Россия
Представлены новые расчетные зависимости для выражения «неберущихся» эллиптических интегралов через элементарные функции (с погрешностью до 1–2%) при решении различных инженерных задач гидро- и аэродинамики, строительной физики, теории фильтрации, механики сплошной среды, теплодинамики и др. В частности, на основе приближенно-гидромеханического решения получены аналитические зависимости для непосредственного подсчета значении неполных эллиптических интегралов 2-го рода. При этом область определения их расширена с единичного интервала вещественной оси на всю числовую ось и на верхнюю комплексную полуплоскость, что открывает новые возможности для исследований более сложных задач инженерной практики.
эллиптические интегралы, полный эллиптический интеграл, неполный эллиптический интеграл, комплексная переменная, конформные отображения, длина эллипса.
Эллиптические (неполные) интегралы 1-го и 2-го рода, F(ϕ,λ) и (ϕ,λ), соответственно, в функции от комплексной амплитуды ϕ = ϕ1 + iϕ2 и модуля интеграла λ = sinα, где ϕ1, ϕ2 — координаты комплексной полуплоскости (рис. 1, г) и α — модулярный угол, широко используются при решении множества инженерных задач гидро- и аэродинамики, строительной физики, теории фильтрации, механики сплошной среды, теплодинамики и др. [1–3] В то же время рассматриваемые интегралы в общем виде не выражаются через элементарные функции («неберущиеся»), и вычисление их значений представляет собой трудоемкую задачу, связанную с итерационными подсчетами по методам понижающего преобразования Ландена, арифметико-геометрического среднего и др. [1, 3, 4] Для практических же расчетов их значений составлены специальные графики и таблицы (впервые, еще Лежандром в 1830-х гг.), в которых амплитуда (в градусах) ϕ0 = arcsinϕ и модулярный угол α изменяются через интервалы: 1°, 2°, 5° и др. [3–5] Пользование же последними вызывает затруднения, связанные с необходимостью применения нелинейной интерполяции по двум направлением [4] и т.д. При этом значения эллиптических интегралов определяются только лишь на единичном интервале вещественной оси АВ ( 0 ≤ ϕ1 ≤ 1, ϕ2 = 0) без возможности нахождения их во всей комплексной полуплоскости ϕ = ϕ1 + iϕ2 (см. рис. 1, г). Указанное существенно ограничивает возможности выявления внутренних взаимосвязей исходных факторов в рассматриваемых задачах и оценки их влияния на итоговые результаты решения, что сдерживает дальнейшее развитие аналитических методов исследований более сложных задач и т.д.
1. Анахаев К.Н. О методах расчета потенциальных (фильтрационных) потоков на основе эллиптических интегралов Якоби // Гидротехническое строительство. 2008. № 8. С. 7-9.
2. Анахаев К.Н. О совершенствовании гидромеханических методов расчета потенциальных (фильтрационных) потоков // Инженерные системы - 2009. Тр. междунар. науч.-практ. конф. Т. 2. М.: РУДН, 2009. С. 588-595.
3. Волковинский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1975. 319 с.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
5. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. Киев: Наукова думка, 1970. 252 с.
6. Милн-Томпсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям: пер. с англ. М.: Наука, 1979. С. 401-441.
7. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций (с приложениями к механике). М.-Л., 1936. 365 с.
8. [8] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: пер. с нем. М.: Наука, 1977. 342 с.
