Кассель, Германия
Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией, и они составляют одну сопряженную пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Данная работа, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряженных парах «реальное — мнимое». Исследование ведется, как правило, от простого к сложному, от частного к общему. Вращение окружности вокруг произвольной оси образует в общем случае поверхность четвертого порядка. Среди поверхностей четвертого порядка стоит круговой тор и как частный случай тора — сфера. Тор получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера. Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор — с яблоком. Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина. Далее рассматривается мнимое сопровождение тора. В конце статьи рассматривается сфера и ее мнимое сопровождение. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я. Штейнер, называя их «иероглифами анализа». Но мнимые образы существуют помимо формул анализа — они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В. Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.
вращение, ось, окружность, сфера, тор, мнимое сопровождение, сингулярность, двойные точки.
Введение
Исследование ведется, как правило, от простого к сложному, от частного к общему. Вращение окружности вокруг произвольной оси образует в общем случае поверхность четвертого порядка. Среди поверхностей четвертого порядка стоит круговой тор и как частный случай тора — сфера [1; 4; 5; 7–10; 12].
1. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
2. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия [Текст]: учеб. пособие / С.С. Бюшгенс. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 304 с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1975. - 872 с.
4. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. - DOI: 10.127/12163.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдо- евклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2013. - 216 с.
6. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - С. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
7. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 213 с.
8. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст]: монография / Ф. Клейн. - М.: УРСС, 2004. - 400 с.
9. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]: монография: в 2 т. / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. - Т. 2. Геометрия. - 416 с.
10. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст]: учеб. пособие / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2007. - 104 с.
11. Антон Георгиевич Гирш (Dr. A. Hirsch). - URL: http:// www.anhirsch.de/
12. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов [Текст] / М. Шаль. - М., 1883. - 311 с.
