Введение В связи с возрастающими требованиями к эффективности технологических систем, все большую актуальность приобретают вопросы повышения надежности механосборочного производства. Для сборки сложных изделий машиностроения из узлов и деталей широко применяются резьбовые соединения (РС). При изготовлении резьбовых соединений можно выделить две основные стадии: получение деталей с резьбой и сборка. При изготовлении высокопрочных болтов и шпилек наиболее эффективным является накатывание резьбы роликами. Основная часть Этапы жизненного цикла изделий машиностроения, включающие изготовление деталей с резьбой и сборку резьбовых соединений, а также последующую эксплуатацию, тесно связаны между собой посредством технологической наследственности [1, 2], что приводит к необходимости системного подхода канализу механосборочного производства.В ряде публикаций, в частности [1, 3 ‒ 7], показана эффективность аппарата полумарковских процессов [8 ‒ 10] для исследования производительности и надежности механосборочного производства, применительно к которому технологическая наследственность может быть описана на основе учета последействия. Вместе с тем математические модели для исследования производительности и надежности механосборочного производства с учетом технологической наследственности недостаточно разработаны. Отказы технологического комплекса (ТК) можно разделить на два типа: обесценивающие (в случае отказа обслуживание продукции прерывается, а после восстановления его работоспособности обслуживание продукции начинается сначала) и необесценивающие (в случае отказа ТК обслуживание продукции прерывается, а после восстановления его работоспособности обслуживание продукции продолжается, с учетом времени прерванного обслуживания) [4, 5]. Целью данных исследований является построение математической модели процесса функционирования ТК для определения его производительности, с учетом различных видов обесценивающих отказов, на основе мето-да траекторий [8].При анализе надежности процесса резьбонакатывания целесообразно рассматривать не только отказы оборудования, но также и выход параметров резьбовых деталей за пределы допусков. Необходимо отметить, что геометрические и точностные параметры заготовок и готовых деталей, формируемые на каждом из технологических переходов, являются случайными величинами (СВ), математические ожидания (МО), дисперсии и функции распределения (ФР) которых могут быть получены путем статистической обработки и анализа результатов производственных экспериментов.Экспериментальные распределения СВ, для удобства дальнейшего исследования, могут быть заменены законом Эрланга второго, а, при необходимости, более высоких порядков. С помощью критерия χ2 было установлено, что полученные в результате экспериментов распределения случайные величины не противоречат закону Эрланга второго порядка. По результатам обработки экспериментальных данных [1] и применения к ним методов экспертных оценок и анализа иерархий, выделены важнейшие факторы, определяющие надёжность процесса резьбонакатывания (табл. 1).   1. Экспериментальные значения математического ожидания для процесса получения наружной резьбы М10х1,25-6g резьбонакатыванием №Виды и характер  отказов технологического процессаВремя наработки на отказ, чПараметр λзакона ЭрлангаВремя восстановления, ч1Дефекты в накатанной резьбе из-за погрешности установки заготовок в станке2,50,5660,52Погрешности размеров и формы резьбовой поверхности, вызванные неравномерной твердостью и пластичностью материала заготовок, а также отклонениями формы и размеров фаски на заготовках16,670,0254,03Возникновение микротрещин в накатанной резьбе из-за неисправности оборудования и  нарушения технологических режимов9,10,112,04Недопустимый износ и повреждение резьбонакатных роликов40,00,0355,0Примечание. Время накатывания  партии из 10 деталей 0,0083 часа  В табл. 2 приведены значения математических ожиданий, вычисленные в результате статистической обработки данных, полученных в ходе эксперимента, выполненного на автоматической линии сборки автомобильных двигателей. Количество высокопрочных болтов М10х1,25х100-6H/6g из стали 40ХН в групповом РС – 10 шт; момент затяжки – предварительный 44,2…54,0 Н·м, окончательный 74,6…84,4 Н·м обеспечивается дотяжкой 2×90°. Затяжка осуществлялась автоматизированным гайковертом с пневмоприводом и десятью шпинделями, работающими независимо. 2. Значения математических ожиданий по результатам экспериментального исследования процесса автоматизированной сборки групповых РС М10х1,25-6H/6g №Виды и характер отказов технологического процессаВремянаработки на отказ, чПараметр  λзаконаЭрлангаВремявосстановления, ч1Несоответствие натяжения стержня после затяжки номинальному значению (сверх допустимой погрешности)6,30,222,02Неравномерная затяжка группового РС7,50,1891,53Разрушение резьбовых деталей в процессе сборки14,60,0974,0Примечание. Время сборки одного изделия: 0,004 часа  По результатам экспериментальных исследований на этапе эксплуатации РС в изделиях машиностроения, отказы были сгруппированы по наиболее значимым причинам их возникновения следующим образом: разрушение резьбы (частичное либо полное, вызванное микротрещинами в резьбовой поверхности) – 15 % случаев; раскрытие стыка РС, вызванное отклонениями формы и размеров резьбовой поверхности, в т.ч. из-за неправильной установки заготовки при резьбонакатывании –70 %; релаксация РС из-за неравномерной твердости и прочности резьбовых деталей – 10 %; релаксация РС из-за дефектов, переданных резьбовым деталям в виде наследственной информации неисправными резьбонакатными роликами – 5 % случаев [1]. Отказы РС, не связанные с качеством крепежных деталей, в результатах экспериментов не учитывались. Количественные данные, после статистической обработки и применения методов экспертных оценок и анализа иерархий, приведены в табл. 3.  3. Экспериментальные значения математических ожиданий для этапа эксплуатации изделий с групповыми болтовыми РС М10х1,25-6H/6g №Виды и характер отказовВремя наработки на отказ, чПараметр λзакона ЭрлангаВремя восстановления, ч1Разрушение резьбы (частичное либо полное, вызванное  микротрещинами в резьбовой поверхности)180,00,007815,52Раскрытие стыка РС, вызванное отклонениями формы и размеров резьбовой поверхности, в т.ч. из-за неправильного положения заготовки при резьбонакатывании90,50,015610,03Релаксация группового РС из-за неравномерной твердости и прочности резьбовых деталей160,50,00888,54Релаксация РС из-за дефектов, переданных резьбовым деталям в виде наследственной информации неисправными резьбонакатными роликами199,00,00719,5Примечание.  Время ‒176 ч в месяц, 2000 ч в год  Параметры λ закона Эрланга, приведенные в табл. 1–3, вычислялись из соотношения:l = Ö2 / Mi, где Mi ‒ значение математических ожиданий для i-го фактора. Предлагаемая полумарковская математическая модель позволит оценить влияние надежности ТК на его производительность, с учетом вероятности возникновения различных отказов. Основным допущением при построении модели является предположение о том, что потоки событий в ТК обладают последействием.Необходимо определить функции распределения Fe(t) (СВ) ε - времени между двумя соседними моментами окончания обслуживания продукции с учетом отказов ТК, а также МО, дисперсию указанной СВ и производительность ТК. Обслуживанием продукции в данном случае будем считать обработку заготовок, сборку изделий, а, в общем случае, – технологические либо эксплуатационные воздействия, осуществляемые с целью изготовления готовой продукции и применения ее по назначению. Единицей продукции, в зависимости от этапа жизненного цикла, рассматриваемого при моделировании, будем считать заготовку, деталь, узел либо изделие в целом.Примем, что время обслуживания единицы продукции на ТК - СВ α1 с ФРF1(t) = P{a1 £ t}. Время безотказной работы ТК - СВ α2 с ФР F2(t) = P{a2 £ t}, время восстановления ТК после i-го типа отказа - СВ βi с ФР G1(t) = P{b1 £ t}. СВ  α1, α2, βi  предполагаются независимыми, имеющими конечные МО и дисперсии; у ФР F1(t), F2(t), G1(t) существуют плотности f1(t), f2(t), g1(t). Возникновение отказа i-го типа происходит с вероятностью pi. При отказе ТК обслуживание единицы продукции прерывается, после восстановления его работоспособности прерванное обслуживание единицы продукции начинается сначала.Для описания функционирования ТК используем процесс марковского восстановления ПМВ {xn, qn; n ³ 0} и соответствующий ему полумарковский процесс (ПМП) x(t) со следующими состояниями [9]:10х – ТК работоспособен, началось обслуживание очередной единицы продукции; время, оставшееся до отказа ТК, равно x > 0;11х – мгновенное состояние, соответствующее моменту окончания обслуживания единицы продукции; время, оставшееся до отказа ТК, равно x > 0;20 – произошло восстановление работоспо-собности ТК, прерванное обслуживание единицы продукции начинается сначала;21i – произошел отказ ТК i-го типа, обслуживание единицы продукции прервано.Граф переходов системы приведен на рис. 1.Фазовое пространство состояний имеет видЕ = {10x, 11x, 20, 21i}.Опишем вероятности переходов вложенной цепи Маркова (ВЦМ): ; ; ; ; ; . Рис. 1. Граф состояний ТК  Система интегральных уравнений для стационарных плотностей имеет вид:   Решением системы уравнений является ρ20 = ρ0ρ21i = pi ρ0 ; где pi – вероятность возникновения отказа i-го типа [6]: где ;  – плот-ность функции восстановления процесса с временем восстановления α1. Постоянная ρ0 находится из условия нормировки.Время пребывания в состояниях равно: ; ; ; .ФР времени пребывания в состояниях имеют вид: ; ; .Граф состояний системы с дискретными состояниями представлен на рис. 2. Рис. 2. Граф состояний системы с дискретными состояниями Необходимо определить вероятности переходов, стационарное распределение ВЦМ и ФР времени пребывания системы в состояниях 10 и 20 системы с дискретными состояниями, используя  формулы [9]:                       (1)                            (2) Для состояний 20 и 21: ρ20 = ρ0ρ21i = pi ρ0 ;  Для состояния 10:  По формуле (1) находим вероятности переходов  и :   ; .Найдем ФР времени пребывания системы в дискретном состоянии 10, используя выражение (2) [8]: .Преобразовав данное выражение, получим: .  Имеются два подмножества:  и .Определим траектории [8] выхода системы в подмножество M_ (рис. 3): , .Определим ФР времен пребывания системы в состояниях 21i и 20 системы, с учетом повторных попаданий в них, по формуле (1): ;   ,где ; . Рис. 3. Траектории выхода системы из подмножества  С помощью последовательной свертки, определим ФР времени пребывания системы в каждой траектории [8]: ; ,где  – знак операции свертки.Найдем вероятности реализации каждой из траекторий: ;       .Причем .Отсюда становится возможным определить ФР  времени пребывания системы в подмножестве M+ вне зависимости от начального состояния, как взвешенную сумму (смесь) ФР времени пребывания системы в подмножестве каждой траектории с коэффициентами, равными вероятностям реализации этих траекторий: ,где n – количество типов отказов, на основании обработки данных экспериментов [1]. Как правило, количество типов отказов n, после применения к экспериментальным данным методов экспертных оценок и анализа иерархий, не превышает трех-четырех, наиболее значимых для рассматриваемого процесса, что позволяет существенно упростить проце-дуру моделирования. Результаты моделирования (ФР FS(t)) получены на основе формализованных исходных данных, которыми являются ФР F1(t), F2(t), G1(t), и G2(t); распределенные по закону Эрланга второго порядка с параметрами l1, l2; m1, m2; υ1, υ2; r1, r2 соответственно; причем: , , , .На рис. 4 приведен график функции распределения FS(t), полученной путем реализации предложенной полумарковской модели в среде Maple. Рис. 4. Вид ФР времени пребывания системы в подмножестве E+ В качестве примера исходных данных для моделирования, были использованы значения из табл. 1 для четырех, наиболее значимых видов отказов процесса резьбонакатывания. Для оценки точности расчетов по предложенной модели, сравним вычисленные по ней значения МО ФР, с полученными с помощью выражения [10]: .                   (3)Математические ожидания ФР, полученной в рассматриваемом примере в результате расчета по предложенной модели, с использованием метода траекторий, составляет 4,194805194805194805 ч, а вычисленное с помощью выражения (3) – 4,194805194805194805 ч, что является совпадением с точностью до девятнадцатого знака после запятой. Расчеты, проведенные по предложенной модели и с помощью выражения (3) для других наборов исходных данных, также подтвердили практически полное совпадение результатов. Выводы Таким образом, сравнение результатов моделирования с использованием предложенной и известной моделей подтверждает высокую точность и эффективность модели, построенной с применением метода траекторий. Предложенная модель является универсальной для исследования производительности и надежности различных иерархических уровней в структуре механосборочного производства, с учетом их стохастичности. Результаты моделирования предыдущего иерархического уровня могут являться исходными данными для следующего уровня, что позволяет исследовать сложные технологические системы в механосборочном производстве, с учетом технологической наследственности. Важным преимуществом предложенной модели является значительное упрощение процесса моделирования, в частности, для получения результата не требуется решение интегральных уравнений.Направление дальнейших исследований связано с апробацией эффективности предложенного в [8] метода траекторий и разработанной на его основе полумарковской модели для анализа различных технических систем.