Geometry & Graphics Geometry & Graphics Геометрия и графика 2308-4898 14084 10.12737/22840 Научные проблемы геометрии Scientific problems of geometry Научные проблемы геометрии Graphic Reconstruction Algorithms of the Second-Order Curve, Given by the Imaginary Elements Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами Короткий Виктор Анатольевич Korotkiy Viktor Anatol'evich ospolina@mail.ru

доктор технических наук;

doctor of technical sciences;

 Гирш А. Г. Girsh A. G.

доктор технических наук;

doctor of technical sciences;

 Южно-Уральский государственный университет Челябинск Россия South Ural State University Chelyabinsk Russian Federation Кассельский университет Кассель Германия Кассельский университет Кассель Germany 19 12 2016 19 12 2016 4 4 19 30 https://naukaru.ru/en/nauka/article/14084/view

Кривые второго порядка применяются в качестве формообразующих элементов при проектировании технических устройств и архитектурных сооружений. При этом может возникать потребность в решении задачи реконструкции. Реконструкцией называют определение главных осей и асимптот кривой второго порядка по ее неполному изображению, содержащему n точек и m касательных (n + m = 5). В графических системах CAD не предусмотрена возможность построения кривой второго порядка, заданной действительными и мнимыми точками и касательными. Поэтому реконструкция кривой второго порядка не может быть выполнена стандартным набором средств компьютерной графики. В статье предлагаются геометрически точные алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной смешанным набором действительных и мнимых элементов. Для конструктивной реализации алгоритмов разработан специализированный пакет программ. Мнимые геометрические образы попарно сопряжены, поэтому существует всего семь возможных сочетаний исходных данных с участием мнимых элементов: пять точек, две из которых мнимые; пять точек, четыре из которых мнимые; три действительные точки, две мнимые касательные; действительная точка, четыре мнимые касательные; действительная точка, две мнимые точки, две мнимые касательные; действительная точка, две мнимые точки, две действительные касательные; две действительные точки, две мнимые точки, действительная касательная. Для решения задачи реконструкции используется основное свойство полярного соответствия: если P и p – полюс и поляра относительно конического сечения g, то гармоническая гомология с центром P и осью p преобразует кривую g в себя. Рассмотрен способ решения, основанный на проективном преобразовании искомого конического сечения в окружность. Показано, что в некоторых случаях для решения задачи требуется применять квадратичное инволюционное преобразование, установленное на плоскости пучком конических сечений. Разработанная методика и пакет программ расширяют возможности компьютерного геометрического моделирования процессов, происходящих с участием кривых второго порядка.

Second-order curves are used as shape-generating elements in the design of technical devices and architectural structures. In such a case, a need for reconstruction task solution may emerge. The reconstruction is called the definition of the main axes and asymptotes of the second-order curve by its incomplete image containing n points and m tangents (n + m = 5). In CAD graphical systems there is no possibility for construction of the second order curve, given by real and imaginary points and tangents. Therefore, the second-order curve reconstruction cannot be made with the standard set of computer graphics tools. In this paper are proposed geometrically accurate algorithms for reconstruction of the secondorder curve, given by a mixed set of real and imaginary elements. A specialized software package has been developed for constructive realization of these algorithms. Imaginary geometric images are pair-conjugated, so there are only seven possible combinations of given data with imaginary elements participation: five points, two of which are imaginary ones; five points, four of which are imaginary ones; three real points, two imaginary tangents; a real point, four imaginary tangents; a real point, two imaginary points, two imaginary tangents; a real point, two imaginary points, two real tangents; two real points, two imaginary points, a real tangent. For reconstruction problem solution is used the main property of polar matching: if P and p are the pole and polar relative to the conic g, the harmonic homology with center P and axis p transforms the curve g in itself. The method of solution based on projective transformation of required conic into a circle. It has been shown that in some cases for reconstruction problem solution its necessary to apply the quadratic involution conversion, resting on plane by a conic beam. The developed technique and software package expand the capabilities of the computer geometric simulation for processes occurring with the second-order curves participation.

 гармоническая гомология эллиптическая инволюция поляритет пучок конических сечений автополярный треугольник квадратичная инволюция harmonic homology elliptic involution polarity conic beam autopolar triangle quadratic involution

Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В. Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - C. 3-15. - DOI: 10.12737/10453. Volkov V.Ya. Elementy matematizatsii teoreticheskikh osnov nachertatel´noy geometrii [elements mathematization of the theoretical foundations of descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 1, pp. 3-15. DOI: 10.12737/10453. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация [Текст]: монография / Д.В. Волошинов. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie. Teoriya, praktika, avtomatizatsiya [Constructive geometrical modeling. Theory, practice, automation]. Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2010. 355 p. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О.А. Вольберг. - М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 с. Vol´berg O.A. Osnovnye idei proektivnoy geometrii [Basic ideas of projective geometry]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1949. 188 p. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов [Текст] / Я.Л. Геронимус. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. - 399 с. Geronimus Ya.L. Geometricheskiy apparat teorii sinteza ploskikh mekhanizmov [Geometric theory of machine synthesis of planar mechanisms]. Moscow, Fiziko-matematicheskaya literature Publ., 1962. 399 p. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с. Girsh A.G. Naglyadnaya mnimaya geometriya [Transparent imaginary geometry]. Moscow, IPTs «Maska» Publ., 2008. 216 p. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2013. - 216 с. Girsh A.G. Kompleksnaya geometriya - evklidova i psevdoevklidova [Complex geometry - Euclidean and pseudo-Euclidean]. Moscow, IPTs «Maska» Publ., 2013. 216 p. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - C. 3-8. - DOI: 10.12737/5583. Girsh A.G. Mnimosti v geometrii [Imaginaries in Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, V. 2, I. 2, pp. 3-8. DOI: 10.12737/5583. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 3. - C. 4-17. - DOI: 10.12737/14415. Girsh A.G. Fokusy algebraicheskikh krivykh [Focuses algebraic curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 3, pp. 4-17. DOI: 10.12737/14415. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 343 с. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963. 343 p. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric modeling]. Moscow, Fiziko-matematicheskaya literatura Publ., 2012. 472 p. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с. Ivanov G.S. Konstruirovanie tekhnicheskikh poverkhnostey. Matematicheskoe modelirovanie na osnove nelineynykh preobrazovaniy [Construction of technical surfaces. Mathematical modeling based on nonlinear transformations]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987. 192 p. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 3. - C. 3-6. - DOI: 10.12737/6518. Ivanov G.S. Konstruktivnyy sposob issledovaniya cvoystv parametricheski zadannykh krivykh [A constructive way to explore the Properties of parametrically defined curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, V. 2, I. 3, pp. 3-6. DOI: 10.12737/6518. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - C. 3-8. - DOI: 10.12737/12163. Ivanov G.S. O zadachakh nachertatel´noy geometrii s mnimymi resheniyami [On the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 2, pp. 3-8. DOI: 10.12737/12163. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. - М.: УРСС, 2004. - 400 с. Kleyn F. Vysshaya geometriya [Higher geometry]. Moscow, URSS Publ., 2004. 400 p. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. - 416 с. Kleyn F. Elementarnaya matematika s tochki zreniya vysshey [Elementary mathematics from the point of view of the highest]. Moscow, Nauka Publ., 1987, V. 2, 416 p. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость [Текст] / Х.С.М. Кокстер. - М.: Физматлит, 1959. - 280 с. Kokster Kh.S.M. Deystvitel´naya proektivnaya ploskost´ [The real projective plane]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1959. 280 p. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2014. - № 11. - С. 20-24. - DOI: 10.14489/ issn.1810-7206. Korotkiy V.A. Sinteticheskie algoritmy postroeniya krivoy vtorogo poryadka [Synthetic algorithms for constructing a second-order curve]. Vestnik komp´yuternykh i informatsionnykh tekhnologiy [Herald of computer and information technologies]. 2014, I. 11, pp. 20-24. DOI: 10.14489/issn.1810-7206. Короткий В.А. Проективное построение коники [Текст] / В.А. Короткий. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2010. - 94 с. Korotkiy V.A. Proektivnoe postroenie koniki [The projected construction of conic]. Chelyabinsk, YuUrGU Publ., 2010. 94 p. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений / В.А. Короткий // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». - 2013. - № 1. - С. 9-14. Korotkiy V.A. Kvadratichnoe preobrazovanie ploskosti, ustanovlennoe puchkom konicheskikh secheniy [Quadratic transformation of the plane, set beam conic sections]. Omskiy nauchnyy vestnik. Seriya «Pribory, mashiny i tekhnologii» [Omsk Scientific Bulletin. Series "devices, machines and technology"]. 2013, I. 1, pp. 9-14. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2000. - 344 с. Peklich V.A. Vysshaya nachertatel´naya geometriya [Higher descriptive geometry]. Moscow, ASV Publ., 2000. 344 p. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2007. - 104 с. Peklich V.A. Mnimaya nachertatel´naya geometriya [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, ASV Publ., 2007. 104 p. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011. Programma dlya EVM «Postroenie krivoy vtorogo poryadka, prokhodyashchey cherez dannye tochki i kasayushcheysya dannykh pryamykh» [The computer program "Building a second order curve through the data points and data relating to direct"]. Svidetel´stvo o gosudarstvennoy registratsii № 2011611961 ot 04.03.2011 g. [Short Certificate of state registration number 2011611961 from 04.03.2011]. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - C. 22-23. DOI: 10.12737/465. Savel´ev Yu.A. Grafika mnimykh chisel [Graphic imaginary numbers]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 22-23. DOI: 10.12737/465. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - C. 44-54. - DOI: 10.12737/18057. Sal´kov N.A. Nachertatel´naya geometriya - baza dlya geometrii analiticheskoy [Descriptive Geometry - the base for geometry analysis]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 44-54. DOI: 10.12737/18057. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева [и др.] // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3/4. - C. 8-12. - DOI: 10.12737/2124. Seregin V.I. Mezhdistsiplinarnye svyazi nachertatel´noy geometrii i smezhnykh razdelov vysshey matematiki [Interdisciplinary communication descriptive geometry and adjacent sections of higher mathematics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 3/4, pp. 8-12. DOI: 10.12737/2124. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] / Ф.М. Суворов. - Казань: Типография императорского университета, 1884. - 130 с. Suvorov F.M. Ob izobrazhenii voobrazhaemykh tochek i voobrazhaemykh pryamykh na ploskosti i o postroenii krivykh liniy vtoroy stepeni, opredelyaemykh s pomoshch´yu voobrazhaemykh tochek i kasatel´nykh [On image imaginary imaginary points and lines in the plane and on the construction of curves of the second degree, as determined by the imaginary points and tangents]. Kazan´, Tipografiya imperatorskogo Universiteta Publ., 1884. 130 p. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве [Текст] / М. Пратт, А. Фокс. - М.: Мир, 1982. - 304 с. Foks A. Vychislitel´naya geometriya. Primenenie v proektirovanii i na proizvodstve [Computational geometry. The application in the design and production]. Moscow, Mir Publ., 1982. 304 p. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера [Текст] / Л.И. Плисс, Е.В. Шикин. - М.: ДиалогМИФИ, 1996. - 240 с. Shikin E.V. Krivye i poverkhnosti na ekrane komp´yutera [The curves and the surface on the computer screen]. Dialog-MIFI Publ., 1996. 240 p.