Vestnik of Don State Technical UniversityVestnik of Don State Technical UniversityВестник Донского государственного технического университета1992-5980350410.12737/5695Физико-математические наукиPhysical and mathematical sciencesФизико-математические наукиOn correctness of Bayes formula modificationsО корректности модификаций формулы БайесаДолговАлександр ИвановичDolgovAleksandr Ивановичdolgov-ai@yandex.ru30092014300920141431320https://naukaru.ru/en/nauka/article/3504/view
Утверждается недопустимость сравнения и совместной обработки условных вероятностей, вычисляемых с использованием известных модификаций формулы Байеса, учитывающих вполне определённое количество накопленных свидетельств. Данное утверждение обосновывается следующим образом. Ввиду неодинакового нормирования получаются результаты, приводящие к выводам, не соответствующим теоретико-вероятностным закономерностям. На примере конкретных исходных данных показано, что в случае использования традиционных формул отсутствует мультипликативный эффект: уменьшение апостериорных условных вероятностей каждой из гипотез при мультипликативном накапливании свидетельств оказывается неосуществимым. Предложены модификации формулы Байеса, учитывающие вполне определённое количество последовательно накапливаемых свидетельств, построенные с применением общего делителя, равного сумме значений всех нормируемых вероятностей, которые подлежат сравнению либо совместной обработке. В отличие от известных формул, ввиду корректного нормирования, получаются результаты, существенно более адекватные изначальным статистическим данным.
The inadmissibility of the comparison and cooperative processing of the conditional probabilities calculated with the use of the known variations of Bayes formula considering a well-defined amount of the accumulated evidences is established. This statement is justified as follows. Due to the unequal normalization, the results leading to the conclusions mismatching the probability-theoretical law are obtained. The examples of the concrete initial data show that in the case of using the traditional formulas, the multiplicative effect is missing: reducing the posteriori conditional probabilities of each of the hypotheses under the multiplicative accumulating evidences is unfeasible. The Bayesian formula modifications are offered. They provide a well-defined quantity of sequentially accumulated evidences constructed through the common divisor which is equal to the sum of the values of all normalizable probabilities liable to comparison or cooperative processing. In contrast to the well-known formulas, due to the correct normalization, the results significantly more adequate to the initial statistics are obtained.
условные вероятностигипотезынакопленные и накапливаемые свидетельстванормирование.conditional probabilitieshypothesesaccumulated and accumulating evidencesnormalization.
Введение. Формула Байеса широко используется в теории вероятностей и статистике [1–9]. Весьма актуальным направлением применения формулы Байеса является разработка модификаций, обеспечивающих определение апостериорных условных вероятностей гипотез с учётом накапливания свидетельств.Наиболее известны по крайней мере три различающиеся между собой модификации формулы Байеса, предназначенные для оценки апостериорных условных вероятностей гипотез с учётом накопленных свидетельств [2–4]. Две из них [3, 4] являются модификациями формулы Байеса с изменениями, обеспечивающими учёт мультипликативно накопленных свидетельств, а одна [2] соответствует рекуррентному применению формулы Байеса с пошаговым получением соотношений, эквивалентных другой модификации [3].Как показывает анализ, традиционно используемые модификации формулы Байеса, учитывающие мультипликативно накопленные свидетельства, не применимы для определения апостериорных условных вероятностей гипотез при мультипликативно накапливаемых свидетельствах, ввиду некорректности получаемых результатов. Для устранения выявленного недостатка решается задача построения модификаций формулы Байеса, обеспечивающих учёт накапливаемых свидетельств с применением корректного нормирования.
Gnedenko, B. V. Elementary Introduction to theory of Probability / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - San Francisco, London : Freeman and Co, 1961. - 139 p.Gnedenko, B. V. Elementary Introduction to theory of Probability / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - San Francisco, London : Freeman and Co, 1961. - 139 p.Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System / C.-M. Naylor. - Wilmslow : Sigma Technical Press, 1983. - 248 p.Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System / C.-M. Naylor. - Wilmslow : Sigma Technical Press, 1983. - 248 p.Романов, В. П. Интеллектуальные информационные системы в экономике : учебное пособие. - 2-е изд., стереотип. / В. П. Романов. - Москва : Экзамен, 2007. - 496 с.Romanov, V. P. Intellektual´nye informatsionnye sistemy v ekonomike : uchebnoe posobie. - 2-e izd., stereotip. / V. P. Romanov. - Moskva : Ekzamen, 2007. - 496 s.Змитрович, А. И. Интеллектуальные информационные системы / А. И. Змитрович. - Минск : НТООО «ТетраСистемс», 1997. - 496 с.Zmitrovich, A. I. Intellektual´nye informatsionnye sistemy / A. I. Zmitrovich. - Minsk : NTOOO «TetraSistems», 1997. - 496 s.Вентцель, Е. С. Теория вероятностей : учебник для вузов. - 9-е изд., стереотип. / Е. С. Вентцель. - Москва : Академия, 2003. - 576 с.Venttsel´, E. S. Teoriya veroyatnostey : uchebnik dlya vuzov. - 9-e izd., stereotip. / E. S. Venttsel´. - Moskva : Akademiya, 2003. - 576 s.Андронов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / А. М. Андронов, Е. А. Копытов, Л. Я. Гринглаз. - Санкт-Петербург : Питер, 2004. - 481 с.Andronov, A. M. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika : uchebnik dlya vuzov / A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - Sankt-Peterburg : Piter, 2004. - 481 s.Баврин, И. И. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / И. И. Баврин. - Москва : «Высшая школа», 2005. - 160 с.Bavrin, I. I. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika : uchebnik dlya vuzov / I. I. Bavrin. - Moskva : «Vysshaya shkola», 2005. - 160 s.Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие. - 2-е изд., исправл. и дополн. / В. С. Пугачев. - Москва : Физматлит, 2002. - 496 с.Pugachev, V. S. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika : uchebnoe posobie. - 2-e izd., ispravl. i dopoln. / V. S. Pugachev. - Moskva : Fizmatlit, 2002. - 496 s.Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк [и др.]. - Москва : Наука, 1985. - 640 с.Spravochnik po teorii veroyatnostey i matematicheskoy statistike / V. S. Korolyuk [i dr.]. - Moskva : Nauka, 1985. - 640 s.Тимошенко, Е. И. Теория вероятностей : учебное пособие / Е. И. Тимошенко, Ю. Е. Воскобойников. - Новосибирск : НГАСУ, 2003. - 98 с.Timoshenko, E. I. Teoriya veroyatnostey : uchebnoe posobie / E. I. Timoshenko, Yu. E. Voskoboynikov. - Novosibirsk : NGASU, 2003. - 98 s.