Mishin V.M. Selection of the optimal spectrum for approximating functions at analytical representation of experimental data. Issledovaniya po geomagnetizmu, aeronomii i fizike Solntsa [Res. on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Phys.]. 1974, no. 32, pp. 60-65. (In Russian). Schmidt A. Tafeln der Normierten Kugelfunktionen. Gotha, Engelhard-Reyher, 1935. 52 p. Sneeuw N. Global spherical harmonic analysis by least-squares and numerical quadrature methods in historical perspective. Geophys. J. Intern. 1994, vol. 118, no. 3, pp. 707-716. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1994.tb03995.x. Schuster A., Lamb H. The diurnal variation of terrestrial magnetism // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1889. V. 180. P. 467-518. DOI: 10.1098/rsta.1889.0015. Tikhonov A.N., Arsenin V.Y. Solution methods for incorrect problems. Moscow, Nauka Publ, 1979, 284 p. (In Russian). Sneeuw N. Global spherical harmonic analysis by least-squares and numerical quadrature methods in historical perspective // Geophys. J. Intern. 1994. V. 118, N 3. P. 707-716. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1994.tb03995.x. Weimer D.R. Models of high-latitude electric potentials derived with a least error fit of spherical harmonic coefficients. J. Geophys. Res.: Space Phys. 1995, vol. 100, no. A10, pp. 19595-19607. DOI: 10.1029/95ja01755. Weimer D.R. Models of high-latitude electric potentials derived with a least error fit of spherical harmonic coefficients // J. Geophys. Res.: Space Phys. 1995. V. 100, N A10. P. 19595-19607. DOI: 10.1029/95ja01755. Yanovsky B.M. Zemnoi magnetism [Terrestrial Magnetism]. Leningrad, 1978, 592 p. (In Russian).