Описывается взаимодействие популяций хищников и жертв на пространственно неоднородном двумерном ареале. Модель записывается в виде системы нелинейных уравнений параболического типа для двух близкородственных популяций хищников и двух популяций жертв, конкурирующих за общий ресурс. Показано, что при определенных соотношениях между параметрами и переменной по ареалу функции ресурса, модель принадлежит к классу косимметричных динамических систем. В этом случае возникает непрерывное семейство стационарных распределений сосуществующих популяций. Вычислительный эксперимент основан на методе прямых и схеме смещенных сеток. Для аппроксимации по пространственным переменным задачи на прямоугольном ареале используется метод баланса. Представлены результаты, демонстрирующие возможности модели для описания формирования стационарных распределений популяций. Изучено формирование биологических структур при неоднородности параметров роста, проанализированы условия сосуществования близкородственных видов.
популяционная динамика, метод прямых, нелинейные параболические уравнения, косимметрия.
УДК 519.63
Численное исследование сосуществования популяций в одной экологической нише[1]
А. В. Будянский, М. Г. Кругликов, В. Г. Цибулин
Описывается взаимодействие популяций хищников и жертв на пространственно неоднородном двумерном ареале. Модель записывается в виде системы нелинейных уравнений параболического типа для двух близкородственных популяций хищников и двух популяций жертв, конкурирующих за общий ресурс. Показано, что при определенных соотношениях между параметрами и переменной по ареалу функции ресурса, модель принадлежит к классу косимметричных динамических систем. В этом случае возникает непрерывное семейство стационарных распределений сосуществующих популяций. Вычислительный эксперимент основан на методе прямых и схеме смещенных сеток. Для аппроксимации по пространственным переменным задачи на прямоугольном ареале используется метод баланса. Представлены результаты, демонстрирующие возможности модели для описания формирования стационарных распределений популяций. Изучено формирование биологических структур при неоднородности параметров роста, проанализированы условия сосуществования близкородственных видов.
Ключевые слова: популяционная динамика, метод прямых, нелинейные параболические уравнения, косимметрия.
Введение. Изменение и сокращение среды обитания биологических популяций в современном мире вызывает миграцию животных и приводит к смещению экологических равновесий. В процессе жизнедеятельности биологических видов образуются зоны совместного обитания (сосуществования) популяций,
1. Гаузе, Г. Ф. Борьба за существование / Г. Ф. Гаузе. Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. 234 с.
2. Бигон, М. Экология. Особи, популяции и сообщества / М. Бигон, Дж. Харпер, К. Таунсенд. Москва : Мир, 1989. 1144 с.
3. Белотелов, Н. В. Популяционные модели с нелинейной диффузией / Н. В. Белотелов, А. И. Лобанов // Математическое моделирование. 1997. Т. 9, № 12. C.43-56.
4. Юдович, В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции / В. И. Юдович // Математические заметки. 1991. T. 49, № 5. C.142-148.
5. Yudovich, V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosym-metry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. Chaos, 1995.V.5 №2.P.402-411.
6. Govorukhin, V. Computer experiments with cosymmetric models. Z. Angew. Math.Mech, 1996. V. 76.P. 559-562.
7. Banegje, M., Petrovski, S. Self-organised spatial patterns and chaos in a ratio-depended predator-prey system.J. Theor. Biol. 2011. V. 4. P.37-53.
8. Xue,L. Patternformationinapredator--preymodelwithspatialeffect.PhysicaA. 2012. V. 391. P. 5987-5996.
9. Будянский, А. В. Моделирование пространственно-временной миграции близкородственных популяций / А. В. Будянский, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т.3, №4. С. 477-488.
10. Мишугова, Г. В. Моделирование процесса загрязнения атмосферы / Г. В. Мишугова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. 2012. №8 (69). С. 12-17.
11. Заковортный, В. Л. Моделирование эволюции динамической системы, взаимодействующей со средой / В. Л. Заковоротный, Фам Дин Тунг // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. 2006. T. 6, № 3 (30). С. 184-200.
12. Kovaleva, E. S., Frischmuth, K., Tsybulin, V. G. Dynamics of nonlinear parabolic equations with cosymmetry.Computer Algebra in Scientific Computing, CASC, 2007. P. 265-274.
13. Frischmuth, K., Kovaleva, E. S., Tsybulin, V. G. Family of equilibriain a population kinetics model and its collapse. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011. Vol. 12. P. 146-155.
14. Murray, J. D. Mathematical Biology II. Spatial models and Biomedical Applications / J. D. Murray. - Springer-Verlag, 2003. - 1082 p.
