Введение. Одна из современных проблем производства – замена старого оборудования, которое изнашивается, теряя производительность и стоимость, морально устаревает. Необходимо составить план замены и ремонта оборудования на заданный период его работы. Такой план – управляемая, оптимальная стратегия за это время. Постановка задачи управляемой оптимизации – наиболее полное и приближенное к реальности описание производственного процесса [1].Принцип оптимальности Беллмана в задаче динамического программирования в наибольшей мереслужит обобщенным математическим описанием таких задач [2, 3, 4] При такой постановке достаточно просто вносить изменения в задачу: в целевую функцию, в структуру вектора управления, в ограничения задачи.За основу математической модели исследованиявыбрана модель задачидинамического программирования и составлено функциональное уравнение. Рассмотрим модельный пример классической задачи динамического программирования:оборудование эксплуатируется 5 лет (этапы с k=1 по k=5);состояние системы определяет параметр tk– возраст оборудования;стоимость покупки и замены нового оборудования – 40 тыс. руб.; годовой выпуск продукции R(tk) – в стоимостном выражении;ежегодные затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудованияZ(tk);замененное оборудование списывается. Управление:u1 – решение о сохранении оборудования, u2 – оборудование заменяется новым.Для решения применим функциональное уравнение Беллмана: Такая постановка задачидает возможность вносить различные модификации.На первом шаге предлагается продавать замененное оборудование по цене (R(tk)-Z(tk)), умноженной на процент (скидку). Например, 70% от (R(tk)-Z(tk)).Величина (R(tk)-Z(tk)) – ориентир цены оборудования, возраст которого – tk, где k – номер года или номер этапа в многошаговом процессе.Для покупки оборудованиянеобходимо сделать скидку – продать его по цене (R(tk)-Z(tk))p, 0<p<1, p – коэффициент уценки при продаже.Размер процента скидки при продаже p – входная величина в реализуемой программе. Далее устанавливаемое оборудование может быть не новым и приобретенным по цене ((R(tk)-Z(tk))q, 0<q<1. Здесь q – коэффициент уценки при покупке и задается на входе. Оборудование, бывшее в употреблении, дешевле нового, продажа замененного оборудования так же вносит добавку в прибыль. В вектор управления необходимо добавить новые компоненты – возраст устанавливаемого оборудования (не нового). Структура управления становится более сложной и реалистичной. При многочисленных испытаниях программы эффект «проклятия размерности» не проявляется.Цель исследования – расширение поставленной задачи динамического программирования с использованием набора различных модификацийУсловия, материал и методы. Рассмотрим функциональное уравнение Беллмана для задачи о замене оборудования: где u1– оборудование не меняется, u2 – оборудование заменяется на новое, С – стоимость замены и покупки нового оборудования, Fk(tk) – функция Беллмана – суммарная прибыль, полученная начиная сk-го до последнего года эксплуатации оборудования, R(tk) – годовой выпуск продукции в стоимостном выражении, Z(tk) – ежегодные затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования. Возможны три модификации задачи о замене оборудования.1. Замененное можно не выбрасывать, а продать по цене (Rk(tk)-Zk(tk))p, где p – коэффициент уценки 0<p<1.Функциональное уравнение Беллмана соответственно модифицируется: Очевидно, что значение целевой функции увеличится.2. Можно увеличить прибыль, если покупать не новое оборудование.Например, однолетнее u3, двухлетнее u4, трехлетнее u5.Очень старое оборудование, в нашем примере возрастом более 3-х лет, наверное, покупать не стоит, хотя все зависит от значений функций Rk(tk), Zk(tk) – производительности и затрат на ремонт и обслуживания соответственно, tk– возраст оборудования к началу k-го года.Уравнение Беллмана примет вид: Следует учесть, что компонента C состоит из двух слагаемых: первое (Rk(tk)-Zk(tk))q – стоимость покупки не нового оборудования возраста tk, или нового плюс продажа старого оборудования (Rk(tk)-Zk(tk))p, где p,q – коэффициенты оценки 0<q<1, q<p; второе– стоимость установки оборудования.Вектор управления (u1,u2,u3,u4,u5) – содержит пять компонент.3. Возможно добавление еще одной компоненты в вектор управления u6 – «омолаживающий» ремонт оборудования. После такого ремонта возраст оборудования становится, например, на год меньше. Затраты на ремонт берутся из графика зависимости полученной прибыли от стоимости ремонта, построенного по результатам прогонов программы: Автоматизация расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования [5].Объединение рассмотренных модификаций в одно целое представляют собой математическую модель задачи о замене оборудования, которая положена в основу программыавтоматизации расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования.Исходные данные, представленныенарисунке 1, могут быть взяты, например, из обработанных статистических данных работы оборудования на предприятии. В нашей работе были взяты тестовые данные, наиболее полно раскрывающие специфику задачи, полученные в результате нескольких прогонов программы. Рис. 1 – Исходные данныеФункции Z(t) и R(t)аппроксимированы из результатов наблюдений или из законов теории надежности, могут быть заданы в аналитическом виде.Дополнительные данные, которые вводятся в таблице на рисунке 2, определяют расширение задачи, по сравнению с модельной.Дополнительные данные определяют вариативность условий установки, продажи старого и покупки устанавливаемого оборудования. Рис. 2 – Дополнительные данныеПериод эксплуатации оборудования выбирается обычно в интервале 5…10 лет. При более длительной работе оно морально устаревает, сильно изнашивается, накапливаются усталостные эффекты [6].Понижающий коэффициент продажи старого оборудования считается меньшим, чем для покупки не нового оборудования, что может быть связано, например, с предпродажной подготовкой(это не абсолютное утверждение). Программаавтоматизации расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования отработает и другие варианты величинуказанных коэффициентов.Затраты на приобретение и установку оборудования могут быть разделены.Результаты и обсуждение. Результатом работы программы служит построение сетевого графа, отражающего вариативность оптимальных планов управления. В функциональном уравнении Беллмана управление выбирается путем расчета максимума целевой функции. Её одинаковые значения возможны при разных вариантах управлениях. В результате получаются разветвления в управляющей стратегии, приводящие к одинаковым значениям целевой функции. Такое разнообразие вариантов управления позволяет проанализировать его стратегию и осуществить выбор, учитывая, например, ранее не рассмотренные факторы [7-10].Кроме того, для каждой итерации расчёта составляются таблицы условно оптимальных решений и системы функциональных уравнений Беллмана [11, 12]. Это позволяет контролировать реализацию и отладку вычислительного алгоритма в программе, а также изменять структуру входных данных.В качестве дополнительного функционала впрограмме,возможно,строить график зависимости полученной прибыли от стоимости ремонта оборудования, выраженной в условных единицах. На основе его анализа можно определить, при какой стоимости ремонтрационален, а при какой нет. Такой анализ позволяет определиться с вводом значения входного параметра «стоимость ремонта», исходя из ранее полученных результатов работы программы [13, 14, 15].Пример результатов работы программы с тестовыми параметрамиВ начале работы программы вводятся исходные и дополнительные данные (интерфейс ввода данных представлен на рис. 1,2)В результате работы программы на экран выводится сетевой взвешенный граф – сетевая модель оптимальной стратегии замены оборудования (рис.3).Каждая дуга графаобозначает переходсистемы в следующее временное состояние (в следующий год). При этом весадуг (подписи снизу) указывают на компоненту вектора управления:u1 – оставить оборудование;u2 – заменить на новое оборудование;b1 – заменить на 1 – летнее оборудование;b2 – заменить на 2 – летнее оборудование;b3 – заменить на 3 – летнее оборудование;b4 – заменить на 4 – летнее оборудование;r1 – отремонтировать старое оборудованиеВерхняя надпись – это прибыль от работы оборудования, накопленная к соответствующему году (целевая функция). Рис.3 – Интерфейс вывода в виде сетевой модели.В результате прогона программы на экран так же выводится график зависимостиприбыли от стоимости ремонта (рис. 4). Анализируя полученный график можно определить целесообразность «омолаживающего» ремонта. Это актуально только в том случае, если цена «омолаживающего» ремонта (оборудование становится моложе на 1 год) не превосходит стоимости покупки и установки аналогичного по возрасту оборудования.Эта диаграмма интерактивна. При наведении курсора мыши на точку на карте появляется информация о возможной прибыли, связанной с ремонтом оборудования за такую цену. Рис.4 – Зависимость полученной прибыли от стоимости ремонта.Программа выводит на экран так же и математическую запись функционального уравнения Беллмана, что дает возможность следить за логикой вычислительного процесса [16, 17]. Выводы.Математическое представление задачи в виде функционального уравнения Беллмана облегчает программную реализацию алгоритма.Рассмотренная модель позволяет проводить ряд модификаций и осуществлять их программную реализацию.Модификации расширяют модель, делая ее более реалистичной.