Введение. Ферма – несущая часть инженерного сооружения (пролетного строения моста, перекрытия здания и т.п.), состоящая из шарнирно соединенных в узлах стержней. Фермы имеют давнюю историю и оправдывают себя рациональным использованием материала [1–13]. Оптимизацию конструкций ферм в результате рационального расположения их элементов впервые осуществил российский инженер В.Г. Шухов в конце XIX века [14]. Решение дано прежде всего на уровне топологии, которая предусматривает расположение узлов и способ их взаимного соединения для образования геометрически неизменяемой системы. Спустя восемь десятилетий появились исследования роли фактора топологии в оптимизации стержневых систем [15]. Но оставалась в стороне сопутствующая проблема – оптимизация их нагружения.Основная часть. Для существенного прогресса в оптимизации несущих конструкций необходимо понимание того, что искомые топология, геометрия и сечения отдельных элементов системы составляют единство в алгоритме решения проектной задачи. Технические системы и природные конструкции должны быть подчинены единым принципам структурообразования, согласованным с критерием, имеющим энергетическое содержание. Эти принципы согласуются с распределением материала в соответствии с силовыми полями, что соблюдается естественным образом в природных конструкциях [16].Проблема приобретает специфику в отношении конструкций, для элементов которым необходимо обеспечить устойчивость равновесия. К ним относятся рассматриваемые здесь фермы [17–21].Качество равновесия определяет потенциальная энергия системы П, в соответствии с которой различают:устойчивое состояние (П=min, δ2П>0 );неустойчивое состояние (П=max, δ2П<0 );безразличное состояние (П=const, δ2П=0 ) как граница между устойчивым и началом неустойчивого положения равновесия (критическое состояние).Для ферм при вертикальной нагрузке некоторым эквивалентом степени априорной устойчивости может служить сумма произведений из усилий N в стержнях на их длины l. Покажем это на примере балочной фермы (рис. 1).В табл. 1 даны размеры фермы, внутренние усилия и указанная характеристика.Рис. 1. Три варианта нагружения балочной фермыТаблица 1Сведения о фермах на рис.1ФермаСтержниlNNlΣ Nl  Рис. 1, а1-2d2 – 0,52F – F d  – F d2-3d2 – 0,52F – F d1-4d0,5F 0,5 F d4-3d0,5F 0,5 F d2-4d00  Рис. 1, б1-2d2 – 0,52F – F d  02-3d2 – 0,52F – F d1-4d0,5F 0,5 F d4-3d0,5F 0,5 F d2-4dF F d  Рис. 1, в1-2d2 0,52F  F d  F d2-3d2 0,52F F d1-4d– 0,5F – 0,5 F d4-3d– 0,5F  – 0,5 F d2-4d00  Приведем сначала вывод из таблицы в формулировке [8]: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины будет положительна, равная нулю, или отрицательная, в зависимости от того, приложена ли нагрузка ниже прямой, соединяющей опорные точки, на уровне ее, или выше. Установленный вывод используется в работе [8] для проверки правильности расчета усилий в случае приложения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, и основано на свойстве вириала внешних сил.Но вывод из таблицы может иметь и другую интерпретацию: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины нарастает с увеличением степени априорной устойчивости, под которой будем понимать вклад растянутых стержней в величину ΣNl .В первом случае – это 33%, во втором – 50%, в третьем – 67%. Достигается это, как видим, соответствием расположения материала силовому полю. Во втором случае прежний «нулевой» стержень стал рабочим, в третьем растянутыми оказались длинные стержни. Однако окончательное суждение об оптимальности системы дает энергетический критерий.Взяв за основу функционал Кастильяно, сформулируем вариационный принцип синтеза системы и нагрузки: «при заданных условиях дополнительная энергия в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по внутренним силам в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала, а также нагрузки.Ограничимся рассмотрением фермы из однородного линейно-упругого материала с модулем продольной упругости Е и расчетным сопротивлением растяжению и сжатию R. Представим виртуальную систему с внутренними силами Ni/ⱷi, где ⱷi – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления R. Для растянутых стержней он равен единице, а для сжатых принимается исходя из ограничения гибкости элементов пояса и решетки. Искомые площади поперечных сечений Ai сжатых стержней должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции». [17]При линейно-упругой постановке задачи дополнительная энергия системы равна потенциальной энергии деформации U. Рассмотрим изопериметрическую задачу, в которой предполагается заданным объем материала i=1nАili=V0 , с функционаломU1=i=1nNi2li2Eφ i2Ai+ μi=1nAili           (1) где n – число стержней, μ – множитель Лагранжа, имеющий постоянную величину.Следствием стационарности функционала (1) являются уравнение объема материала и n уравнений из условий ∂U1/∂Ai =0:-Ni22Eφi2Ai2+μ=0                             (2)или12ENi2φi2Ai2=μ=const                   (3)Это свидетельствует о квазиравнонапряженности фермы. В работе [22] говорится о равнонапряженности, поскольку не рассматривается устойчивость сжатых стержней. Исходя из условия квазиравнопрочности, можно записать: Ai=NiφiR ,                           (4)и выражение U принимает вид: U=R2Ei=1nNiliφi ,                     (5)Найдя из (4) представим (5) как Niφi=AiR U=R22Ei=1nAIli ,                    (6)Значит минимуму энергии U соответствует минимум объема материала.В то же время, как видно из формулы (5) при ⱷi = const минимуму энергии U соответствует минимум i=1nNili , что может служить альтернативной характеристикой оптимальности конструкции фермы.Для фермы на рис. 1 величина U составляет (коэффициент ⱷi принимается равным 0,5):а) 2,5RE Fd ;б) 3RE Fd ;в) 2RE Fd. В варианте б включение стержня 2-4 увеличило степень априорной устойчивости и в то же время повысило потенциальную энергию деформации по сравнению с вариантом а. Вариант в подтвердил свою оптимальность с позиции минимума величины U.Рассмотрим оптимизацию расположения нагрузки ΣFi =const  на примере балочной фермы (рис. 2). Рис. 2.  Ферма с нисходящим раскосомВ табл. 2 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.   Таблица 2Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 2) при 5 вариантах нагрузкиСтерженьF2=10кН, F3=10кНF2=20кН,F3=0кНF2=0кН,F3=20кНF2=15кН,F3=5кНF2=5кН,F3=15кН1-22-33-44-63-61-55-62-53-520,0020,0010,00-14,1415,00-22,36-11,18           10,00                -11,1826,6726,676,67-9,4310,00-29,81-7,4520,00-22,3613,3313,3313,33-18,8620,00-14,91-14,910,000,00 23,3323,338,33-11,7912,50-26,09-9,3215,00-16,7716,6716,6711,67-16,5017,50-18,63-13,045,00-5,59  В табл. 3 даны величины ∑|Ni|li и потенциальная энергия деформации U, соответствующие 5 вариантам нагрузки (табл. 2), при Е=2,1·105МПа и R=240МПа. Таблица 3Величины ∑|Ni|li и потенциальная энергия деформации для 5 вариантов нагрузкиВеличиныF2=0кН, F3=20кНF2=5кН,F3=15кНF2=10кН,F3=10кНF2=15кН,F3=5кНF2=20кН,F3=0кН∑|Ni|li,  кН·мU, Дж180154,3195167,1210180225192,8240205,7  Из табл. 3 видно, что оптимальным вариантом нагрузки, по энергетическому критерию, обеспечивающему минимальный расход материала, является расположение ее суммарной величины в узле 3, в котором сходятся три растянутых и одни «нулевой» стержень. Минимальной величине U соответствует минимум ∑|Ni|li, свидетельствующий, как говорилось выше, о степени априорной устойчивости системы. Эта характеристика может быть альтернативной минимуму величины U при выборе оптимального варианта рассмотренного типа нагрузки.Для сравнения рассмотрим 5 вариантов нагружения фермы (рис. 3) с теми же геометрическими параметрами. Рис. 3.  Ферма с восходящим раскосом В табл. 4 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН. Несмотря на изменение величин усилий по сравнению с табл. 2 в связи с изменением топологии фермы данные табл. 3 сохраняются. Это свидетельствует о замечательном свойстве ферм с вертикальной нагрузкой по горизонтальному нижнему поясу – независимости потенциальной энергии деформации от структуры решетки.  Таблица 4Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 3) при 5 вариантах нагрузкиСтерженьF2=10кН, F3=10кНF2=20кН,F3=0кНF2=0кН,F3=20кНF2=15кН,F3=5кНF2=5кН,F3=15кН1-22-33-44-63-61-55-62-52-620,0010,0010,00-14,1410,00-22,36-22,36            0,00                14,1426,676,676,67-9,430,00-29,81-29,810,0028,2813,3313,3313,33-18,8620,00-14,91-14,910,000,00 23,338,338,33-11,795,00-26,09-26,090,0021,2116,6711,6711,67-16,5015,00-18,63-18,630,007,07 Выводы. В заключение можно сказать, что оптимизация нагрузки на ферму решается сравнением приемлемых вариантов ее распределения. Определяющим фактором является критерий оптимальности для несущей конструкции, вытекающий из вариационного принципа проектной задачи и приводящий к минимуму расхода материала.  В частном случае расположения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, альтернативным фактором может быть минимум сумм произведений из модулей усилий в элементах на их длины.