Конструкции подавляющего большинства динамических центробежных сепараторов имеют устройства для равномерного распределения материала в зоне сепарации [1, 2, 3, 4, 5]. Эти устройства могут придавать необходимые скорости частицам материала при их попадании в газовую среду зоны сепарации, влиять на кинематические и динамические характеристики поступающих с распределительных устройств частиц. Это дает дополнительные возможности по управлению процессом сепарации и его эффективностью [6,7]. В этой связи установление взаимосвязи скоростных параметров поступающих в зону сепарации частиц материала с параметрами конструкции распределительных устройств, частотой их вращения, способом и местом подачи частиц, коэффициентом их трения о поверхность приобретает существенную практическую значимость. Распределительные устройства имеют конструктивные отличия. Наиболее часто они выполняются в виде вращающегося конуса [8]. Определению скоростных параметров взаимодействующих с распределительным устройством частиц посвящено достаточно много работ, однако в предлагаемых описаниях имеются определенные недостатки. К примеру, в работах [9,10] обязательным условием для определения скорости частицы является необходимость в определении времени нахождения частицы на поверхности вращающегося устройства экспериментальным способом. В связи с этим разработка математического описания для определения скорости движения частицы по вращающемуся конусу является актуальной.Рассмотрим движение частицы материала массой m по поверхности вращающегося с частотой ω конуса. Траектория движения частицы по внешней его поверхности, очевидно, будет представлять собой коническую спиральную линию или участок такой линии с переменным расстоянием r от оси вращения (рис. 1).Согласно представленной на рис. 1 расчетной схеме, спиральную траекторию движения частицы в плоскости, перпендикулярной оси вращения, можно описать следующим соотношениями:x=rcosφ  ,                       (1)y=rsinφ  ,                       (2)где угол поворота φ  отсчитываемый от положительного направления оси ОХ с частотой вращения конуса связан следующим соотношением:φ=ωt  ,                             (3)здесь t – текущее время.Для описания движения частицы материала вдоль образующей конуса введем двумерную декартовую систему координат ζ;О;η  с началом в точке О1 согласно расчетной схеме, представленной на рис. 2.Пусть в некоторый произвольный момент времени частица материала на поверхности вращающегося конуса имеет следующие параметры r,z и ζ , которые согласно схеме на рис. 2 связаны между собой и геометрическими размерами конуса, следующими соотношениями:r=r0(1-z/h0) ,                   (4)z=h0(1-ζ/L0) .                   (5)Примем, что на частицу материала, находящуюся на внешней поверхности вращающегося конуса действуют следующие силы: вес частицы P, сила реакции опоры N, центробежная сила Fц и сила трения о поверхность конуса.  Рис. 1. Представление траектории движениячастицы материала по вращающейся поверхности конуса Пусть в некоторый произвольный момент времени частица материала на поверхности вращающегося конуса имеет следующие параметры r,z и ζ , которые согласно схеме на рис. 2 связаны между собой и геометрическими размерами конуса, следующими соотношениями:r=r0(1-z/h0)  ,                    (4)z=h0(1-ζ/L0)  .                    (5)  Рис. 2. Расчетная схема для описания движения частицы материала в неподвижной системе координат ζ;О1;η  Примем, что на частицу материала, находящуюся на внешней поверхности вращающегося конуса действуют следующие силы: вес частицы P, сила реакции опоры N, центробежная сила Fц и сила трения о поверхность конуса.Проекция этих сил на ось О1η  позволяет получить следующее соотношение: N+mω2rcosγ-mgcosπ/2-γ=0,                                              (6) где γ  – значение угла образованного направляющей конуса с осью Оz ; m – масса частицы материала; g – ускорение свободного падения.Угол γ  определяется через параметры конуса и выражается согласно соотношениям:cosγ=h0/L0  ,                          (7)sinγ=r0/L0 .                             (8)На основании (6) находим, что величина силы реакции опоры будет определяться соотношением:N=mgsinγ- mω2rcosγ  .           (9)Уравнение движения частицы материала в системе координат ζ;О1;η,  связанной с вращением конической поверхности, будет иметь следующий вид: md2ζdt2=mgcosγ+mω2r sinγ-fN,                                                    (10)  где f  – коэффициент трения скольжения.Подстановка в (9) с учетом (4), (5), (7), (8) в (10) позволяет получить следующее уравнение: d2ζdt2=gh0L0+ω2r02L02ζ-fgr0L0-ω2r0h0L02ζ.                                             (11)    Введем следующие обозначения:A=ω2r02L021+fh0r0 ,                       (12) B=gh0L01-fr0h0 .                   (13) C учетом введенных обозначений уравнение (11) принимает вид:d2ζdt2-Aζ=B.                   (14) Общее решение дифференциального уравнения (14) имеет вид:ζt=C1e-At+C2eAt-B/A ,    (15) где C1 и C2  – постоянные интегрирования, значения которых можно найти исходя из следующих начальных условий:t=0,  ζ0=LH,                (16) t=0,  dζ0dt=0.                (17) где LH  – расстояние от вершины конуса до начальной точки, с которой частица начинает движение по поверхности конуса.Применение (17) и (15) приводит к соотношению:C2-C1=0                          (18)Подстановка (18) и (15) позволяет получить выражение:ζt=2C1chA t-B/A .        (19) Применив (16) к (19) позволяет получить окончательно следующий результат:2C1-BA=LH.                      (20) Подстановка (20) в (19) позволяет получить окончательно следующий результат:ζt=LH+B/A chA t-B/A .  (21) На основании (5) с учетом (21) можно найти изменение z – координаты частицы материала при движении по вращающейся поверхности конуса: zt=h01-LHL0+BL0AchA t-BL0A.                                 (22)  Согласно полученному соотношению (22) можно найти tд  – время движения частицы материала по поверхности вращающегося конуса, а именно:t=tд,  ztд=0               (23) Применив (23) к соотношению (22) получаем следующее уравнение для определения значения tд :1+BL0A=LHL0+BL0A chA tд    (24) Решая уравнение (26) относительно величины tд  находим:tд=1A arcchL0+B/ALH+B/A .         (25) Найдем изменение проекций скоростей частицы материала в плоскости, перпендикулярной оси вращения конуса υx  и υy . C учетом (3) – (13) соотношения (1) и (2) принимают вид:x=r0ζL0 cosωt,                  (26) x=r0ζL0 sinωt,                  (27) На основании (26) и (27) находим: υx=dxdt=r0L0 dζdt cosφ-r0L0ωζsinφ,                                            (28) υy=dydt=r0L0 dζdtsinφ+r0L0ωζ cosφ,                                           (29)  Связь между компонентами скоростей в полярной – υr, υφ  и декартовой – υx, υy  системах координат определяется следующими соотношениями:υr =υx cosφ+υysinφ,                 (30) υφ =-υxsinφ+υy cosφ.         (31) Подстановка (28) и (29) в (30) и (31) позволяет получить следующий результат: υr=r0L0 dζdt cos2φ-r0L0ωζsinφcosφ+r0L0 dζdt sin2φ+r0L0ωζsinφcosφ =r0L0dζdt        (32) υφ=-r0L0 dζdtsinφcosφ+r0L0ωζsin2φ+r0L0dζdtsinφcosφ+r0L0ωζcos2φ=r0L0ωζ.      (33)  Подстановка (21) в (32) и (33) с учетом (12) и (13) позволяет окончательно получить следующий результат: υr=r02L02ω1+fh0r0 LH+gh0L01-fr0h0ω2r21+fh0r0 shr0L01+fh0r0ωt,                 (34) υφ=r0L0ωLH+gh0L01-fr0h0ω2r21+fh0r0chr0L01+fh0r0ωt-gh0L0 1-fr0h0ω2r2 1+fωh0.        (35)  Таким образом, полученные аналитические соотношения (34) и (35) определяют изменение компонент скорости движения частицы материала по внешней поверхности вращающегося конуса с частотой ω  в зависимости от параметров конуса r0 , h0  и расстояния от его вершины до начального положения частицы – LH .С использованием полученного математического описания были получены графические зависимости от параметра LH и текущего времени t составляющих скоростей движения частицы мергеля υr   и υφ  по вращающейся поверхности конуса распределительного устройства промышленного центробежного сепаратора с диаметром корпуса 4 м (рис. 3). Зависимости построены при  следующих конструктивно-технологических параметрах сепаратора: ω=4 с-1 ; r0=0,275 м ; h0=0,26 м ;             L0=0,378 м  и коэффициенте трения f=0,3 .Функциональные зависимости (34) и (35) являются возрастающими. Приведенные на рис. 3 графические зависимости характеризуются выраженным нелинейным характером изменения υr   и υφ  от t. Значения радиальной составляющей скорости υr  превышают  значения тангенциальной составляющей скорости υφ  для всех рассматриваемых интервалов значений LH  и t. Так, при LH  = 0,1 м и времени t1 = 0,2 с;          t2 = 0,4 с; t3 = 0,6 с радиальная составляющая скорости принимает значения υr1  = 1,12 м/с, υr2  = 2,77 м/с, υr3  = 6,05 м/с; а тангенциальная составляющая - υφ1 = 0,56 м/с, υφ2  = 1,87 м/с, υφ3  = 4,49 м/с. При увеличении расстояния между вершиной конуса и начальным положением частицы до LH  = 0,3 м и указанных значениях времени радиальная составляющая скорости принимает значения υr4  = 1,54 м/с, υr5  = 3,79 м/с, υr6  = 8,20 м/с; а тангенциальная составляющая - υφ4 = 1,17 м/с, υφ5  = 2,83 м/с, υφ6  = 6,59 м/с. Превышения значений υr  над υφ  составляют для первого рассмотренного случая соответственно 50%, 67 % и74 %; для второго - 76 %, 74 % и 80 %.        а)                                                                         б)      t, с  LH, м        t, с  LH, м        𝜐𝜑, м/с  𝜐r, м/с   Рис. 3. Зависимости составляющих скоростей движения частицы мергеля  по вращающейся конической поверхности от t  и LH : а) - 𝜐𝜑;  б) - 𝜐r  Приведенное математическое описание дает возможность определить на поверхности вращающегося конуса значения скорости частицы материала и ее составляющих. Его применение целесообразно при проектировании конических распределительных устройств, оптимизации процессов разделения порошковых материалов в динамических центробежных сепараторах.