Geometry & Graphics Geometry & Graphics Геометрия и графика 2308-4898 4047 10.12737/6518 Научные проблемы геометрии Scientific problems of geometry Научные проблемы геометрии Constructive Method of Studying the Properties of Parametrically Defined Curves Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых Иванов Г. С. Ivanov G. С. 17 02 2015 17 02 2015 2 3 3 6 https://naukaru.ru/en/nauka/article/4047/view

Параметрический способ задания кривых широко применяется в компьютерной графике в силу простоты вычислительных процедур. Однако их графики не позволяют визуально оценить как их дифференциальные свойства, так и свойства в целом. Для этого необходимо их перезадание в явном или неявном виде. В статье предлагается конструктивный способ перехода от параметрического задания кривой к явному и обратно. Он основан на изображении кривой на двух совместно рассматриваемых обобщенных чертежах Монжа. Например, параметрически заданная пространственная кривая m изображается своими проекциями m′, m′′ и m′′′ соответственно на плоскостях проекций Opx, Opy, Opz. Эта же кривая, заданная в неявной форме, изображается своими проекциями m′, m1, m2 на плоскостях проекций Opx, Oxy, Oxz. Общая плоскость проекций Opx этих двух обобщенных чертежей Монжа является графическим «ключом» перехода от одной системы координат к другой, т.е. от параметрического задания к неявному. Способ пригоден для исследования свойств кривых многомерных пространств.

The parametric method of defining curves is widely used in computer graphics because of the simplicity of its calculation procedures. However, their graphics do not give a possibility to evaluate visually neither their differential properties nor the properties in general. This requires them to be reset in an explicit or implicit form. The article shows a constructive way of transition from parametrically defined curves to explicit ones and back. It is based on the image of the curve on the two simultaneously analysed generalized Monge drawings. The method is suitable for the study of the properties of curves of multidimensional spaces. For example, a parametrically defined space curve m is represented by its projections m′, m′′ and m′′′, respectively, on the projection planes Opx, Opy, Opz. The same curve, given implicitly, is represented by its projections m′, m1, m2 on the projection planes Opx, Oxy, Oxz. The coinciding projection plane Opx of these two generalized Monge drawings is a graphical «key» of transition from one coordinate system to another, i.e. from parametric representation to implicit one.

 кривая линия параметрическое задание кривой явное задание кривой обобщенный чертеж Монжа. curve set a curve parametrically set a curve explicitly generalized Monge drawing.

В современных графических пакетах и системах автоматизированного проектирования, как известно [7], широко применяется параметрический способ задания кривых линий и поверхностей. Они представляются как составные линии (кривые Эрмита, Безье, сплайны различных видов) и поверхности (бикубические сплайны, поверхности Кунса) определенного порядка гладкости.Составляющие одномерного обвода представляются в виде(1) где в качестве функций f1, f2, f3 принимаются кубические полиномы:(2)Общеизвестно, что параметрическое задание функции, следовательно, ее график, отличается лучшими вычислительными свойствами по сравнению с заданием в явном или неявном виде. Кубические полиномы обеспечивают конструирование обвода до второго порядка гладкости, имея при этом минимально возможный порядок. Однако параметрическое задание функций (1) имеет и свои недостатки. На их графиках нельзя непосредственно построить касательные, круги кривизны и т.д., т.е. нельзя визуально оценить характер кривой, наличие осцилляций (точек перегиба), особых точек. 

Божко А.Н., Жук Д.М., Маничев В.Б. Компьютерная графика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. Bozhko A.N., Zhuk D.M., Manichev V.B. Komp´yuternaya grafika [Computer graphics]. Moscow, Bauman State Technical University Publ., 2007. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987. Ivanov G.S. Konstruirovanie tekhnicheskikh poverkhnostey (matematicheskoe modelirovanie na osnove nelineynykh preobrazovaniy) [Design of technical surfaces (mathematical modelirovanie based on nonlinear transformations)]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. 3-е изд. М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. Ivanov G.S. Nachertatel´naya geometriya [Descriptive geometry]. Moscow, Moscow, State Forest University Publ., 2012. Коцюбинский А.О., Грошев С.В. Компьютерная графика. Практическое пособие. М.: Технолоджи - 3000, 2001. Kotsyubinskiy A.O., Groshev S.V. Komp´yuternaya grafika. Prakticheskoe posobie [Computer graphics. A practical guide]. Moscow, «Tehnolodzhi-3000» Publ., 2001. Порев В.Н. Компьютерная графика. СПб.: БХВ - Петербург, 2002. Porev V.N. Komp´yuternaya grafika [Computer graphics]. St. Petersburg, BHV - Petersburg Publ., 2002. Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961. Smogarzhevskiy A.S., Stolova E.S. Spravochnik po teorii ploskikh krivykh tret´ego poryadka [Handbook of the theory of plane curves of the third order]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. Foks A., Pratt M. Vychislitel´naya geometriya. Primenenie v proektirovanii i na proizvodstve [Application in engineering and manufacturing]. Moscow, Mir Publ., 1982.