Исследуется зависимость положения точки P1, инволюционно сопряженной с фиксированной точкой P, от деформации одной из коник, задающих проективную инволюцию на плоскости. Рассматриваемая инволюция определяется парой коник K1, K2, при этом коника K1 подвергается непрерывной деформации за счёт изменения положения одной из её опорных точек E, тогда как коника K2 остаётся неизменной. Целью работы является детальный анализ геометрической траектории точки P1 при различных режимах движения точки E, а также выявление закономерностей, характеризующих устойчивость и типологию возникающих изменений. Методология исследования основана на сочетании классических конструктивных методов проективной геометрии, аналитического описания соответствующих преобразований и численного эксперимента с визуализацией результатов в среде Python/Matplotlib. Подобные подходы к цифровой визуализации, вычислительному моделированию и интерактивной поддержке графических исследований широко представлены в работах [7; 8; 14; 20]. В рамках исследования предложены три сценария движения точки E: линейный, криволинейный и параметрически управляемый, что позволяет проследить влияние различных типов деформации коники на характер движения сопряжённой точки. Установлено, что траектория P1 является непрерывной, кусочно-гладкой и при малых смещениях точки E демонстрирует квазилинейное поведение, близкое к аффинной зависимости. Выявлены критические положения параметров, при которых коника K1 вырождается, что приводит к резким изменениям направления движения точки P1, возникновению особенностей траектории и смене её топологического типа. Наблюдаемая функциональная связь между положениями точек E и P1 обладает признаками алгебраических отображений низкой степени, что согласуется с гипотезой о её проективной природе и допускает дальнейшее аналитическое описание. Полученные результаты имеют прикладное значение для оптимизации геометрических вычислений в CAD-системах, повышения устойчивости алгоритмов компьютерного зрения, коррекции динамических проективных искажений и разработки быстрых методов геометрического моделирования в задачах инженерной графики и вычислительной геометрии.
The change in the position of a point P1, involutional related to a fixed point P, is investigated in response to a change in one of the conics defining a projective involution on the plane. The involution under consideration is defined by a pair of conics K1, K2, whereby conic K1 causes a continuous transformation due to consideration of the position of one of its support points E, while conic K2 remains unchanged. The purpose of the work is a detailed analysis of the geometric trajectory of point P1 under various modes of motion of point E, as well as the manifestation of patterns characterizing the stability and typology of the resulting changes. The research methodology is based on a combination of classical constructive methods of projective theory, analytical descriptions of the corresponding transformations, and numerical experiments with visualization of results in the Python/Matplotlib environment. Approaches to digital visualization, computational modeling, and interactive support for graphical research, which are widely presented in [7; 8; 14; 20], are applied. In this study, three scenarios for the motion of point E are proposed: linear, curvilinear, and parametrically controlled. This allows us to track the influence of different types of conic deformation on the motion of the conjugate point. It is established that the trajectory P1 is continuous and piecewise smooth, and that small displacements of points E result in quasilinear behavior close to an affine dependence. The key situations that arise during the emergence of conic K1 are identified, leading to abrupt changes in the direction of motion of point P1, which leads to the emergence of a trajectory and a change in its topological type. The observed functional relationship between the positions of points E and P1 changes the algebraic transformations of the degree of reduction, which is consistent with the hypothesis of its projective nature and complements the subsequent analytical description. The obtained results have practical implications for optimizing geometric calculations in CAD systems, increasing the stability of computer vision algorithms, correcting projective manipulation algorithms, and developing fast geometric modeling methods for engineering graphics and computational geometry.