Voronezh Scientific-Technical Bulletin Voronezh Scientific-Technical Bulletin Воронежский научно-технический вестник 2311-8873 40451 10.34220/2311-8873-2020-3-3-94-112 ТЕХНОЛОГИЯ И ОБОРУДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЯ И ОБОРУДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ CALCULATION OF STRESS-DEFORMED STATE OF ELASTIC CYLINDERS UNDER TEMPERATURE AND HUMIDITY IMPACT РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Огарков Вячеслав Борисович Ogarkov Vyacheslav Borisovich Аксенов Алексей Александрович Aksenov Aleksei Aleksandrovich Малюков Сергей Владимирович Malyukov Sergei Vladimirovich Малюкова Маргарита Александровна Malyukova Margarita Aleksandrovna ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова» Россия ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова» Russian Federation 3 3 94 112 https://naukaru.ru/en/nauka/article/40451/view

Рассмотрена актуальная научно-практическая задача о плоской деформации упругого цилиндра в условиях температурно-влажностного воздействия. Цилиндрическую форму имеют различные трубы, валы, подшипники скольжения, втулки из естественной и модифицированной древесины и т.д. Дано точное аналитическое решение данной задачи для изотропного цилиндра в случае стационарного температурно-влажностного воздействия. Все формулы для напряжений и деформаций содержат механические и теплофизические константы, что соответствует физическому смыслу. Доказано, что использование классических методов решения данной задачи через потенциалы напряжений и перемещений приводит к нежелательному результату, при котором напряжения или деформации не зависят от теплофизической константы C_2, что противоречит физическому смыслу.

The actual scientific and practical problem of plane deformation of an elastic cylinder under conditions of temperature and humidity is considered. Various pipes, shafts, plain bearings, bushings from natural and modified wood, etc. have a cylindrical shape. An exact analytical solution of this problem is given for an isotropic cylinder in the case of stationary temperature and humidity exposure. All formulas for stresses and strains and stresses contain mechanical and thermophysical constants, which corresponds to the physical meaning. It is proved that the use of classical methods for solving this problem through the potentials of stresses and displacements leads to an undesirable result in which stresses or deformations do not depend on the thermophysical constant C_2, which contradicts the physical meaning.

 деформирование упругого цилиндра температурно-влажностное воздействие на изотропный цилиндр закон Гука deformation of an elastic cylinder temperature and humidity effect on an isotropic cylinder Hooke's law

 ВВЕДЕНИЕПроектирование и расчет напряженно-деформированного состояния упругих и упруго-вязко-пластических цилиндров из сжимаемого материала имеет важное научно-практическое значение [1, 10]. Цилиндр является основной деталью при изготовлении труб, валов, подшипников скольжения, различных втулок из естественной и модифицированной древесины и т.д. Однако до настоящего времени использующиеся известные методы решения таких задач нередко приводят к нежелательному результату – независимости полученных формул от механических и теплофизических констант. Поэтому получение общих решений, которые позволяют изучить зависимость напряжений и деформаций от механических и теплофизических постоянных имеет большое значение. Такие формулы могут успешно быть внедрены как в научно-исследовательских отчетах, так и в учебном процессе в курсах сопротивления материалов и древесиноведения. 1 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРАПРИ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИРассмотрим плоскую деформацию упругого изотропного цилиндра при полярно-симметричном деформировании в условиях температурно-влажностного воздействия. Основная система уравнений имеет следующий вид [1, 2, 5, 8].Уравнение равновесия:rdσrdr+σr-σθ=0.                                                (1)Геометрические соотношения Коши:εr=dudr;     εθ=ur.                                                 (2)Уравнение совместности деформаций:ddrr2dεθdr-rdεrdr=0.                                            (3)Обобщенный закон Гука в случае стационарного теплового воздействия:εr=1Eσr-μσθ+σz+αTr;                                   (4)εθ=1Eσθ-μσr+σz+αTr;                                   (5)εz=1Eσz-μσθ+σr+αTr.                                   (6)В случае плоской деформации:εz=0;                                                              (7)σz=μσθ+σr-EαTr.                                         (8)Подставим формулу (8) в закон Гука (4)-(5):εr=1Eσr-μσθ-μμσθ+σr-EαT+αT==1E1-μ2σr-μ1+μσθ+α1+μT;                  (9)εθ=1E1-μ2σθ-μ1+μσr+α1+μT.                   (10)Уравнение теплопроводности в случае полярной симметрии имеет вид [1, 4-8]:ddrrdTdr=0.                                                 (11)Решение этого уравнения имеет вид:Tr=C1lnr+C2.                                            (12)Граничные условия имеют вид:При r=r1: T=T1; при r=r2: T=T2.                                                      (13)С учетом граничных условий, получим:C1=T2-T1lnr2r1;     C2=T1lnr2-T2lnr1lnr2r1.                   (14)Обобщенный закон Гука (9)-(10):εr=1E1-μ2σr-μ1+μσθ+α1+μC1lnr+α1+μC2;   (15)εθ=1E1-μ2σθ-μ1+μσr+α1+μC1lnr+α1+μC2;   (16)εr=1+μE1-μσr-μσθ+α1+μC1lnr+α1+μC2;     (17)εθ=1+μE1-μσθ-μσr+α1+μC1lnr+α1+μC2.     (18)Будем искать решение данной задачи в следующем виде:σr=A1r2+A21+2lnr+2A3;                             (19)σθ=-A1r2+A23+2lnr+2A3;                            (20)εθ=B1r2+B21+2lnr+2B3;                             (21)εr=-B1r2+B23+2lnr+2B3.                            (22)Подставим формулы (19)-(22) в обобщенный закон Гука (17)-(18):-B1r2+B23+2lnr+2B3==1+μE1-μA1r2+A21+2lnr+2A3--μ-A1r2+A23+2lnr+2A3+α1+μC1lnr+α1+μC2;  (23)B1r2+B21+2lnr+2B3==1+μE1-μ-A1r2+A23+2lnr+2A3--μA1r2+A21+2lnr+2A3+α1+μC1lnr+α1+μC2;  (24)-B1r2+2B2lnr+3B2+2B3==1+μEA1r2+21-2μA2lnr+1-3μA2++21-2μA3+α1+μC1lnr+α1+μC2;            (25)B1r2+2B2lnr+B2+2B3==1+μE-A1r2+21-2μA2lnr+3-4μA2++21-2μA3+α1+μC1lnr+α1+μC2;            (26)B1=-1+μEA1;                                             (27)2B2=21+μ1-2μA2+α1+μC1;                      (28)B2=1+μ1-2μA2E+α21+μC1;                       (29)3B2+2B3=1+μE1-4μA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2;(30)B2+2B3=1+μE3-4μA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2;(31)3E1+μ1-2μA2+α21+μC1==1+μE3-4μA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2-2B3;  (32)1+μ1-2μA2+α21+μC1==1+μ3-4μEA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2-2B3;  (33)31+μ1-2μA2E+32α1+μC1==1+μ3-4μA2E+21+μ1-2μA3E+α1+μC2-2B3;    (34)2B2=21+μ1-2μA2E+α1+μC1;                         (35)B2=1+μ1-2μA2E+α1+μ2C1;                           (36)3B2+2B3=1+μ1-4μEA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2;  (37)B2+2B3=1+μ3-4μEA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2;  (38)31+μ1-2μA2E+α1+μ2C1+2B3==1+μ1-4μEA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2;       (39)1+μ1-2μEA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2+2B3==1+μ3-4μEA2+21+μ1-2μEA3+α1+μC2;   (40)31+μ1-2μEA2-1+μ1-4μEA2==21+μ1-2μEA3+α1+μC2-32α1+μC1-2B3;       (41)1+μ1-2μEA2-1+μ3-4μEA2==21+μ1-2μEA3+α1+μC2-α21+μC1-2B3;        (42)A21+μE31-2μ-1-4μ=21+μ1-2μEA3++α1+μC2-32α1+μC1-2B3;        (43)A21+μE1-2μ-3-4μ=21+μ1-2μEA3++α1+μC2-32α1+μC1-2B3;       (44)21+μA21-μE=21+μ1-2μEA3++α1+μC2-32α1+μC1-2B3;                    (45)21+μA2μ-1E=21+μ1-2μEA3++α1+μC2-α21+μC1-2B3.                    (46)Приравняем соотношения (45) и (46):21+μ1-2μEA3+α1+μC2-32α1+μC1-2B3==-21+μ1-2μEA3-α1+μC2+α21+μC1+2B3;      (47)41+μ1-2μEA3=-2α1+μC2+2α1+μC1+4B3;      (48)A3=E2α1+μC1-2α1+μC2+4B341+μ1-2μ.                      (49)Используем соотношение (45):2A21-μ2E=21+μ1-2μEA3++α1+μC2-32α1+μC1-2B3;                            (50)A2=E21-μ221+μ1-2μEA3++α1+μC2-32α1+μC1-2B3.                           (51)Проверим выполнение уравнения (46):21+μ1-2μEA3+α1+μC2-32α1+μC1-2B3==-21+μ1-2μEA3+α1+μC2-α21+μC1-2B3;       (52)41+μ1-2μEA3=-2α1+μC2+2α1+μC1+4B3.          (53)Соотношение (53) совпадает с соотношением (48).Подсчитаем величину A2:A2=A31-μ+αEC221-μ-34αEC11-μ-EB31-μ2.                 (54)Подсчитаем коэффициент B2 по  формуле (36):B2=1+μ1-2μEA31-μ+αEC221-μ-34αEC11-μ-EB31-μ2++α21+μC1;  (55)B2=1+μ1-2μE1-μA3+1+μ1-2μEαEC221-μ--34αEC11-μ-EB31-μ2;           (56)B2=1+μ1-2μE1-μA3+1+μ1-2μαC221-μ-3αC14+B31+μ;(57)B2=1+μ1-2μE1-μE2α1+μC1-2α1+μC241+μ1-2μ++1+μ1-2μE1-μ4EB3+1+μ1-2μ1-μαC22-3αC14+B31+μ;   (58)B2=1+μ1-2μ2α1+μ41-μ1+μ1-2μC1-C2++1+μ1-2μ41-μB3+1+μ1-2μ1-μαC22-3αC14+B31+μ;   (59)B2=α1+μ2C1-C2+1+μ1-2μ1-μB3+1+μ1-2μ1-μαC22-3αC14+B31+μ.                  (60)Запишем выражение для тангенциальной и радиальной деформаций:εθ=B1r2+B21+2lnr+2B3;                                 (61)εr=-B1r2+B23+2lnr+2B3.                                (62)Однозначное радиальное перемещение будем находить по следующей формуле [2, 9, 11-14]:ur=12εθr+εrdr.                                     (63)Подставим формулы (61) и (62) в соотношение (63):ur=12rB1r2+B2+2B2lnr+2B3++-B1r2+3B2+2B2lnr+2B3dr==12B1r+B2+2B3r+2B2rlnr++B1r+3B2+2B3r+2B2rlnr-r==122B1r+4B2+4B3r-2B2r+4B2lnr==122B1r+2B2+2B3r+4B2lnr;                            (64)ur=B1r+B2+2B3r+2B2lnr.                              (65)Пусть заданы граничные условия в перемещениях:ur=r1=u1;     ur=r2=u2;                               (66)B1r1+B2+2B3r1+2B2lnr1=u1;B1r2+B2+2B3r2+2B2lnr2=u2.                               (67)Используем формулу (60):B2=aB3+b;                                                  (68)a=1+μ1-2μ1-μ;                                           (69)b=α1+μC1-C22+1+μ1-2μ1-μαC22-3αC14+B31+μ;    (70)B1r1+aB3+br1+3B3r1+2aB3+blnr1=u1;              (71)B1r2+aB3+br2+2B3r2+2aB3+blnr2=u2;              (72)B1r1+ar1+2r1+2alnr1B3=u1-br1-2ablnr1;          (73)B1r2+ar2+2r2+2alnr2B3=u2-br2-2ablnr2;         74B1+ar12+2r12+2ar1lnr1B3=u1r1-br12-2abr1lnr1;    (75)B1+ar22+2r22+2ar2lnr2B3=u2r2-br22-2abr2lnr2;   (76)B3ar22-r12+2r22-r12+2ar2lnr2-r1lnr1==u2r2+br12+2abr1lnr1-u1r1-br22-2abr2lnr2;        (77)B3=ar22-r12+2r22-r12+2ar2lnr2-r1lnr1u2r2+br12+2abr1lnr1-u1r1-br22-2abr2lnr2;     (78)B1=r1u1-br1-2ablnr1-r1ar1+2r1+2alnr1;         (79)A1=-E1+μB1.                                           (80)Коэффициенты A2 и A3 находятся по формулам (49) и (53).Пусть граничные условия заданы в напряжениях:σrr=r1=-p;     σrr=r2=-q.                            (81)Имеем выражения для напряжений:σr=A1r2+A21+2lnr+2A3;                              (82)σθ=-A1r2+A23+2lnr+2A3.                             (83)Подсчитаем величину A2 по формуле (51):A2=1-2μ1-μA3+αEC221-μ-34αC1E1-μ-EB31-μ2;            (84)A2=1-2μ1-μA3+E1-μαC22-34αC1-B31+μ.            (85)Подставим в формулу (82) соотношение (49):A2=1-2μ1-μ2αE1+μC1-C241+μ1-2μ+1-2μ1-μEB31+μ1-2μ++E1-μαC22-34αC1-B31+μ;         A2=αEC1-C221-μ+E1-μαC22-34αC1-B31+μ+EB31-μ2==αEC1-C221-μ+αE21-μC2-32C1=αE21-μC1-C2+C2-32C1==-αEC141-μ;     A2=αEC141-μ.                                 (86)Используем формулу (80):σr=A1r2+A2+2A3+2A2lnr;                                 (87)A1r12+A2+2A3+2A2lnr1=-p;                                (88)A1r22+A2+2A3+2A2lnr2=-q;                               (89)A11r22-1r12+2A2lnr2r1=p-q;                              (90)A1=r12r22p-q2A2lnr2r1r12-r22;                                    (91)2A3=-p-2A2lnr1-A2-A1r12;                             (92)A3=-p2-A2lnr1-A22-A12r12;                             (93)B1=-1+μA1;                                              (94)B2=1+μ1-2μEA2+α1+μ2C1;                       (95)A3=EαC1-C221-2μ+B31+μ1-2μ;                        (96)B31+μ1-2μ=A3-EαC1-C221-2μ;                        (97)B3=1+μ1-2μA3-Eα1+μC1+C22.                (98)Таким образом, все полученные выше формулы для напряжений, деформаций и радиального перемещения содержат в явной форме теплофизические константы C1 и C2. 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХРассмотрим алгоритм решения данной задачи в напряжениях.Деформации имеют следующий вид:εr=1+μE1-μσr-μσθ+α1+μC1lnr+α1+μC2;    (99)εθ=1+μE1-μσθ-μσr+α1+μC1lnr+α1+μC2.    (100)Введем в рассмотрение потенциал напряжений [3, 5]:σr=φr;     σθ=dφdr.                                              (101)Потенциал напряжений удовлетворяет уравнению равновесия (1).Деформации примут следующий вид:εr=1+μE1-μφr-μdφdr+α1+μC1lnr+α1+μC2;    (102)εθ=1+μE1-μdφdr-μφr+α1+μC1lnr+α1+μC2.  (103)Уравнение совместности деформаций:rdεθdr+εθ-εr=0.                                           (104)Подставим деформации (99) и (100) в уравнение совместности деформаций (104):1+μErddr1-μdφdr-μφr+1+μEdφdr-φr+α1+μC1r;  (105)r1-μd2φdr2+μrφr2-μdφdr+dφdr-φr=-αEC1r;               (106)1-μd2φdr2+1-μrdφdr+μ-1r2φ=-αEC1r2;                 (107)d2φdr2+1rdφdr-φr2=-αEC11-μr2.                            (108)Решение уравнения (108) имеет вид:φr=D1r+D2r+D3;                                       (109)-D3=-αEC11-μ;     D3=αEC11-μ;                             (110)φr=D1r+D2r+αEC11-μ;                                   (111)σr=φr=D1+D2r2+αEC11-μr;                                (112)σθ=dφdr=D1-D2r2.                                         (113)Имеет следующие граничные условия:σrr=r1=-p;     σrr=r2=-q;                          (114)D1+D2r12+αEC11-μr1=-p;                                  (115)D1+D2r22+αEC11-μr2;                                       (116)D21r22-1r12=p-q-αEC11-μ1r22-1r12;                    (117)D2r12-r22r12r22=p-q+αEC11-μ1r12-1r22;                     (118)D2r12-r22r12r22=p-q+αEC1r22-r12r12r22;                        (119)D2=p-qr12r22+αEC1r22-r12r12-r22;                         (120)D1=-p-αEC11-μr1-D2r12.                                  (121)Из формул (109), (112), (113), (120) и (121) следует, что напряжения σr и σθ не зависят от физической константы C2, что нежелательно. 3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХОбобщенный закон Гука при температурно-влажностном воздействии имеет следующий вид:εr=1+μE1-μσr-μσθ+α1+μC1lnr+α1+μC2;     (122)εθ=1+μE1-μσθ-μσr+α1+μC1lnr+α1+μC2.     (123)Сложим и вычтем соотношения (122) и (123):εr+εθ=1+μ1-2μEσθ+σr+2α1+μC1lnr+2α1+μC2; (124)εr-εθ=1+μEσr-σθ;                                 (125)σr-σθ=E1+μεr-εθ;                                 (126)1+μ1-2μEσθ+σr=εr+εθ-2α1+μC1lnr-2α1+μC2;  (127)σr+σθ=Eεr+εθ1+μ1-2μ-2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ.    (128)Сложим теперь соотношения (126) и (128):2σr=E1+μεr-εθ+Eεr+εθ1+μ1-2μ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;                (129)2σr=E1+μεr-εθ+εr+εθ1-2μ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;                    (130)2σr=E1+μ1-2μ1-2μεr-εθ+εr+εθ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;       (131)2σr=E1+μ1-2μ21-μεr+2μεθ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;                  (132)2σr=2E1+μ1-2μ1-μεr+μεθ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;                    (133)σr=E1+μ1-2μ1-μεr+μεθ--αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-αE1+μC21+μ1-2μ.                     (134)Вычтем из соотношения (128) соотношение (126):2σθ=Eεr+εθ1+μ1-2μ-2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ--2αE1+μC21+μ1-2μ-E1+μεr-εθ;               (135)2σθ=E1+μεr+εθ1-2μ-εr+εθ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;                     (136)2σθ=E1+μ1-2μεr+εθ-1-2μεr+1-2μεθ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;     (137)2σθ=E1+μ1-2μ2μεr+21-μεθ--2αE1+μC1lnr1+μ1-2μ-2αE1+μC21+μ1-2μ;                (138)σθ=E1+μ1-2μ1-μεθ+μεr--α1+μEC1lnr1+μ1-2μ-α1+μC21+μ1-2μ.                   (139)Таким образом, закон Гука принимает следующий вид:σr=E1+μ1-2μ1-μεr+μεθ--α1+μEC11+μ1-2μlnr-α1+μEC21+μ1-2μ;                   (140)σθ=E1+μ1-2μ1-μεθ+μεr--21+μEC11+μ1-2μlnr-α1+μEC21+μ1-2μ.                   (141)Подставим напряжения σr и σθ в уравнение равновесия (1):Er1+μ1-2μddr1-μεr+μεθ++E1+μ1-2μ1-2μεr-εθ=0;                     (142)r1-μdεrdr+rμdεθdr+1-2μεr-εθ=0.                (143)Используем соотношения Коши:εr=dudr;     εθ=ur;                                          (144)r1-μd2udr2+μr-ur2+1rdudr+1-2μdudr-α1+μC1r=0;  (145)r1-μd2udr2+1-μdudr+μ-1ur=α1+μC1r;        (146)1-μd2udr2+1-μrdudr-1-μur2=α1+μC1r2;         (147)d2udr2+1rdudr-ur2=α1+μC1r2.                             (148)Решение уравнения (148) имеет вид:ur=D1r+D2r+D3;                                     (149)-D3=α1+μC1;                                         (150)D3=-α1+μC1;                                         (151)ur=D1r+D2r-α1-μC1.                               (152)Будем в качестве примера задачи в перемещениях рассматривать задачу выгорания упругого цилиндра, заключенного в жесткую обойму [3, 15-20]:ur=r1=u1t;                                            (153)ur=r2=0;                                                 (154)D1r1+D2r1-α1+μC1=u1t;                                  (155)D1r2+D2r2-α1+μC1=0;                                    (156)D1r1-r2+D21r1-1r2=u1t;                               (157)D1=u1tr1-D2r12+α1+μC1r1;                                (158)r2r1u1t-r2r12D2+α1+μC1r1+D2r2-r1r1r2-α1+μC1=0;     (159)D2r1r2-r1r2-r2r1=α1+μC1-α1+μC1r2r1-r2r1u1t;    (160)D2r1-r1r2-r12-r22r1r2=α1+μC11-r2r1-r2r1u1t;       (161)D2r1r1r2-r12-r22r1r2=α1+μC1r1r1-r2-r2r1u1t;       (162)D2r1r2-r12-r22r1r2=α1+μr1-r2C1-r2u1t;       (163)D2=r1r2α1+μr1-r2C1-r2u1tr1r2-r12-r22;                (164)D1=u1tr1+α1+μC1r1-D2r12.                          (165)Таким образом, в соответствии с формулами (152), (164) и (165) мы можем сделать вывод о том, что при решении данной задачи в перемещениях, радиальное перемещение ur и деформации εθ и εr не зависят от теплофизической константы C2, что нежелательно.

Варданян, Г. С. Сопротивление материалов / Г. С. Варданын, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков. - М., 1995. - 568 с. Vardanyan, G. S. Soprotivlenie materialov / G. S. Vardanyn, V. I. Andreev, N. M. Atarov, A. A. Gorshkov. - M., 1995. - 568 s. Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния изотропного упругого цилиндра при стационарном тепловом воздействии / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 1. - № 1 (19). - С. 39-47. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya izotropnogo uprugogo cilindra pri stacionarnom teplovom vozdeystvii / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 1. - № 1 (19). - S. 39-47. Колтунов, М. А. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов / М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчаников. - М. : «Машиностроение», 1983. - 239 с. Koltunov, M. A. Prochnostnye raschety izdeliy iz polimernyh materialov / M. A. Koltunov, V. P. Mayboroda, V. G. Zubchanikov. - M. : «Mashinostroenie», 1983. - 239 s. Горшков, А. Г. Сопротивление материалов : учеб. пособ. / А. Г. Горшков, В. Н. Трошин, В. И. Шалашилин. - 2-е издание испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с. Gorshkov, A. G. Soprotivlenie materialov : ucheb. posob. / A. G. Gorshkov, V. N. Troshin, V. I. Shalashilin. - 2-e izdanie ispr. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 544 s. Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра из несжимаемого материала в условиях теплового воздействия / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2016. - Т. 4. - № 4 (18). - С. 35-40. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya uprugogo cilindra iz neszhimaemogo materiala v usloviyah teplovogo vozdeystviya / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2016. - T. 4. - № 4 (18). - S. 35-40. Кучерявый, В. И. Теория упругости : учеб. пособие / В. И. Кучерявый. - Ухта : УГТУ, 2011. - 126 с. Kucheryavyy, V. I. Teoriya uprugosti : ucheb. posobie / V. I. Kucheryavyy. - Uhta : UGTU, 2011. - 126 s. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / В. И. Феодосьев. - 10-е издание, перераб. и доп. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 592 с. Feodos'ev, V. I. Soprotivlenie materialov : ucheb. dlya vuzov / V. I. Feodos'ev. - 10-e izdanie, pererab. i dop. - M. : Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 1999. - 592 s. Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния ортотропного упругого цилиндра / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 4. - № 4 (22). - С. 73-77. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya ortotropnogo uprugogo cilindra / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 4. - № 4 (22). - S. 73-77. Огарков, В. Б. Обобщенная плоская деформация равномерно-вращающегося изотропного упругого вала из несжимаемого материала / В. Б. Огарков, А. А. Аксенов, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2018. - Т. 1. - № 1 (23). - С. 68-74. Ogarkov, V. B. Obobschennaya ploskaya deformaciya ravnomerno-vraschayuschegosya izotropnogo uprugogo vala iz neszhimaemogo materiala / V. B. Ogarkov, A. A. Aksenov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2018. - T. 1. - № 1 (23). - S. 68-74. Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23. Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23. Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687. Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687. Водопьянов, В. И. Курс сопротивления материалов с примерами и задачами : учеб. пособие / В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев ; ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - 136 с. Vodop'yanov, V. I. Kurs soprotivleniya materialov s primerami i zadachami : ucheb. posobie / V. I. Vodop'yanov, A. N. Savkin, O. V. Kondrat'ev ; VolgGTU. - Volgograd, 2012. - 136 s. Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - Т. 42. - Вып. 3. - С. 335-343. - DOI : 10.1016/j.mechmat.2009.11.015. Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - T. 42. - Vyp. 3. - S. 335-343. - DOI : 10.1016/j.mechmat.2009.11.015. Аксенов, А. А. Расчет температурного поля прессованной древесины при интенсивном нагреве ее изнутри / А. А. Аксенов, С. В. Малюков, В. С. Тюхин // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 2. - № 2 (20). - С. 4-15. Aksenov, A. A. Raschet temperaturnogo polya pressovannoy drevesiny pri intensivnom nagreve ee iznutri / A. A. Aksenov, S. V. Malyukov, V. S. Tyuhin // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 2. - № 2 (20). - S. 4-15. Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - Т. 9. - Вып. 1. - С. 1179-1188. Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - T. 9. - Vyp. 1. - S. 1179-1188. Аксенов, А. А. Способ расчета на прочность упругой балки из древесного материала / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2016. - Т. 3. - № 3 (17). - С. 53-56. Aksenov, A. A. Sposob rascheta na prochnost' uprugoy balki iz drevesnogo materiala / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2016. - T. 3. - № 3 (17). - S. 53-56. Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - Т. 58. - Вып. 5. - С. 260-270. - DOI : 10.2488/jwrs.58.260. Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - T. 58. - Vyp. 5. - S. 260-270. - DOI : 10.2488/jwrs.58.260. Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - Т. 15. - Вып. 3. - С. 168-170. - DOI : 10.1007/s00468000008. Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - T. 15. - Vyp. 3. - S. 168-170. - DOI : 10.1007/s00468000008. De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - Т. 39. - Вып. 6. - С. 460-471. - DOI : 10.1007/s00226-005-0025-x. De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - T. 39. - Vyp. 6. - S. 460-471. - DOI : 10.1007/s00226-005-0025-x. Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A : The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - Т. 37. - Вып. 3. - С. 815-827. - DOI : 10.1016/j.apm.2012.03.004. Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A : The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - T. 37. - Vyp. 3. - S. 815-827. - DOI : 10.1016/j.apm.2012.03.004.