Введение. К настоящему моменту нелинейная деформационная модель железобетонного сечения прочно вошла в обиход инженеров-проектировщиков благодаря своей простоте, универсальности и возможности самостоятельно автоматизировать расчёты с её использованием. Главным параметром данной модели, влияющим на результаты, является зависимость между напряжениями и деформациями «σ-ε», чаще всего задаваемая в виде диаграммы с ниспадающей ветвью. В ходе изучения отечественной и зарубежной литературы автором обнаружено порядка 30 различных видов диаграмм и это – не предел. Систематизация наиболее распространённых диаграмм выполнена в работах [1–2] и др. Возникает вопрос: в каких случая можно применять тот или иной вид? Ответить на него можно двояко:а) сравнить конечный результат расчёта конструкции на основе принятой теоретической диаграммы с экспериментом либо с надёжной расчётной методикой, ранее приведённой в соответствие с опытом; этому посвящены, например, работы [3–4];б) сравнить самые распространённые и общепризнанные теоретические диаграммы между собой, отобрать из их числа на основе неких общих признаков (критериев) наиболее соответствующие друг другу, а затем сопоставить отобранные диаграммы с опытными зависимостями.Второй вариант ответа более перспективен, поскольку подталкивает исследователя после выполнения этой процедуры совершенствовать остальные параметры модели: геометрическую схему, схему усилий и напряжений, условия равновесия и др. Иначе получается, что при трансформации опытных диаграмм и переходе от них к нормативным и расчётным не учитываются важные параметры модели, более полно раскрывающие физическую суть работы конструкции под нагрузкой – они теряются в формуле, аппроксимирующей зависимость «σ-ε», а также в структуре принятых в нормах различных коэффициентов запаса (коэффициентов надёжности). К таким не учитываемым пока в нормах параметрам можно отнести: сцепление арматуры с бетоном и возможность его частичного либо полного нарушения, концентрация напряжений в вершине нормальных и наклонных трещин, возникновение горизонтальных трещин в сжатой зоне балки, градиенты деформаций и др.Методология. В данной статье сделано первое приближение для ответа на поставленный вопрос по второму варианту. Для этого проведён сравнительный анализ различных диаграмм деформирования бетона при кратковременном нагружении по критерию энергозатрат на деформирование и разрушение материала. Данный критерий вычисляется через определённый интеграл функции σ=f(ε). При этом выделены следующие его составляющие: , ,  (1)где  – полные энергозатраты на сопротивление бетона внешней нагрузке;  – энергозатраты на деформирование материала;  – энергозатраты на разрушение материала с образованием новых поверхностей (в следствии появления и развития макротрещин);  – энергия упругого деформирования;  – энергия пластического деформирования.Отметим, что один из вариантов энергетического подхода к оценке сопротивляемости бетона растяжению и сжатию представлен в работах проф. В.М. Митасова, например, в [5]. В них энергия деформирования и энергия разрушения материала тождественны друг другу. В данной статье эти два вида энергозатрат разделены по соответствующим стадиям работы бетона: а) от начала нагружения до момента появления видимых макротрещин в материале, что соответствует восходящей ветви диаграммы деформирования (эта стадия включает в себя работу вначале упругих, а потом совместно и пластических, точнее псевдопластических, деформаций), б) дальнейшее нагружение вплоть до полного разрушения с разделением бетонного образца на части, что соответствует ниспадающей ветви. При этом отчасти бетон начинает разрушаться уже на первой стадии в виде образования и развития невидимых микротрещин, что, однако, можно обобщить работай псевдопластических деформаций. Кроме того, на ниспадающей ветви диаграммы о деформациях материала можно говорить лишь условно, так как удлинение либо укорочение бетонного образца под нагрузкой происходит главным образом за счёт образования и раскрытия макротрещин соответствующего направления: при растяжении – поперечных макротрещин отрыва; при сжатии – продольных отрыва и наклонных сдвига. В связи с этим, для удобства описания процессов деформирования и разрушения бетона и было принято выражение (1). Отметим, что похожий подход используется в зарубежных работах по механике разрушения. В частности, известна модель фиктивной трещины А. Хилерборга [6], в которой тем не менее работа псевдопластических деформаций на первой стадии не учитывается.Основная часть. Входящие в формулу (1) величины можно представить в виде соотвествующих площадей под кривой «σ-ε», показанных на рис. 1. Эти площади математически определяются через следующие интегралы: , ,   (2) , ,      (3) , ,     (4) , ,         (5) , .   (6)Рис. 1. К определению энергозатрат на нагружение бетона при растяжении (а) и при сжатии (б) Данные расчётные выражения были применены для анализа диаграмм деформирования бетона при кратковременном нагружении, которые на примере сжатия представлены в табл. 1. Всего рассмотрено 10 диаграмм [2–4, 7–13]. В формулах табл. 1 недостающие в первоисточнике параметрические точки диаграмм, такие как , приняты по СП 63.13330.2012 [7].В табл. 2 и 3 приведены данные расчёты по формулам (2)–(6) для 10 представленных диаграмм.  Таблица 1Расчётные выражения для анализа диаграмм деформирования бетонапри кратковременном нагружении[Ист.]Расчётное выражение (аппроксимация)Вид диаграммы деформирования бетона (на примере кл. В10)123Трёхлинейная СП 63.1330.2012 [7] , Двухлинейная СП 63.1330.2012 [7] КриволинейнаяЕврокод 2 [8] , , Карпенко Н.И., Соколов Б.С., Радайкин О.В. [3], [4] , ,   Радайкин О.В. [9] , , , ,   продолжение таблицы 1123Мурашкин Г.В. [2] Поповикс [10] , Томашевич [11] с учётом [12] , , , Карейра и Чу [13] , Хогнестад [14]      Таблица 2Энергозатраты1 на деформирование и разрушения бетона при сжатии№ п/пАвтор, ист. , Класс бетона В10 Трехлин. [7]2,2211,0961,1250,750,3460,4930,5070,6850,315 Двухлин. [7]2,0630,9381,1250,750,1880,4550,5450,80,2 Еврокод-2 [8]2,0590,8951,1640,620,2750,4350,5650,6930,307 Карпенко [3]2,3451,1671,1780,730,4370,4980,5020,6260,374 Радайкин [9]2,1161,0711,0450,750,3210,5060,4940,70,3 Мурашкин [2]2,2151,1541,0610,750,4040,5210,4790,650,35 Поповикс [10]1,6940,8710,8230,750,1210,5140,4860,8610,139 Томашевич [11]1,6741,2140,4590,7950,4190,7260,2740,6550,345 Карейра [13]2,0180,9881,030,750,2380,490,510,7590,241 Хогнестад [14,15]1,91410,9140,750,250,5220,4780,750,25Класс бетона В25 Трехлин. [7]5,3322,5572,7751,850,7070,480,520,7230,277 Двухлин [7]5,0882,3132,7751,850,4630,4550,5450,80,2 Еврокод-2 [8]4,9632,5112,4531,8190,6910,5060,4940,7250,275 Карпенко [3]5,5572,7722,7851,850,9220,4990,5010,6680,322 Радайкин [9]5,2172,642,5771,850,790,5060,4940,7010,299 Мурашкин [2]5,2972,6932,6041,850,8430,5080,4920,6870,313 Поповикс [10]3,1621,9961,1661,850,1460,6310,3690,9270,073 Томашевич [11]4,0713,6330,4382,5951,0380,8920,1080,7140,286 Карейра [13]4,8372,6342,4721,850,5140,4890,5110,7820,218 Хогнестад [14,15]4,7212,4672,2551,850,6170,5220,4780,750,25Класс бетона В40 Трехлин. [7]8,1653,8184,352,90,9150,4670,5330,760,24 Двухлин [7]7,9753,6254,352,90,7250,4550,5450,80,2 Еврокод-2 [8]7,5994,2543,3453,1851,0690,560,440,7490,251 Карпенко [3]8,3564,3334,0233,0221,3110,5190,4810,6970,303 Радайкин [9]8,1784,1394,0392,91,2390,5060,4940,7010,299 Мурашкин [2]8,144,12,91,10,4940,5060,7250,275 Поповикс [10]4,3053,0551,2512,90,1550,7090,2910,9490,051 Томашевич [11]6,5546,1690,3854,6751,4940,9410,0590,7580,242 Карейра [13]7,3593,6093,752,90,7090,490,510,8040,196 Хогнестад [14,15]7,4013,8673,5342,90,9670,5220,4780,750,25Примечания: 1 – единицы измерения величин, входящих в таблицу: МПа×10-2.    Таблица 3Энергозатраты1 на деформирование и разрушения бетона при растяжении№ п/пАвтор, ист. , В10 Трехлин. [7]9,7085,4564,254,251,2060,5620,4380,7790,221 Двухлин. [7]9,355,14,254,250,850,5450,4550,8330,167 Карпенко [3]8,0453,634,4152,9210,7090,4510,5490,8050,195 Радайкин [9]10,226,1024,1134,251,8520,5970,4030,6970,303В25 Трехлин. [7]17,3249,5737,757,751,8230,5530,4470,810,19 Двухлин. [7]17,059,37,757,751,550,5450,4550,8330,167 Карпенко [3]15,6367,0158,6215,7781,2370,4490,5510,8240,176 Радайкин [9]18,57211,0967,4767,753,3460,5970,4030,6980,302В40 Трехлин. [7]22,97612,47610,510,51,9760,5430,4570,8420,158 Двухлин. [7]23,112,610,510,52,10,5450,4550,8330,167 Карпенко [3]22,5110,05112,4588,4371,6150,4470,5530,8390,161 Радайкин [9]25,13815,0210,11810,54,520,5970,4030,6990,301Примечания: 1 – единицы измерения величин, входящих в таблицу: МПа×10-5.  Приведённые в табл. 2, 3 числовые данные ниже представлены графически. Нумерация диаграмм на рис. 2 и 3 по оси абсцисс принята, как в этих таблицах. Отдельно для данного класса бетона приведена столбчатая диаграмма, показывающая структуру полных энергозатрат и затрат энергии на деформирование материала на восходящей ветви диаграммы деформирования.Из табл. 2 и рис. 2 следует, что близкие значения по энергозатратам дают диаграммы 1-6 и 9, которые могут быть приняты для дальнейшего изучения и использования в расчётах. Максимальная разница в значениях  между ними для бетона В10 не превышает 16,2 % и она снижается до 13,5 % с увеличением класса до В40. Остальные диаграммы – 7, 8 и 10, – могут быть использованы с большой осторожностью после тщательной проверки и возможной корректировки. Так, разница полных энергозатрат между диаграммой 4 и 8 достигает 40 %. Возможно, что такое отличие обусловлено не вполне правомерной заменой в формулах цилиндрической прочности бетона при сжатии, fck, принятой в иностранных нормах, на призменную, Rbn, принятой в отечественном СП [7]. Сделано это было в данной статье для обеспечения одинаковых исходных данных расчёта по различным методикам. Тем не менее результаты Еврокод-2 [8] после такой замены оказались близкими к данным, полученным по отечественным нормам.Отметим, что диаграммы 1, 2 и 4 включены в один и тот же норматив [7] и рекомендованы к использованию в качестве альтернативы. При этом отличие в  между 1 и 2 хотя и достигает всего 7,6 %, а между 4 и 2 – 13,7 %, однако двухлинейная диаграмма 2 имеет наименьшие энергозатраты на псевдопластические деформации: в 2,32 раза меньше, чем для криволинейной диаграммы 4, и в 1,84 раза, чем для трёхлинейной 1. При этом энергозатраты на упругое деформирование у всех диаграмм практически совпадают. Это свидетельствует о том, что при расчётах конструкций, работающих в эксплуатационной стадии, использование двухлинейной диаграммы 2 может привести к заметным запасам по прогибам и трещиностойкости. Приблизительно об этом говорится в положениях п.п. 6.1.23-6.1.26 СП 63.13330.2012 [7]: для расчёта по прочности и по прогибам после образования трещин, а также при расчёте по раскрытию трещин для сжатой зоны бетона рекомендована двухлинейная диаграмма; для расчёта по образованию трещин, а также для расчёта по прогибам без трещин для сжатого и растянутого бетона – трёхлинейная диаграмма. Однако в свете полученных данных сравнения энергозатрат на псевдопластическое деформирование применять двухлинейную диаграмму для расчётов по второй группе предельных состояний после образования трещин, как это рекомендует СП [7], следует с опаской получить некорректные результаты.Важно отметить, что особенностью диаграмм 1, 4, 5, 6, 7, 9 и 10 является равенство энергозатрат на деформирование и разрушение: . Для остальных диаграмм это условие не соблюдается. Однозначно сказать без экспериментальной проверки, является ли оно критерием правильности построения диаграмм пока не представляется возможным, но определённо, что условие  выполняется для большинства диаграмм (7 из 10), а при сравнении с результатами, полученными с использованием оставшихся диаграмм (2, 3 и 8), разница будет тем больше, чем больше будут отличаться для них  и .Кроме того, из выявленной закономерности  следует, что нельзя пренебрегать ниспадающей ветвью диаграмм в расчётах, так это приводит к неоправданным почти двукратным запасам.  Рис. 2. Структура энергозатрат на деформирование и разрушение бетона различныхклассов при сжатии, МПа×10-2Рис. 3. Структура энергозатрат на деформирование и разрушение бетона различных классов при растяжении, МПа×10-5Итогом всех рассуждений является то, что при сжатии без особых опасений в расчётах железобетонных конструкций по обеим группам предельных состояний можно использовать диаграммы 1, 4, 5 и 6. Их так же можно принять за основу для дальнейшего совершенствования нелинейной деформационной модели. Для остальных же диаграмм требуется тщательная проверка и возможная корректировка. При этом в диаграммах из иностранных литературных источников следует обращать внимание на правомерность замены fck на Rbn, если таковая требуется.Диаграммам деформирования бетона при растяжении исследователями уделяется меньше внимания, поэтому среди сравниваемых их всего 4. Тем не менее из рис. 3 и табл. 3 можно сделать следующие выводы: отличие в полных энергозатратах максимально между диаграммами 3 и 4 и составляет 27,0  % для бетона В10 и 11,7 – для В40. Близкие данные по всем энергозатратам получились для двух- и трёхлинейной диаграммам (1 и 2) – расхождение в пределах 3,8 %, поэтому для моделирования растянутой зоны бетона достаточно применить упрощенную двухлинейную. Диаграмма 3 несколько выпадает из общей логики описания диаграмм: во-первых энергия деформирования  для неё получилась самая низкая, а во-вторых, установлено , в то время как для остальных диаграмм . Причиной этому, скорее всего, является трансформация диаграмм, выполненная в работах [3, 4] для сближения расчётных данных по Mcrc и Mult со СНиП 2.03.01-84*. С одной стороны, это позволило получить достоверные конечные результаты расчёта железобетонных балок по прочности и трещинообразованию, а с другой стороны, несколько отдалило описание диаграммы от общеизвестного представления о том, что сопротивляемость растянутого бетона на ниспадающей ветви должна быть меньше по сравнению с восходящей ветвью.Отметим также, что в целом для всех рассматриваемых диаграмм растяжения условие  не выполняется, как это было выше для случая со сжатием.Таким образом, пока не ясно, какую именно диаграмму растянутого бетона следует рекомендовать для дальнейшего совершенствования нелинейной деформационной модели. Тем не менее при использовании этой модели в современном её виде [7], наиболее походящими является диаграммы 3 и 4, что подтверждают результаты исследований [3, 4, 9].Выводы:1. Проведено сравнение 10-и наиболее распространённых, общепризнанных в нормативной и научной литературе диаграмм деформирования бетона при кратковременном сжатии и 4-х – при кратковременном растяжении – по критерию затрат энергии на деформирование и разрушение. 2. Установлено, что близкие значения по энергозатратам дают диаграммы сжатия под номерами 1–6 и 9 [2, 3,7–9, 13]. Максимальная разница в значениях  между ними для бетона В10 не превышает 16,2 % и она снижается до 13,5 % с увеличением класса до В40. Остальные диаграммы – 7, 8 и 10, – могут быть использованы с большой осторожностью после тщательной проверки и возможной корректировки. Так, разница полных энергозатрат между диаграммой 4 и 8 достигает 40 %.3. Отличие в  между трёх- и двухлинейной диаграммой [7] (под номером 1 и 2) хотя и достигает всего 7,6 %, а между диаграммой [3] (под номером 4) и двухлинейной – 13,7 %, однако последняя имеет наименьшие энергозатраты на псевдопластические деформации: в 2,32 раза меньше, чем для криволинейной диаграммы 4, и в 1,84 раза, чем для трёхлинейной 1.4. Для 7 из 10 рассмотренных диаграмм при сжатии выявлена закономерность, что энергозатраты на деформирование и разрушение материала количественно равны друг другу,  (соответственно равны площади фигур под восходящей ветвью диаграммы и ниспадающей).5. При растяжении отличие в полных энергозатратах максимально между диаграммами [3, 9] и составляет 27,0 % для бетона В10 и 11,7 – для В40. Близкие данные по всем эреногозатратам получились для двух- и трёхлинейной диаграммам [7] – расхождение в пределах 3,8 %, поэтому для моделирования растянутой зоны бетона достаточно применить упрощенную двухлинейную.6. Для дальнейшего совершенствования нелинейной деформационной модели рекомендованы диаграммы сжатия: трёхлинейная [7], криволинейные [2, 3, 9]. При растяжении пока не ясно, какую именно диаграмму следует рекомендовать для этих целей. Тем не менее при использовании рассматриваемой модели в современном её виде [7] для инженерных расчётов наиболее походящими является диаграммы [3, 9].