Введение. В таких отраслях промышленности как производство цемента, деревообработка, химическая промышленность и другие применяются процессы сушки материала. Управление такими процессами включает в себя расчёты их продолжительности, затрат тепловой и электрической энергии и, как следствие, себестоимости и рентабельности. Эти расчёты часто требуют оценки количества высохшего материала в зависимости от времени сушки, температурного режима, влажности материала или, наоборот, временных затрат для достижения нужного количества высохшего материала. Предлагаются формулы для таких оценок и способы их применения.Физическая модель процесса. Рассмотрим сначала физическую модель процесса сушки – основу математической модели.  Рис. 1. К постановке задачи для неискривлённой поверхности  Процесс сушки будем рассматривать с того момента, когда интенсивное испарение воды с поверхности материала прекратилось, а в пар превращается только жидкость, находящаяся внутри материала в «защемлённом» состоянии. На поверхности  температура сухого материала   равна температуре фазового перехода 100 °C. Эта поверхность движется внутрь материала по мере поглощения им тепла (теплота парообразования). В начальный момент времени будем считать весь материал с неискривлённой поверхностью  нагретым до 100 °C (то есть ).За время  фазовая поверхность (плоскость ) переместится на расстояние . При этом в пар превратится масса ,  где  – плотность воды,  – влажность материала, и поглотится количество тепла , где  – удельная теплота парообразования воды. Для выполнения теплового баланса при   должно выполняться условие Стефана:,где  – коэффициент теплопроводности сухого материала. На границе газ-материал ( ) выполняется условие теплообмена:,где  – коэффициент теплообмена.Математическая модель. Обозначив для краткости , , , и записав условие Стефана в виде  [1], получим математическую модель высыхания материала с неискривлённой поверхностью:,  ,  ;          (1),  ;         (2),  ;                    (3),  ;                 (4);                              (5)где  – коэффициент температуропроводности сухого материала с удельной теплоёмкостью  и плотностью .Здесь искомой является зависимость размера слоя высохшего материала от времени . Эту зависимость можно получить в виде степенного ряда [2]:  (6) Отсюда можно получить представление о ходе процесса сушки, но только лишь в его начале. Для оценок  за длительные промежутки времени потребовалась бы трудоёмкая работа по вычислению других слагаемых в (6) при неизвестном интервале сходимости этого ряда.Верхнюю границу для  при длительном процессе сушки можно получить, рассмотрев идеальный материал с нулевой удельной теплоёмкостью , не поглощающий тепло. В этом случае , а (1) принимает вид: . Отсюда . Согласно (2) и (3) определяем произвольные функции   и , а затем решаем задачу Коши (4) и (5), получаем или, после умножения и деления на сопряжённое выражение.                      (7)Так как всё тепло в идеальном материале идёт только на испарение, то , . Из (7), в частности, следует, что даже для идеального материала при данных условиях скорость роста слоя высохшего материала  стремится к нулю при , а, следовательно,  тоже.Далее рассмотрим реальный материал. Продифференцируем (3) по :.   (8)Записав (4) в виде  и подставив в (8), получим                 (9)Так как при  (1) имеет вид , то учитывая (9), получим.Считая  параметром, отсюда получаем дифференциальное уравнение второго порядка:.Из него находим . Заменив здесь произвольную постоянную  произвольной функцией времени , получим.         (10)Следовательно, в соответствии с (4).                    (11)Умножив обе части (11) на , получим.         (12)Интегрируя по  уравнение (10), получим:, (13)где    произвольная функция.Эта функция зависит только от времени  и не зависит от , а это возможно лишь при , то есть .Из (13) в соответствии с (3) имеем:,отсюда.Но при достаточно большой продолжительности сушки температура поверхности высохшего материала  возрастает и выравнивается с температурой газа . Таким образом,,а потому возрастает и величина , следовательно,.Отсюда.      (14)Интегрируя (12), получим,отсюда.Переходя здесь к пределу при , учитывая, что в силу (14) интеграл расходится, по правилу Лопиталя имеем:.Это значит, что при больших значениях  величина  асимптотически стремится к значениям,           (15)оставаясь меньше их.Для обеспечения большей точности расчётов дополним (15) ещё одной возможностью оценки . Для этого заметим, что из (12) с учётом (14) следует, что величина  монотонно убывает и ограничена. Тогда, выразив из (11)  и учитывая, что  при , получаем, что , монотонно убывая, стремится к нулю при . Из (11), учитывая (5) и то, что из (6)   , найдём  - максимальное значение . Заменяя в (11)  максимальным значением, получим.Интегрируя это уравнение с начальным условием , получим.            (16)Очевидно, что истинное значение . Сравнивая (7) и (16), заметим, что при  величины  и  совпадают, при  имеем  , а при   . Представим графически полученные зависимости (для случая ).  Рис. 2. К оценке  Выводы. Обозначим , тогда при  имеем , следовательно, истинное значение  надо оценивать как  при  и как  при ,где  – корень уравнения  (см. рис. 2).При  имеем , поэтому истинное значение  надо оценивать как  при  и как  при  где  – корень уравнения .Полученные формулы для , ,  удобны для практического применения при организации и расчёте технологических процессов сушки материалов в различных отраслях промышленности.