ВведениеВ настоящее время в отечественном промышленном садоводстве и придорожных лесополосах при корчевании пней используются две технологии [1, 2, 3, 5, 6]. Первая основана на принципе раздельной корчевки и предусматривает выполнение двух технологических операций: срезание надземной части и удаление оставшихся в почве пней. В России данная технология получила наибольшее применение [7, 8, 9, 10, 11]. Навесные и прицепные специализированные корчеватели пней деревьев агрегатируются в основном с энергонасыщенными гусеничными и колесными тракторами лесного, сельскохозяйственного и промышленного назначения.Вторая технология предусматривает одновременное удаление надземной и подземной частей деревьев в процессе одной технологической операции. Технология прямого корчевания применяется преимущественно за рубежом, основ-ными техническими средствами её реализации являются самоходные высокопроизводительные корчеватели, оборудованные как гусеничным, так и колесным движителем. Эта технология позволяет производить удаление деревьев вместе с корневой системой за один проход, что обеспечивает увеличение производительности и экономичности применения специализированной техники. При корчевании деревьев пней с использо-ванием машинных технологий в зависимости от конструктивных особенностей оборудования применяется два способа приложения усилия – горизонтальное или вертикальное, или одно-временно то и другое.Проведенными многочисленными исследо-ваниями установлено, что корчевание деревьев в горизонтальном направлении сопротивление корней меньше, чем при вертикальном наравлении приложения усилия [12, 13]. Это объясняется тем, что при горизонтальном приложении усилия дерево наклоняется и корни обрываются не одновременно, а постепенно, по мере увеличения наклона. Однако основными недостатками корчевания при горизонтальном приложении усилий являются: недостаточность тягового усилия трактора, высокая частота воздействия на органы управления и вследствие рывков возрастает износ муфты сцепления и деталей трансмиссии.Корчевание деревьев с приложением силы в вертикальном направлении более рационально [12-15], так как позволяет снизить динамическую нагруженность ходового аппарата мобильного средства, колеса и гусеницы находятся в не нагруженном состоянии, а усилие, прикладываемое к удаляемому дереву, распределяется между гидравлическими опорами корчевателя.Самоходные корчеватели с вертикально приложенным усилием при выемке дерева с корнями из почвы позволяют реализовать оба способа приложения усилий со стороны корчевальной машины, то есть одновременно в вертикальном и горизонтальном направлениях. Однако теоретические исследования процесса корчевания деревьев с вериткально приложенным усилием при выемке деревьев вместе с корнями рассмотрены недостаточно и требуют самостоятельного рассмотрения на осносве метода динамики частиц и прменениии современных вычислительных комплексов [16, 17, 18].Целью исследования является разработка математической модели процесса корчевания деревьев при вертикално приложенном усилии на осносве метода динамики частиц.Материалы и методыПри разработке модели процесса корчевания деревьев необходимо воспроизвести в модели геометрическую конфигурацию и физические свойства ствола дерева и корневой системы, а также физические и геометрические особенности процесса движения корневой системы в почвенной среде.Задачей данной работы является разработка математической модели процесса корчевания деревьев путем приложения вертикального усилия к челюстному захвату технологического оборудо-вания самоходного средства на широкопрофильных шинах низкого давления.Разработка модели базируется на использо-вании возможностей современной вычислительной техники, позволяющей добиться высокого пространственного разрешения и высокой детализации дерева и почвы [19, 20]. Одним из наилучших методов моделирования данных процессов является метод динамики частиц [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]. Перечисленные среды пред-ставляются совокупностью большого количества шарообразных элементов (порядка 50000) малого размера (диаметром порядка 3 см), способных взаимодействовать между собой (рис. 1). Рассматриваемые элементы имеют возможность двигаться в трехмерном пространстве XYZ. Все шарообразные элементы имеют одинаковый диа-метр dЭ. В данной модели элементы могут быть двух типов (древесина, почва). В зависимости от типа элементы обладают соответствующими физи-ческими свойствами. При вытягивании модельного дерева (либо пня) в процессе корчевания челюстным захватом на элементы ствола дейст-вуют силы, вынуждающие элементы двигаться по законам классической динамики. В макроскопи-ческом плане это приводит к изменению формы корневой системы и ее фрагментации, а также к изменению конфигурации окружающей почвы.Состояние каждого шарообразного элемента задается координатами его центра (xi, yi, zi) и компонентами скорости (vxi, vyi, vzi). Элементы взаимодействуют между собой линейными упруго-вязкими силами. Это позволяет передать в модели базовые механические свойства почвы и древесины.Отталкивание элементов осуществляется благодаря упругой составляющей взаимодействия при расстоянии rij между центрами элементов i и j менее диаметра элемента dЭ. В более узком диапазоне расстояний (dЭ > rij > rк, где rк = αdЭ – критическое расстояние, до которого элементы взаимодействуют друг с другом, α – коэффициент выражения критического расстояния через диаметр элемента) осуществляется притяжение элементов, обеспечивающее связность почвы. Дифференциальные уравнения механичес-кого движения совокупности элементов получены на основе II закона Ньютона:                                                                                    (1)где i – номер элемента; mi – масса i-го элемента; xi, yi, zi – декартовы координаты элемента; t – время; NЭ – количество элементов; j – номер элемента, возможно контактирующего с i-м элементом; сij и kij – коэффициенты жесткости и вязкости взаимодействия элементов i и j; rij – расстояние между центрами элементов i и j; vxi, vzi – декартовы составляющие скорости i-го элемен-та; αi – относительное расстояние ограничения взаимодействия между элементами; g – ускорение свободного падения. Расчет расстояния rij между элементами производится по формуле Геометрическая конфигурация корневой системы в модели представляет цилиндр (ствол дерева или верх пня), постепенно преобразую-щийся в нижней части в шесть отдельных корней изогнуто-конической формы (рис. 2).   Рис. 1. Представление в модели дерева с корневой системой отдельно от почвы (а, в) и в почве (б, г):а, б – вид сбоку; в, г – вид сверху   Рис. 2. Геометрическая конфигурация корневой системы:а – вид сверху; б – вид сбоку Для начального размещения элементов древесины внутри корневой системы используется следующий алгоритм. Сначала вдоль осевых линий корней размещаются по 100 базовых точек на каждый корень с равным расстоянием между ними. Координаты базовых точек корней задаются следующим образом: (2) (3)                (4)                             (5)где xБТi, уБТi, zБТi – координаты базовой точки i; Lx, Ly – размеры модельного пространства; RИ – радиус изгиба корня; αК – задающий длину корня угол, при этом длина корня LК = RИ·αК; αБТi – угловое положение i-й базовой точки; zУП – вертикальная координата уровня почвы; HП – высота верхней части корневой системы над уровнем почвы; где βК – угловое расстояние между осями корней в горизонтальной плоскости; nК – номер корня (1, 2, ... NК).На втором этапе алгортима создания корневой системы для заданного количества предварительно однотипных элементов, располо-женных в нижней части пространства моделиро-вания, производится определение принадлежности элементов корневой системе. Элемент i считается принадлежащим корневой системе, если хотя бы для одной базовой точки корней j выполняется условие , (6)где DС – диаметр ствола в нижней части. Правая часть последнего неравенства является диаметром корня вокруг j-й базовой точки.При генерации методом Монте-Карло множества положений элементов в пространстве элемент считается принадлежащим корневой системе, если расстояние от его центра до любой из базовых точек корневой системы будет меньше радиуса корня RБТi. Остальные элементы, находящиеся в случайной плотной упаковке в нижней части пространства моделирования, не принадлежащие геометрической области корневой системы, считаются элементами почвы.Действие челюстного захвата на ствол дерева воспроизводится в модели движением вверх с заданной скоростью vпод элементов ствола, изначально расположенных в узкой области, огранченной плоскостями z = zЧЗ + zУП и z = zЧЗ + zУП + ΔzЧЗ, где zЧZ – высота расположения челюстного захвата над уровнем почвы;ΔzЧЗ – высота челюстного захвата.Дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие движение системы элементов решаются численным методом (Рунге-Кутта второго порядка) [1].                                                                                         (7)   где τ и τ+1 – индексы текущего и последующего шага по времени; Δt – шаг интегрирования; xτi, yτi, zτi – координаты элемента; vτxi, vτyi, vτzi – копоненты скорости элемента; aτxi, aτyi, aτzi – компоненты ускорения элемента.Для данного метода характерен порядок 2 точности по координате и порядок 1 точности по скорости. Преимущества данного метода перед другими методами решения дифференциальных уравнений заключатся в универсальности, надежной работе и простоте и скорости программной реализации. Шаг интегрирования составлял Δt = 0,0015 с. Для реализации изложенного выше матема-тического аппарата разработана компьютерная про-грамма «Программа для моделирования корчева-ния деревьев машиной на широкопрофильных ши-нах низкого давления с навесным механизмом кор-чевания». Программа написана на языке програм-мирования Object Pascal в интегрированной среде визуального программирования Borland Delphi 7.Программа позволяет проводить компью-терные эксперименты, перед которыми необходимо задать геометрические и механические параметры корневой системы и ствола дерева, почвы, а также челюстного захвата. При своей работе программа с заданной периодичностью выводит на экран изображение корневой системы и почвы в трех проекциях и показатели эффективности процесса корчевания (числа и графики).Назначением программы является многократное проведение компьютерных экспери-ментов по корчеванию деревьев или пней диамет-ром до 300 мм машиной на широкопрофильных шинах низкого давления с навесным механизмом корчевания.Характеристики и ограничения программы:- количество элементов древесины: не более 103; почвы: не более 103.- машинное время проведения одного компьютерного эксперимента: порядка 10 минут.Начальные условия. Координаты элементов древесины в начальный момент времени задаются описанным выше алгоритмом начального размещения. Элементы почвы, изначально случайно расположенные по объему пространства моделирования, оседают под действием сил тяжести и образуют случайную плотную упаковку под действием межэлементных сил. После подготовки почвы и корневой системы, перед основым моделированием процесса корчевания скорости механического движения элементов обнуляются: , , .Граничные условия. Для ограничения ухода элементов из пространства моделирования, их возможность перемещения в пространстве ограничена габаритами модельного пространства Lx х Ly х Lz. В случае попытки выхода элемента за границу модельного пространства, элемент принудительно возвращается обратно. В частности, если координата хi элемента будет больше Lx, эле-мент возвращается в модельный параллелепипед путем изменения его кинематических характе-ристик (при xi > Lx, выполнить xi = Lx; vxi = – vxi).Допущения модели: по всему объему одного элемента вещество (древесина или почва) считается однородной сплошной средой; движение элементов описывается законами классической механики; элементы механически взаимодействуют между собой и с челюстным захватом; механическое взаимодействие описывается линейным упруго-вязким законом; физические свойства древесины и почвы задаютося пятью параметрами: диаметром, массой, коэффициентами жесткости, вязкости, ограничения взаимодействия.Результаты и обсуждениеПри моделировании процесса корчевания ствол дерева (или верхняя часть пня) движется в модели с постоянной вертикальной скоростью (рис. 3). При этом деформируются нижние части корней и вытягиваются из почвы.В ходе моделирования определяется зависимость от времени t силы сопротивления корчеванию Fz(t). Расчет силы сопротивления корчеванию производится по формуле            (8)где zit=0 – вертикальная координата центра элемента в начальный момент времени корчевания; Fz – вертикальная декартова составляющая силы, действующей на элемент i со стороны других элементов с добавлением силы тяжести, рассчитываемая по формуле (1).С началом процесса корчевания сила на челюстном захвате быстро возрастает до 74 кН (рис. 4).   Рис. 3. Последовательность состояний пня и почвы в процессе корчевания Рис. 4. Изменение с течением времени t вертикальной составляющей силы на захвате Fy  Моделирование производится для ствола яблони с диаметром ствола в прикорневой части 30 см. После вырывания корней из устойчивых положений в почве и разрушения связей корней с почвой сила FZ снижается по мере дальнейшего вытягивания дерева (или пня) из почвы. Через ориентировочно 5 секунд корневая система оказы-вается полностью выглубленной, и вертикальная сила на челюстном захвате снижается до веса дерева (или пня с корневой системой).Полученную зависимость Fz(t) целесооб-разно использовать на следующем этпе моделиро-вания как возмущающую функцию в двумерной или трехмерной механической модели машины для корчевания деревьев (или пней) на платформе авто-мобиля с широкопрофильными шинами низкого давления с навесным механизмом корчевания.ВыводРазработана математическая модель про-цесса прямого корчевания деревьев или пней диаметром до 300 мм при вертикально приложен-ном усилии технологическим оборудованием, установленным на платформе мобильного средства, оборудованного широкопрофильными шинами низкого давления. Модель позволяет исследовать влияние влажности и плотности почвы, диаметра ствола дерева и характеристик корневой системы на энергозатраты, обладает высокими физической адекватностью, детализацией и пространственным разрешением.